EKONOMETRIA STOSOWANA – NOTATKI

• Wiarygodność modelu:

  Jeśli liczba stopni swobody modelu, wyznaczana jako różnica między liczbą obserwacji, a liczbą szacowanych parametrów (df=n-(k+1))>30, to próba jest wystarczająco liczna.

• Dane przekrojowe –opisują cechy jednostek i pochodzą z jednego okresu

• Szeregi czasowe – dane mają postać obserwacji tych samych zmiennych dokonywanych z określoną częstotliwością

MNK – założenia

• Estymator B wyznaczony MNK jest estymatorem zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym w klasie liniowych estymatorów wektora parametrów B modelu.

• najlepiej oszacowany estymator ma najmniejszą wariancję

• wartość oczekiwana składnika losowego wynosi 0.

• Składniki losowe związane z poszczególnymi obserwacjami nie są ze sobą skorelowane i mają stałą wariancję.

• Reszta – różnica między wartością empiryczną, a teoretyczną zmiennej objaśnianej.

• Błąd standardowy regresji (składnika losowego) – ile przeciętnie odchylają się warunkowe wartości oczekiwane zmiennej objaśnianej od jej wartości empirycznych.

Weryfikacja modelu

Kolejność:

• Weryfikacja merytoryczna:

• ocena sensowności ekonomicznej oszacowań parametrów

• ocena dopasowania modelu do danych empirycznych (współczynnik determinacji)

• kryteria informacyjne

• Weryfikacja statystyczna: testy hipotez statystycznych dotyczących modelu

1. Estymacja parametrów modelu

2. Weryfikacja merytoryczna

3. Weryfikacja statystyczna:

   • Interpretacja i ocena wartości współczynnika determinacji i kryteriów informacyjnych

   • Ocena siły współliniowości zmiennych objaśniających

   • Testy hipotez o statystycznej istotności poszczególnych zmiennych objaśniających i ich podzbiorów

   • Testy specyfikacji

   • Testy własności składnika losowego

   • Testy jakości prognostycznej

WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI

• R² – jaka część modelu jest objaśniana przez zmienne objaśniające (im bliższy 1. Tym lepiej). Zadowalające wartości:

  • W makroekonomicznych modelach szeregów czasowych r2>0,9

  • W modelach opartych na przyrostach zmiennych makroekonomicznych r2 między 0,7, a 0,9

  • W modelach opartych na zagregowanych danych przekrojowych, r2 między 0,3 a 0,7

  • W modelach opartych na indywidualnych danych przekrojowych np. Dot. Gosp. Domowych, albo przedsiębiorstw r2 między 0,05, a 0,4

    Uwaga! Ma wyższą wartość, jeśli w modelu znajduje się więcej zmiennych objaśniających – warto zastosować skorygowany R2

KRYTERIA INFORMACYJNE – kryteria oszacowania jakości modelu

• Kryterium Akaike’a (AIC – Akaike information Criterion) – odzwierciedla, na ile proces opisany szacowanym równaniem ma potwierdzenie w zaobserwowanych danych.

• Wartość maleje ze wzrostem wiarygodności – im mniejsza wartość tym lepiej

• Można nim tylko porównać dwa modele, sama wartość nie niesie ze sobą informacji

• Pozostałe kryteria informacyjne: BIC –Bayesian Information Cryterion oraz HQC – Hannan-Quinn Cryterion) – mają większą karę za dodatkowe zmienne, czyli zazwyczaj – wyższe wartości niż Akaike’a.

WSPÓŁLINIOWOŚĆ ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH

Po co testować? Jeśli występuje, to nie możemy zastosować MNK

• Szeregi czasowe:

  • Kształtowanie się zjawisk zgodnie z podobnymi trendami lub cyklami koniunkturalnymi

    CIW (VIF – variance inflation factor) – czynnik inflacji wariancji) – sprawdza sytuację faktyczną z idealną, kiedy wszystkie zmienne objaśniające są ze sobą nieskorelowane; TESTUJE WSPÓŁLINIOWOŚĆ ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH.

    Jeśli brak współliniowości, to CIW > 1, CIW >10 – współliniowość obniżająca jakość modelu

ISTOTNOŚĆ ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH

p-value- najniższy poziom istotności, przy którym odrzucamy H0 (jeśli wartość empiryczna mniejsza od alfy – odrzucamy H0)

• T- Student – objaśnia istotność pojedynczej zmiennej (rozkład z n-(k+1) stopniami swobody)

  • H0- brak statystycznej istotności badanej zmiennej objaśnianej (beta=0)

  • Dopuszcza wartości parametru wyższe i niższe od 0.

• Test WALDA – objaśnia istotność wszystkich zmiennych objaśniających na raz.

  • H0 – wszystkie zmienne objaśniające są łącznie nieistotne

  • H1 – przynajmniej jeden parametr różny od zera

  • Rozkład F-Snedecora – jeśli wartość statystyki > od wartości krytycznej z tablic rozkładu F, to odrzucamy H0

TESTY SPECYFIKACJI MODELU

Sprawdzenie postaci funkcyjnej modelu, odpowiednie dobranie zmiennych objaśniających i prawidłowe dobranie struktury dynamicznej modelu.

TEST RESET – test poprawności konstrukcji modelu

• H0 – parametry przy wszystkich dodanych zmiennych =0 – poprawna postać funkcyjna modelu

• Weryfikacja statystyką Walda o rozkładzie F

• Negatywny wynik testu RESET może wskazywać na:

  • Błąd doboru postaci funkcyjnej

  • Pominięcie ważnej zmiennej

    TEST POMINIĘTEJ ZMIENNEJ – sprawdza, czy na pewno wszystkie uwzględnione zmienne powinny się znajdować w modelu

• H0- zmienna nieistotna – można wyjebać z modelu

  TEST DAVIDSONA MCKINNONA – poprawność specyfikacji modelu

• Mamy 2. