Walutowe kontrakty

F=Se^(r-r_f^)T

r_f-stopa wolna od ryzyka w kraju waluty obcej

Jeśli zagraniczna stopa procentowa jest większa niż stopa krajowa to F jest zawsze niższe niż S i F maleje wraz z wydłużaniem się terminu ważności kontraktu, jeżeli r>r_fF jest zawsze wyższe od S i zwiększa się wraz ze wzrostem T.

Przykład 1

Przedmiotem kontraktu futures jest USD z dostawą za 3 miesiące, aktualny kurs kasowy wynosi 2,78$, krajowa stopa wolna od ryzyka 4,25%, a zagraniczna 5,25%. Wyznaczyć kurs terminowy.

F=Se^(r-r_f^)T=2,78*e^{(0,0425-0,0525)*0,25}=2,78

Koszty magazynowania można traktować jako przychód ujemny jeśli przez U oznaczymy wartość bieżącą wszystkich kosztów składowania, które zostaną poniesione w okresie ważności kontraktu. To cenę terminową obliczamy:

F=(S+U)e^rT

Przykład 2

Rozpatrujemy kontrakt futures na złoto z terminem wykupu za rok. Roczne koszty magazynowania wynoszą 60 zł w przeliczeniu na sztabkę. A aktualna cena złota to 6000 zł za sztabkę. Stopa wolna od ryzyka to 4%. Wyznaczyć cenę terminową.

U=60*e^-0,04=57,65

F=(6000+57,65)*e^0,04=6304,87

Jeśli koszty przechowywania są znane a ich wartość bieżącą oznaczamy jako U, to stopę użyteczności definiujemy jako stopę dla której spełnione jest równanie.

Fe^yT=(S+U)e^rT

ln(F)+yT=ln(S)+(r+u)T

Jeśli koszty magazynowania pozostają w stałej proporcji u do ceny gotówkowej.

Fe^yT=Se^(r+u)T

Dla aktywów inwestycyjnych stopa użyteczności musi być równa 0.

Zależność między ceną terminową i gotówkową może być rozpatrywana w kontekście tzw. kosztów posiadania. Składają się na nie koszty przechowywania towaru + oprocentowanie wpłacone w celu sfinansowania nabycia aktywów – wszystkie przychody wynikające z towaru.

dla akcji spółek…koszty=r

dla indeksu giełdowego r-q

dla walut r-f

dla towarów r+u

Współczynnik zabezpieczenia dla kontraktów

Optymalną wart. wsp. zabezpieczenia wyraża wzór

h*=ρ(σ_S/σ_F)

h*-wsp. zabezpieczenia dla minimalizacji wariancji

ρ- (r_c) wsp. korelacji liniowej Pearsona

Optymalna wartość kontraktów

N*=h*xN_A/Q_F

N_A- wielkość pozycji zabezpieczonej

Q_F- wielkość jedn. transakcyjnej

Interpretacja parametrów greckich

delta=-0,45

Jeśli cena akcji spółki wzrośnie o 1 zł to premia tej opcji sprzedaży zmniejszy się o 45 gr/akcję.

gamma=0,01

Jeśli cena akcji spółki wzrośnie o 1 zł to wartość delty wzrośnie o 0,01.

vega=0,4

Jeśli zmienność cen akcji spółki wzrośnie o 1% to premia tej opcji sprzedaży wzrośnie o 40gr/akcję.

theta=-0,09

Z każdym dniem ta opcja sprzedaży będzie taniała o 9gr/akcję.

rho=-0,21

Jeśli stopa wolna od ryzyka wzrośnie o 1% to premia tej opcji sprzedaży zmaleje o 21gr/akcję.

Wycena kontraktów forward i futures

Notacja:

T- czas do wygaśnięcia kontraktu wyrażony w latach

S – aktualna cena aktywów pierwotnych (inaczej cena kasowa, gotówkowa, spot)

K – cena dostawy aktywów

f – bieżąca wartość długiej pozycji w kontrakcie forward

F – cena terminowa

r – stopa wolna od ryzyka

Kontrakt forward na pap. wart. nieprzynoszące okresowego dochodu (akcje spółek nie wypłacające dywidendy)

F=Se^rT

Przykład 1

Rozważmy 3-miesięczny kontrakt forward na akcje spółki nie wypłacającej dywidendy. Bieżąca cena akcji to 120 zł, a stopa wolna od ryzyka 5%. Jaka będzie cena dostawy dla kontraktu wynegocjowanego dziś?

