Wstęp teoretyczny:
Efekt Halla występuje w przewodnikach i półprzewodnikach gdzie prędkość dryfu nośników prądu Vp jest różna od zera.
Jeżeli przez płytkę półprzewodnika (przewodnika) popłynie prąd o natężeniu I, i jednocześnie poddamy działaniu zewnętrznemu polu magnetycznemu o wartości indukcji B, skierowanym prostopadle do naszej płytki, na nośniki prądu zacznie działać siła zakrzywiająca ich tory ruchu, siła Lorenza - FL której kierunek zależy od rodzaju nośnika prądu (dodatniego, bądź ujemnego). Wytworzy się wówczas pole elektryczne EH, zwanym polem Halla, którego siła F równoważyć będzie działanie siły FL, w wyniku czego w ptk. A i Z wytworzy się różnica potencjałów i powstanie napniecie Halla - UH. wyrażające się wzorem:
Gdzie:
R – to współczynnik proporcjonalności (stała Halla)
B – indukcja magnetyczna pola
j – gęstość prądu
d – szerokość płytki
Opis pomiaru:
Badaliśmy zachowanie UH w zależności od wartości indukcji pola B oraz natężenia prądu I płynącego w próbce o wymiarach
I oporności R0
Dla ustawionej jednej stałej wartości, natężenia lub indukcji, przeprowadzone zostały pomiary, których wyniki widnieją w tabelach poniżej.
badanie napięcia UH Halla w funkcji natężenia I
UH = f(I)
B [mT] | 171 | |||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
I [mA] | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 | 26 |
UH [mv] | 1,3 | 0,6 | -0,2 | -1,5 | -3,1 | -4,2 | -5,2 | -6,3 | -7,1 | -8,4 | -9,6 | -10,1 | -11,6 | -12,6 |
a = -5,242*10-1 V/A - współczynnik kierunkowy prostej a = 0,05*10-1 V/A korelacja = 0,999
b = 1,308 V – wyraz wolny b = 0,123 V
Wyznaczenie stałej Halla :
Do wyznaczenia stałej Halla RH należy wziąć wykres zależności napięcia Halla w funkcji natężenia prądu UH = f(I)
Wykres zmian napięcia względem natężenia ma charakter liniowy y = ax + b, gdzie a stanowi współczynnik kierunkowy prostej.
ponieważ a gdzie S oznacza pole przekroju poprzecznego przewodnika
zatem wartość stałej Halla wynosi po obliczeniach:
Dla B =171 [mT].
$R_{H} = \frac{- 5,242*10^{- 1}\frac{V}{A}*10^{- 5}m^{2}}{171*10^{- 3}T*10^{- 2}m} = - 0,031*10^{- 1}\frac{m^{3}}{C}$
Rachunek jednostek
$$\left\lbrack R_{H} \right\rbrack = \frac{\frac{V}{A}*m^{2}}{T*m} = \frac{V*m^{2}*m^{2}}{A*V*s*m} = \frac{m^{3}}{C}$$
Wnioski:
Znak przy stałej Halla jest ujemny, z czego wynika, ze w badanej próbce nośnikami prądu są ładunki ujemne, elektrony jest to zatem półprzewodnik typu „n”.
Wielkość natężenia prądu płynącego próbce nie ma wpływu na wartość stałej Halla.
Wyznaczenie koncentracji nośników prądu:
Przyjmując, że e = 1.61 x 10-19 C a koncentrację nośników nazwiemy n możemy napisać, że:
Dla RH = −0, 031
$$n = - \frac{1}{- 0,031*10^{- 1}\frac{m^{3}}{C}*1,61*10^{- 19}C} = 20,1*10^{20}\frac{1}{m^{3}}$$
Wyznaczanie ruchliwości:
Znając wartości współczynnika Halla RH, koncentracji nośników (n lub p) i oporność próbki Ro oraz jej długość l, określamy wielkość zwaną ruchliwością nośników prądu
$\mu = \frac{\sigma}{\text{ne}}$ ; $\sigma = \frac{l}{R_{0}*S}$
$\sigma = \frac{10^{- 2}m}{39,5\Omega*10^{- 5}m^{2}} = 0,0253*10^{3}\frac{1}{\Omega m}$ ; $\mu = \frac{0,0253*10^{3}\frac{1}{\Omega m}}{20,1*10^{20}\frac{1}{m^{3}}*1,61*10^{- 19}C} = 7,82*10^{2}\frac{m^{2}}{\text{Vs}}$
Rachunek jednostek
$$\left\lbrack \mu \right\rbrack = \frac{\frac{1}{\Omega m}}{\frac{1}{m^{3}}*C} = \frac{1}{\Omega m}*\frac{m^{3}}{C} = \frac{m^{2}}{\Omega C} = \frac{m^{2}}{\frac{V}{A}*As} = \frac{m^{2}}{\text{Vs}}$$
UH = f(B)
I [mA] | 40 | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
B [mT] | 0 | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 |
UH [mv] | 19,8 | 15,0 | 10,6 | 6,0 | 1,1 | -3,4 | -7,7 | -12,5 | -16,9 | -21,4 |
a = -2,235* 10-1 V/T - współczynnik kierunkowy prostej a = 0.048 * 10-1 V/T korelacja = 0,996
b = 18,646 V – wyraz wolny b = 0.730 V
Wyznaczenie stałej Halla :
Dla I= 40 mA
$R_{H} = \frac{a^{'}*S}{I*d}$
$$R_{H} = \frac{\ - 2,235\frac{V}{T}*\ 10^{- 1}*10^{- 5}m^{2}}{40A*10^{- 3}*10^{- 2}m} = - 0,056*10^{- 1}\left\lbrack \frac{m^{3}}{C} \right\rbrack$$
Rachunek jednostek
$$\left\lbrack R_{H} \right\rbrack = \frac{\frac{V}{T}*m^{2}}{A*m} = \frac{\frac{Vm^{2}m^{2}}{\text{Vs}}}{\text{Am}} = \frac{m^{3}}{\text{As}}\frac{m^{3}}{C}$$
Wyznaczenie koncentracji nośników prądu:
$$R_{H} = - \frac{1}{n*e}\ \overset{\Rightarrow}{}n = \frac{1}{R_{H}*e}$$
$$n = - \frac{1}{- 0,056*10^{- 1}\frac{m^{3}}{C}*1,61*10^{- 19}C} = 11,1*10^{20}\frac{1}{m^{3}}$$
Wyznaczanie ruchliwości:
$\mu = \frac{\sigma}{\text{ne}}$; $\sigma = \frac{l}{R_{0}*S}$
$\sigma = \frac{10^{- 2}m}{39,5\Omega*10^{- 5}m^{2}} = 0,0253*10^{3}\frac{1}{\Omega m}$; $\mu = \frac{0,0253*10^{3}\frac{1}{\Omega m}}{11,1*10^{20}\frac{1}{m^{3}}*1,61*10^{- 19}C} = 0,00142*10^{2}\frac{m^{2}}{\text{Vs}}$
Rachunek jednostek
$$\left\lbrack \mu \right\rbrack = \frac{\frac{1}{\Omega m}}{\frac{1}{m^{3}}*C} = \frac{1}{\Omega m}*\frac{m^{3}}{C} = \frac{m^{2}}{\Omega C} = \frac{m^{2}}{\frac{V}{A}*As} = \frac{m^{2}}{\text{Vs}}$$
Podsumowanie:
Metoda ta wyznaczania stałej Halla, ruchliwości nośników oraz ich koncentracji przy użyciu dokładnych urządzeń pomiarowy jest skuteczna.
Za pomocą tego doświadczenia można określić rodzaj badanej próbki, a na podstawie znaku przy stałej Halla rodzaj nośników prądu.
Stopień popełnienia błędu sądząc po korelacji linii prostej na wykresach jest nieznaczny.
Przyczyny powstawania błędów:
niedokładności urządzeń pomiarowych..
niedokładności ludzkiej ręki ustawiającej parametry
stopniowe nagrzewanie się próbki, co zmniejsza oporność i wpływa na wyniki