Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich

w Bydgoszczy

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

PROJEKT Z PRZEDMIOTU

Teoria sprężystości i plastyczności

Temat: Pojęcie o naprężeniach. Tensor naprężeń. Określenie narężeń na elemencie pochyłym.

.Teoria naprężeń
1.1. Różniczkowe równania równowagi, równania statyczne, równania Navier’a.
Rozpatrujemy ciało stałe o budowie ciągłej. Z wnętrza tego ciała wydzielamy element dV
i rozpatrujemy jego równowagę.

- objętość rozpatrywanego ciała z wyłączeniem powierzchni zewnętrznej (granicznej)
- powierzchnia graniczna ciała
- powierzchnia graniczna, na której znane są warunki przemieszczenia (jeżeli na tej powierzchni znajdują się podpory niepodatne, doskonale sztywne- to przemieszczenia na tej powierzchni są zerowe- czyli znane).
-powierzchnia graniczna, na której znane są obciążenia ( obciążenia znane są na powierzchni granicznej wyłączeniem powierzchni - na tej powierzchni występują reakcje powierzchniowe, których nie znamy. Na części powierzchni obciążenie zewnętrzne wynosi a na pozostałej powierzchni wynosi 0.

Wydzielamy element dV, na poszczególnych powierzchniach wprowadzamy odpowiednie siły- naprężenia.

dV=dX₁ dX₂ dX₃ (1.1)

σ_ij- naprężenie występuje na płaszczyźnie, której normalna ma kierunek osi Xi. Naprężenie ma kierunek osi Xj.

ρf_i, i=1,2,3 -składowe sił masowych
ρ- gęstość objętościowa ciała [kg/m³]
f- siła przypadająca na jednostkę masy [N/kg]

Sprawa zwrotu (znaku):
znakowanie naprężeń normalnych σ₁₁, σ₂₂, σ₃₃:
- naprężenie normalne jest dodatnie jeżeli powoduje rozciąganie
-jeżeli ma zwrot od przekroju
-ma zwrot normalnej (normalna ma zawsze zwrot od przekroju)

znakowanie naprężeń stycznych σ₁₂= σ₂₁, σ₁₃= σ₃₁, σ₂₃= σ₃₂:
-jeżeli na rozpatrywanej powierzchni dodatnie naprężenie normalne ma zwrot zgodny ze zwrotem osi, to dodatnie naprężenia styczne też muszą mieć zwroty zgodne z osiami
-jeżeli dodatnie naprężenie normalne na rozpatrywanej powierzchni ma zwrot przeciwny do zwrotu osi to dodatnie naprężenie styczne też ma zwroty przeciwne do odpowiednich osi.

σ_ij’ σ_ij +d σ_ij (1.2)

d σ_ij - przyrost funkcji naprężenia, przy definiowaniu tego przyrostu skorzystamy z różniczki zupełnej.
d σ_ij $\frac{\partial\sigma\text{ij\ }}{\partial xi}$dX_i (1.3)

Konwencja sumacyjna Einsteina:
Jeżeli w iloczynie jakiś wskaźnik powtarza się dwa razy (nie może powtarzać się więcej niż 2 razy) to w takim przypadku znak sumowania może być pominięty a sumowanie odbywa się po wskaźnikach, które się powtarzają.
f= a_i∙ b_i= a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃ dla i=1,2,3 (1.4)

Do dyspozycji mamy 6 równań równowagi:

$\sum_{}^{}\text{Pi} = 0$, i=1,2,3 $\text{\ \ \ \ \ }\sum_{}^{}\text{Mi} = 0$, i=1,2,3
$\sum_{}^{}{P1} = 0$; $\frac{\partial\sigma 11\ }{\partial x1}$+ $\frac{\partial\sigma 21\ }{\partial x2}$+ $\frac{\partial\sigma 31\ }{\partial x3}$+ ρf₁= $\sum_{i = 1}^{3}{\ \frac{\partial\sigma i1\ }{\partial xi}}$+ ρf₁= 0 $\sum_{}^{}{M1} = 0$; σ₂₃= σ₃₂