K=F=120*e^0,05*0,25

Kontrakty forward na pap. wart. o znanych dochodach gotówkowych

F=(S-I)e^rT I- wartość bieżąca (zdyskontowana) dochodu

Przykład 2

Rozważmy 10-miesięczny kontrakt forward na akcje, których aktualna cena to 50$, stopa wlna od ryzyka jest równa 8% a po 3, 6,9 miesiącach oczekiwane są wypłaty dywidendy w wysokości 75 centów na akcję. Jaka będzie cena dostawy dla kontraktu wynegocjowanego dzisiaj?

I=0,75*e^-0,08*0,25+0,75*e^-0,08*0,5+0,75*e^-0,08*0,75=2,16

K=F=(50-2,16)*e^0,08*5/6=51,14

Kontrakty forward na pap. wart. o znanej stopie dywidendy

F=Se^(r-q)T q-stopa dywidendy

Przykład 3

Rozważmy 6-miesięczny kontrakt forward na akcje, dla których oczekiwana stopa dywidendy wynosi 3%, stopa wolna od ryzyka 5%, a aktualna cena akcji 100 zł. Wyznacz cenę terminową.

F=100*e^{(0,05-0,03)0,5}=101

Istnieje ogólna zależność prawdziwa dla wszystkich kontraktów terminowych, która uzależnia wartość długiej pozycji w kontrakcie od wcześniej wynegocjowanej ceny dostawy K i bieżącej ceny terminowej.

f=(F-K)e^-rT

Wzory szczegółowe:

f=S-Ke^-rTwartość kon. forward na pap. wart. nie przynoszące okresowych dochodów

f=S-I-Ke^-rT wart. kon. for. na pap. Wart. przynoszące znany dochód o wart. bież. =I

f=Se^-qT-Ke^-rTwart. kon. for. na pap. wart. o znanej stopie dywidendy

Przykład 4

Rozważmy półroczny kontrakt forward na akcje spółki niewypłacającej dywidendy. Stopa wolna od ryzyka =10%, aktualna cena akcji 25$ a cena dostawy 24$. Wyznaczyć wartość długiej pozycji w kontrakcie.

F=Se^rT=25*e^-0,1*0,5=26,28

f=(F-K)e^-rT=(26,28-24)e^-0,1*0,5=2,17

f=S-Ke^-rT=25-24e^-0,1*0,5=2,17

Futures na indeksy rynku akcji

F=Se^(r-q)T

Przykład 5

Rozważmy 3-mies. kon. futures , zakładamy że stopa dywidendy wszystkich akcji wchodzących w skład ind. wynosi 3%, bieżąca wart. indeksu 3750 pkt, a stopa wolna od ryzyka 5%. wyznaczyć cenę term. i możliwe przepływy pieniężne jeśli w dniu wygaśnięcia indeks będzie na poziomie

1. 3800 b) 3700

F=3750*e^{(0,05-0,03)0,25}=3769

a)3800-3769=31

31*10=310 zysk kupującego

b)3769-3700=69

69*10=690 zysk sprzedającego

Czynniki wpływające na wartość opcji i kierunek ich oddziaływania

1. cena wykonania (strikeprice) im wyższa cena wykonania tym niższa wartość, (ujemnie wpływa na wartość opcji kupna) i wyższa wartość opcji sprzedaży (wpływa dodatnio)

2. cena instrumentu bazowego (underlyingassetprice) wpływa dodatnio ba wartość opcji kupna i ujemnie na wartość opcji sprzedaży

3. długość okresu do terminu wygaśnięcia (time to exercise) wpływa dodatnio na wartość opcji, ponieważ im dalej do terminu tym większe szanse że opcja będzie w cenie, wyższa cena zarówno opcji kupna jak i sprzedaży

4. zmienność cen instrumentu pierwotnego (volatility) ma dodatni wpływ na wartość opcji kupna i ujemny na wartość opcji sprzedaży

5. stopa wolna od ryzyka (risk-freerate) ma dodatni wpływ na wartość opcji kupna i ujemny na wartość opcji sprzedaży

Parytet put-call

C=P+S-X*e^-rTC+Xe^-rT=P+S