01.12.2011r.

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu

Ćwiczenie laboratoryjne nr 3

Prowadzący: Dr inż. Monika Tkaczuk-Serafin

Wykonał: Igor Kryziński

METODA PODSTAWOWA POMIARU NA PRZYKŁADZIE WYZNACZANIA GĘSTOŚCI. BŁĘDY W METODZIE POŚREDNIEJ

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest określenie gęstości wybranej cieczy manometrycznej (denaturatu) i gęstości nasypowej pyłu (piasek) oraz przeprowadzenie analizy niepewności uzyskanych na drodze pomiaru wyników.

1. Stanowisko pomiarowe

Rys. 1 Schemat układu do wyznaczania gęstości nasypowej pyłu

Rys. 2 Schemat układu do wyznaczania gęstości cieczy

1. Tabela pomiarowa

Lp.	Masa cieczy mc [g]	Masa pyłu w zbiorniku 1 mp1 [g]	Masa pyłu w zbiorniku 2 mp2 [g]
1	40,12	38,98	30,42
2	40,72	38,38	30,50
3	40,53	38,75	30,33
4	40,82	40,83	31,37
5	40,30	38,32	30,31
Masy zbiorników m0 [g]	96,76	117,03	211,39
Obj. zbiorników V [cm^3]	50	26	21

1. Wyniki obliczeń

$\overset{\overline{}}{\mathbf{m}\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\sum_{i = 1}^{n}m_{i}}{n} = \mathbf{40}\mathbf{,}\mathbf{498}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\overset{\overline{}}{\mathbf{\text{mp}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\mathbf{39}\mathbf{,}\mathbf{052}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\overset{\overline{}}{\mathbf{\text{mp}}_{\mathbf{2}}} = \mathbf{30}\mathbf{,}\mathbf{586}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\frac{\overset{\overline{}}{\text{mc}}}{V} = \frac{40,498\ }{50}\mathbf{=}0,8098\ \frac{g}{{cm}^{3}}\mathbf{=}\mathbf{809}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}\mathbf{-}$ gęstość cieczy manometrycznej

$\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\frac{\overset{\overline{}}{\text{mp}_{1}}}{V} = \frac{39,052}{26}\mathbf{=}1,502\frac{g}{cm^{3}}\mathbf{=}\mathbf{1502}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}\mathbf{-}\mathbf{\ }$gęstość nasypowa piasku w pierwszym zbiorniku

$\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\overset{\overline{}}{\text{mp}_{2}}}{V} = \frac{30,586}{21}\mathbf{=}1,45647619\ \frac{g}{{cm}^{3}} = \mathbf{1456}\mathbf{,}\mathbf{47619}\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}} -$ gęstość nasypowa piasku w drugim zbiorniku

1. Analiza niepewności

• Niepewność rozszerzona dla gęstości cieczy

$$\frac{\mathbf{u}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right)}{\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}}\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{u}\left( \mathbf{\text{mc}} \right)}{\mathbf{\text{mc}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{u}\left( \mathbf{V} \right)}{\mathbf{V}} \right)^{\mathbf{2}}}$$

$\mathbf{u}\left( \overset{\overline{}}{\mathbf{\text{mc}}} \right)\mathbf{= \ }\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( \text{mc}_{i} - \overset{\overline{}}{\text{mc}} \right)^{2}}{n(n - 1)}} = 0,129630243 \approx \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{13}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\text{Pw}} \right) = \frac{_{g}m}{\sqrt{3}} = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,057735026 \approx \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{06}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\text{mc}} \right) = \sqrt{u^{2}\left( \overset{\overline{}}{\text{mc}} \right) + u^{2}\left( \text{Pw} \right)} = 0,141906071 \approx \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{15}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{V} \right) = \frac{_{g}V}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,577350269\ \mathbf{\approx}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{\ }\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{3}}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right)\mathbf{=}0,01206696\ \bullet 0,8098\mathbf{=}0,009771825\ \frac{g}{\text{cm}^{3}}\mathbf{=}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{771825}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$

$\mathbf{U}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{c}} \right) = 2 \bullet \ 9,771825 = 19,54365 \approx \mathbf{20}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ dla P=95% ,  k=2

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{c}}\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{10}\mathbf{\pm}\mathbf{20}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}\mathbf{\ }$$