$\sum_{}^{}{P2} = 0$; $\frac{\partial\sigma 12\ }{\partial x1}$+ $\frac{\partial\sigma 22}{\partial x2}$+ $\frac{\partial\sigma 32\ }{\partial x3}$+ ρf₂= $\sum_{i = 1}^{3}{\ \frac{\partial\sigma i2\ }{\partial xi}}$+ ρf₂= 0 (1.5) $\sum_{}^{}{M2} = 0$; σ₁₃= σ₃₁ (1.6)

$\sum_{}^{}{P1} = 0$; $\frac{\partial\sigma 13\ }{\partial x1}$+ $\frac{\partial\sigma 23}{\partial x2}$+ $\frac{\partial\sigma 33\ }{\partial x3}$+ ρf₃= $\sum_{i = 1}^{3}{\ \frac{\partial\sigma i3\ }{\partial xi}}$+ ρf₃= 0 $\sum_{}^{}{M3} = 0$; σ₂₁= σ₁₂

Są to równania równowagi (równania statyczne), równania Navier’a. Równania równowagi momentów oznaczają symetrie tensora naprężenia. Warunki te oznaczają, że naprężenia styczne (ścinające) są jednakowe na płaszczyznach wzajemnie prostopadłych.
Prawo naprężeń stycznych: σ_ij= σ_ji (1.7)

1.2. Statyczne warunki brzegowe.
Celem takich rozważań jest ustalenie zależności miedzy obciążeniem zewnętrznym p[N/m²]
a składowymi tensora naprężeń σ_ij.
W tym celu wycinamy element dV, który zawiera powierzchnie graniczną (zewnętrzną).

Następnie rozpatrujemy równowagę takiego elementu.
ν- normalna (prostopadła) do rozpatrywanej powierzchni (orientuje powierzchnie-podaje jej nachylenie)
p^(ν)- obciążenie (funkcja) stowarzyszone z normalną ν, tzn. że obciążenie p występuje na płaszczyźnie, która jest zorientowana normalną ν.

Jeżeli rozpatrujemy równania równowagi $\sum_{}^{}{Pi} = 0$;
p₁ = σ₁₁n₁+ σ₂₁n₂ + σ₃₁n₃
p₁ = σ₁₂n₁+ σ₂₂n₂ + σ₃₂n₃ (1.8)
p₁ = σ₁₃n₁+ σ₂₃n₂ + σ₃₃n₃
gdzie:
$\overrightarrow{p}$=p₁$\overrightarrow{e}$₁ + p₂$\overrightarrow{e}$₂+ p₃$\overrightarrow{e}$₃ (1.9)

p_i- współrzędne wektora $\overrightarrow{p}$
$\overrightarrow{e}$_i- wersowy, i=1,2,3
n_i= cos< (ν, x_i), i=1,2,3 (1.10)
np. n₂=cos< (ν, x₂)


Równania (1.8) można napisać w formie skróconej:
p₁ = σ₁₁n₁+ σ₂₁n₂ + σ₃₁n₃ = $\sum_{i = 1}^{3}\sigma$_i1n_i= σ_i1n_i
p₁ = σ₁₂n₁+ σ₂₂n₂ + σ₃₂n₃ = $\sum_{i = 1}^{3}\sigma$_i2n_i= σ_i2n_i (1.11)
p₁ = σ₁₃n₁+ σ₂₃n₂ + σ₃₃n₃ = $\sum_{i = 1}^{3}\sigma$_i3n_i= σ_i3n_i

p_j = σ_ijn_i (1.12)

1.3. Transformacja tensora naprężeń
Tensor naprężeń jest tensorem II-go rodzaju wobec tego transformuje się wg następującej zasady:

σ’ _αβ = σ_ij n_iα n_jβ i, j, α, β=1,2,3 (1.13)

1.4. Naprężenia główne i ich kierunki
Ekstremalne naprężenia normalne nazywamy naprężeniami głównymi. Naprężenia główne występują na takich płaszczyznach, na których naprężenia styczne są równe 0. W przypadku ogólnego stanu naprężenia, naprężenia główne wyznaczamy z następującego równania nazywanego równaniem kubicznym albo sekularnym.

(1.14)
gdzie:
= const.
= const. (1.15)
= const.

Wielkości I₁ ,I₂, I₃ - nazywamy niezmiennikami stanów naprężenia, przy czym :
I₁- pierwszy niezmiennik stanu naprężenia
I₂- drugi niezmiennik stanu naprężenia
I₃- trzeci niezmiennik stanu naprężenia

Termin niezmiennik w tym przypadku oznacza, że te wielkości(niezmienniki) są stałe i nie zależą od przyjętego układu współrzędnych (np. analogia w geometrii Euklidesa): długość odcinka nie zależy od przyjętego układu współrzędnych, długość odcinka jest niezmiennicza.
Istnieje ogólny dowód na to ,że równanie (1.15) ma 3 pierwiastki rzeczywiste, które szeregujemy w następujący sposób:
σ₁≥ σ₂≥ σ₃ (1.16)

Wielkości σ_i (i=1,2,3) nazywamy naprężeniami głównymi

Przy analizie naprężeń głównych istotne jest określenie kierunku tych naprężeń, tzn. określenie katów odniesionych do układu współrzędnych względem którego określany był tensor naprężenia σ_{ij ,} do którego celu można wykorzystać następujące wzory:

(n₁^k)²=$\frac{\left( \sigma_{22\ \ } - \sigma_{\text{k\ }} \right){(\sigma}_{33\ \ } - \sigma_{\text{k\ \ }}) - \sigma_{23}^{2}}{\vartheta_{k}}$
(n₁^k)²=$\frac{\left( \sigma_{33\ \ } - \sigma_{\text{k\ }} \right){(\sigma}_{11\ \ } - \sigma_{\text{k\ \ }}) - \sigma_{13}^{2}}{\vartheta_{k}}$ (1.17)
(n₁^k)²=$\frac{\left( \sigma_{11\ \ } - \sigma_{\text{k\ }} \right){(\sigma}_{22\ \ } - \sigma_{\text{k\ \ }}) - \sigma_{12}^{2}}{\vartheta_{k}}$

ϑ_k= (σ₁₁  −σ_k )(σ₂₂  −σ_k )+(σ₂₂  −σ_k )(σ₃₃  −σ_k )+ (σ₃₃  −σ_k )(σ₁₁  −σ_k )- (σ₁₂²+ σ₁₃²+ σ₂₃²)

k=1,2,3 (1.18)

Nie ma sumowania po wskaźniku k. Jest to niezgodne z zasadą rachunku sumowania wskaźnikowego, jednak taki zapis stosuje się w mechanice ciała stałego i nie tylko.
σ_k- naprężenia główne (k= 1,2,3)

W przypadku płaskiego stanu naprężenia, kiedy naprężenia występują tylko w jednej płaszczyźnie np. pł. X₁X₂ to w takim przypadku równanie (1.14) sprowadza się do równania kwadratowego, którego pierwiastki mają następującą postać ( 1.21):

Tensor naprężenia:

(1.19)

Macierz przejścia:

(1.20)

(1.21)

σ₁ ≥ σ₂

Kierunki naprężeń głównych:

tg2α= $\frac{{2\sigma}_{12}}{\sigma_{11 - \ \ \ \sigma_{22}}}$ (1.22)

Wzory (1.21), (1.22) maja interpretację geometryczną w postaci Koła Mohra.

1.5. Naprężenia oktaedryczne

Rozpatrzmy interesującą z pewnych względów płaszczyznę, która jest jednakowo nachylona do płaszczyzn głównych. Obliczmy naprężenia normalne i styczne występujące w takiej płaszczyźnie nazywanej oktaedryczną lub płaszczyzną wypadkowych naprężeń w danym punkcie.
Osie współrzędnych skierujemy zgodnie
z normalnymi płaszczyzn głównych, tzn. wzdłuż naprężeń głównych. Cosinusy kierunkowe dla płaszczyzny oktaedrycznej liczone względem wymienionych osi współrzędnych są, oczywiście, sobie równe i wynoszą

l=m=n= $\frac{1}{\sqrt{3}}$ (1.23)

p_1n= σ₁l, p_2n= σ₁m, p_3n= σ₁n (1.24)

