3. Charakterystyki położenia i rozproszenia cechy, kwantyle:

Za pomocą opisowych charakterystyk można przeprowadzić analizę struktury zjawisk masowych, czyli analizę właściwości różnych rozkładów.

1. MIARY POŁOŻENIA - określanie tej wartości zmiennej opisanej przez rozkład, wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości zmiennej.

KLASYCZNE:

średnia arytmetyczna: suma wartości zmiennej wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzielona przez liczbę tych jednostek .

Zastosowanie: dla zbiorowości jednorodnych o niewielkim zróżnicowaniu wartości zmiennej oraz kiedy szereg statystyczny wykazuje symetryczność.

średnia harmoniczna odwrotnością średniej arytmetycznej odwrotności wartości zmiennych.

ZASTOSOWANIE: bardzo duże zróżnicowanie wartości cechy (występują różnice o kilka rzędów wielkości), do nadania większego znaczenia mniejszym wartościom, np. badamy pewną zbiorowość i interesuje nas ich szansa przeżycia przy tym, iż jest 5 samic i 11 samców, do obliczania średniego czasu przeżycia obiektów biologicznych, wartości podane są w jednostkach względnych, np. km/h, kg/osobę,

średnia geometryczna: pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu n wartości danej zmiennej.

ZASTOSOWANIE: jeżeli wartości w szeregu statystycznym zmieniają się w sposób proporcjonalny,

przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk

POZYCYJNE

dominanta (modalna, moda, wartość najczęstsza): wartość zmiennej, która występuje najczęściej. Jej wartość można ustalić więc jedynie z rozkładów jednomodalnych. W szeregach rozdzielczych przedziałowych bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym znajduje się dominanta, czyli przedział o największej liczebności.

Kwantyle: wartości cechy badanej w zbiorowości, które dzielą ją na określone części pod względem liczby jednostek. Można je wyznaczać z szeregów uporządkowanych według rosnących (lub malejących) wartości cechy statystycznej. RODZAJE KWANTYLI:

kwartyle: dzielą zbiorowość uporządkowaną na 4 części pod względem liczebności Mamy3 kwartyle: kwartyl pierwszy - Q₁ - (dolny), dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie części, z czego 25% jednostek ma wartości cechy niższe a 75% wyższe od kwartyla pierwszego, kwartyl drugi - Me - (mediana, wartość środkowa), dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie równe części, z czego 50% jednostek ma wartości cechy niższe a 50% wyższe od mediany, kwartyl trzeci - Q₃ - (górny), dzieli zbiorowość uporządkowaną na dwie części, z czego 75% jednostek ma wartości cechy niższe a 25% wyższe od kwartyla trzeciego

kwintyle: dzielą zbiorowość uporządkowaną na 5 części pod względem liczebności

decyle: dzielą zbiorowość uporządkowaną na 10 części pod względem liczebności, decyli jest 9 a piąty decyl jest medianą

centyle (percentyle):dzielą zbiorowość uporządkowaną na 100 części pod względem liczebności, centyli jest 99 a 50 centyl jest medianą

MIARY ROZPROSZENIA - do badania stopnia zróżnicowania wartości zmiennej.

KLASYCZNE:

wariancja : średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej całej zbiorowości.

odchylenie standardowe - pierwiastek kwadratowy z wariancji. Określa, o ile wszystkie jednostki danej zbiorowości różnią się średnio od średniej arytmetycznej badanej zmiennej. ZASTOSOWANIE: do konstrukcji typowego obszaru zmienności badanej cechy.

POZYCYJNE:

rozstęp R = X _max - X _min - różnica między największą i najmniejszą wartością zmiennej w badanej zbiorowości. ZASTOSOWANIE: w celu wstępnej orientacji, na jakim obszarze rozciągają się wartości badanej zmiennej. ZALETY: miara prosta i łatwa do obliczenia. WADY: Wartość rozstępu zależy tylko od dwóch jednostek zbiorowości. Nie daje nam więc informacji, jak dalece różnią się między sobą pozostałe jednostki

MIARY ASYMETRII (skośności) -do badania kierunku zróżnicowania wartości zmiennej, czy przeważająca liczba jednostek znajduje się powyżej czy poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy.

Asymetrię rozkładu najłatwiej jest określić przez porównanie dominanty (mody), mediany i średniej arytmetycznej.

Rozkład symetryczny: (
) Współczynnik asymetrii równa się zero (As = 0) Moment centralny rzędu trzeciego m₃ = 0

Rozkład asymetryczny prawostronny:
dodatni As > 0, m₃ > 0

Rozkład asymetryczny lewostronny:
ujemny As < 0, ujemny m₃ < 0

Współczynnik asymetrii (skośności): miara określająca kierunek i siłę asymetrii. Im większa jego wartość, tym silniejsza jest asymetria.

As = 0 - rozkład symetryczny As > 0 - rozkład asymetryczny prawostronny As < 0 - rozkład asymetryczny lewostronny

Zastosowanie: Umożliwia porównywanie asymetrii różnych rozkładów, ponieważ jest to miara niemianowana i unormowana., Określanie siły i kierunku asymetrii

MIARY KONCENTRACJI - do analizy stopnia skupienia poszczególnych jednostek wokół średniej.

Kurtoza: miara odchylenia jednomodalnego rozkładu cechy statystycznej od rozkładu normalnego polegającego na zbytnią spiczastością, wysmukłością lub spłaszczeniem rozkładu cechy w porównaniu do rozkładu normalnego. INTERPRETACJA: K = 0 - rozkład mezokurtyczny - Spłaszczenie rozkładu jest podobne do spłaszczenia rozkładu normalnego. K > 0 - rozkład wysmukły, leptokurtyczny - Wartości cechy bardziej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym, K < 0 - rozkład spłaszczony, platokurtyczny - Wartości cechy mniej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym.

---