• Niepewność rozszerzona dla gęstości nasypowej piasku w pierwszym zbiorniku

$$\frac{\mathbf{u}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}} \right)}{\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}}\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{u}\left( \mathbf{\text{mp}}_{\mathbf{1}} \right)}{\mathbf{\text{mp}}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{u}\left( \mathbf{V} \right)}{\mathbf{V}} \right)^{\mathbf{2}}}$$

$\mathbf{u}\left( \overset{\overline{}}{\mathbf{\text{mp}}_{\mathbf{1}}} \right)\mathbf{= \ }\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( {\text{mp}1}_{i} - \overset{\overline{}}{\text{mp}_{1}} \right)^{2}}{n(n - 1)}} = 0,460710321 \approx \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\text{Pw}} \right) = \frac{_{g}m}{\sqrt{3}} = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,057735026 \approx \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{06}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\text{mp}}_{\mathbf{1}} \right) = \sqrt{u^{2}\left( \overset{\overline{}}{\text{mp}_{1}} \right) + u^{2}\left( \text{Pw} \right)} = 0,46431383 \approx \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{V} \right) = \frac{_{g}V}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,577350269\ \mathbf{\approx}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{\ }\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{3}}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}} \right)\mathbf{=}0,025188488\mathbf{\bullet}1,502 = 0,037833109\ \frac{g}{\text{cm}^{3}}\mathbf{=}\mathbf{37}\mathbf{,}\mathbf{83310957}\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$

$\mathbf{U}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}} \right) = 2 \bullet \ 37,83310957 = 75,66621914 \approx \mathbf{76}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ dla P=95% ,  k=2

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{1}}}\mathbf{=}\mathbf{1502}\mathbf{\pm}\mathbf{76}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}\mathbf{\ }$$

• Niepewność rozszerzona dla gęstości nasypowej piasku w pierwszym zbiorniku

$$\frac{\mathbf{u}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{2}}} \right)}{\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{2}}}}\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{u}\left( \mathbf{\text{mp}}_{\mathbf{2}} \right)}{\mathbf{\text{mp}}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left( \frac{\mathbf{u}\left( \mathbf{V} \right)}{\mathbf{V}} \right)^{\mathbf{2}}}$$

$\mathbf{u}\left( \overset{\overline{}}{\mathbf{\text{mp}}_{\mathbf{2}}} \right)\mathbf{= \ }\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( {\text{mp}2}_{i} - \overset{\overline{}}{\text{mp}_{2}} \right)^{2}}{n(n - 1)}} = 0,198912041 \approx \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\text{Pw}} \right) = \frac{_{g}m}{\sqrt{3}} = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,057735026 \approx \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{06}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\text{mp}}_{\mathbf{2}} \right) = \sqrt{u^{2}\left( \overset{\overline{}}{\text{mp}_{2}} \right) + u^{2}\left( \text{Pw} \right)} = 0,207121542 \approx \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{21}\mathbf{\ }\mathbf{g}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{V} \right) = \frac{_{g}V}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,577350269\ \mathbf{\approx}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{\ }\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{3}}$

$\mathbf{u}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{2}}} \right)\mathbf{=}0,028314569 \bullet 1,4565 = 0,04124017\ \frac{g}{\text{cm}^{3}}\mathbf{=}\mathbf{41}\mathbf{,}\mathbf{240170}\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$

$\mathbf{U}\left( \mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{2}}} \right) = 2 \bullet \ 41,240170 = 82,48034111 \approx \mathbf{83}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$ dla P=95% ,  k=2

$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{p}_{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{145}\mathbf{6}\mathbf{\pm}\mathbf{83}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$$

1. Wnioski

Szacowanie niepewności pomiaru pośredniego opiera się na wyliczeniu niepewności wielkości wchodzących w skład równania podstawowego na gęstość. Wszystkie te wartości są sumowane co daje nam większą niepewność niż w pomiarze bezpośrednim. Analizując wyniki możemy zauważyć że gęstość nasypowa tego samego materiału (piasku) jest różna dla pomiarów realizowanych w innych zbiornikach. Jest to wynikiem innego rozkładu piasku w poszczególnych zbiornikach, większej wysokości lejka zsypowego oraz szybkości zsypywania.