Całkowite naprężenie na płaszczyźnie okteadrycznej wyrazi się następująco:

p_n²=$\frac{1}{3}$ (σ₁²+ σ₂²+ σ₃²) (1.25)

tzn. kwadrat całkowitego naprężenia na płaszczyźnie okteadrycznej równa się średniej arytmetycznej kwadratów naprężeń głównych.
Naprężenie normalne na tejże płaszczyźnie wyniesie:

σ_okt= $\frac{1}{3}$ (σ₁+ σ₂+ σ₃) gdzie σ_okt= σ_śr (1.26)

tzn. naprężenie normalne na płaszczyźnie oktaedrycznej równe jest średniemu naprężeniu normalnemu dla danego punktu.
Naprężenia styczne na płaszczyźnie oktaedrycznej :

τ_okt= [((σ₁-σ₂)² +(σ₂-σ₃)² + (σ₃-σ₁)²) ]^1/2 (1.27)

Oznaczając

$\frac{\sigma 1 - \sigma 2\ \ \ }{2}$₌τ₁₂ $\frac{\sigma 2 - \sigma 3\ \ \ }{2}$₌τ₂₃ $\frac{\sigma 3 - \sigma 1\ \ \ }{2}$₌τ₃₁ (1.28)

i nazywając podane połówki różnic głównych naprężeń głównymi naprężeniami stycznymi możemy zapisać:

τ_okt= $\frac{2}{3}$ $\sqrt{\text{\ \ }\tau_{12}^{2} + \ \tau_{23}^{2}\ \ + \ \ \tau_{31}^{2}}$, (1.29)

tzn. kwadrat naprężenia stycznego na płaszczyźnie oktaedrycznej równa się 4/9 (tzn. prawie połowie) sumy kwadratów głównych naprężeń stycznych.
Wprowadzone powyżej naprężenia normalne i styczne, występujące na płaszczyznach oktaedrycznych, nazywane inaczej naprężeniami oktaedrycznymi, są jednakowe dla wszystkich ośmiu płaszczyzn , które można przeprowadzić w każdej ósemce układu współrzędnych; jeżeli odcinki wyznaczone przez te płaszczyzny na głównych osiach 1,2,3 są jednakowe we wszystkich ósemkach, to połączenie tych płaszczyzn w jedna całość przedstawia zamknięta bryłę geometryczną – ośmiościan umiarowy lub oktaedr.

τ_okt=$\frac{1}{3}$ $\sqrt{{(\sigma}_{x} - \sigma_{\text{y\ }}}\overset{\overline{}}{)^{2} +}\overset{\overline{}}{{(\sigma}_{y} - \sigma_{\text{z\ }}})^{2}\overset{\overline{}}{+}\overset{\overline{}}{{(\sigma}_{z} - \sigma_{\text{x\ }}})^{2}$+6( τxy²+ τ_yz²+ τ_zx²) (1.30)

1.6. Ekstremalne naprężenia styczne

Przyjmijmy dla danego punktu kierunki naprężeń głównych σ₁, σ₂ i σ₃ za kierunki osi współrzędnych
x, y, z. Wówczas dla dowolnej płaszczyzny ukośnej w odniesieniu do wymienionych kierunków głównych naprężenia normalne i styczne zapisać można, zgodnie ze wzorami, w postaci:

σ_n=σ₁l²+ σ₂m² + σ₃n² (1.31)

τ²= p_n²- σ_n²= σ₁ ²l²+ σ₂ ²m² + σ₃ ²n²-( σ₁l²+ σ₂m² + σ₃n²)² (1.32)

Wyeliminujemy obecnie z równania (m) jeden z cosinusów, np. n, przy pomocy zależności

l²+ m² + n²=1 (1.33)

a następnie obliczmy cosinusy l i m w ten sposób, aby naprężenie styczne τ uzyskało wartość maksymalną.
Po podstawieniu n²=1- l²- m² do wyrażenia (m) znajdźmy pochodne jego względem l i m
i przyrównajmy te pochodne do zera. Otrzymamy następujące dwa równania dla cosinusów kierunkowych l i m określające położenie płaszczyzn, na których naprężenie τ osiaga wartość maksymalną lub minimalną:

l [(σ₁- σ₃) l²+(σ₂- σ₃) m²-$\ \frac{1}{2\ \ }$(σ₁- σ₃)]=0 (1.34)
m [(σ₁- σ₃) l²+(σ₂- σ₃) m²-$\ \frac{1}{2\ \ }$(σ₁- σ₃)]=0

Jedno z rozwiązań tych równań otrzymamy, jeżeli przyrównamy l i m do zera. Można jednak uzyskać również rozwiązania różne od zera. Przyjąwszy l=0, znajdziemy z drugiego z równań (n)

m=±$\sqrt[2]{\frac{1}{2}}$ (1.35)

a przyjąwszy m równe zeru znajdziemy z pierwszego równań (n)

l=±$\sqrt[2]{\frac{1}{2}}$ (1.36)

Powtarzając przytoczone wyżej postępowanie w celu wyeliminowania z wyrażenia (m) cosinusów kierunkowych mi l, w końcowym wyniku otrzymamy następującą tablicę sześciu wartości cosinusów katów, przy których naprężenia τ osiągają maksymalną lub minimalną wartość:

l	0	0	±1	0	±$\sqrt[2]{\frac{1}{2}}$	±$\sqrt[2]{\frac{1}{2}}$
m	0	±1	0	±$\sqrt[2]{\frac{1}{2}}$	0	±$\sqrt[2]{\frac{1}{2}}$
n	±1	0	0	±$\sqrt[2]{\frac{1}{2}}$	±$\sqrt[2]{\frac{1}{2}}$	0

Pierwsze trzy kolumny reprezentują płaszczyzny pokrywające się z płaszczyznami współrzędnych, które, jak to było założone na początku, są płaszczyznami głównymi. Na tych płaszczyznach naprężenia styczne są równe zeru, tzn. wyrażenie (m) dla kwadratu τ wykazuje wartość minimalną.
Trzy ostatnie kolumny przedstawiają płaszczyzny przechodzące przez jedną z trzech osi głównych i dzielące na połowy kat prosty zawarty pomiędzy dwiema pozostałymi osiami głównymi. Podstawiwszy cosinusy kierunkowe określające położenie tych trzech płaszczyzn do wyrażenia (m) otrzymamy następujące wartości naprężeń stycznych ( nazywanych niekiedy głównymi stycznymi) na tych trzech płaszczyznach :

τ₁₂=±$\frac{1}{2}$ (σ₁- σ₂)
τ₂₃=±$\frac{1}{2}$ (σ₂- σ₃) (1.37)
τ₃₁=±$\frac{1}{2}$ (σ₃- σ₁)

A więc największe naprężenie styczne działa na płaszczyźnie dzielącej na połowy kat prosty zawarty pomiędzy największym i najmniejszym naprężeniem głównym i jest ono równe połowie różnicy tych dwóch naprężeń głównych.
Na płaszczyznach , na których naprężenia styczne osiągają wartości podane we wzorach działają również naprężenia normalne, które są równe połowie sum odpowiednich naprężeń głównych:

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{1}{\ \ \ 2}$ (σ₁+ σ₂), $\frac{1}{2}$ (σ₂+ σ₃), $\frac{1}{2}$ (σ₃+ σ₁) (1.38)

Ze wzorów wynika, że jeżeli wartości naprężeń głównych czynią zadość nierównościom
σ₁> σ₂> σ₃, to największe naprężenie styczne wynosi $\text{\ \ \ }\frac{\sigma 1 - \ \sigma 3}{2}$ , tzn. równa się ono połowie różnicy największego i największego naprężenia głównego.

Literatura:
1. Wykłady: Wytrzymałość materiałów prof. dr hab. inż. Adam Podhorecki, UTP Bydgoszcz;
2. N. I. Biezuchow „Teoria sprężystości i plastyczności” Warszawa 1957, wyd. PWN;
3. Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Politechnika Poznańska – biblioteka elektroniczna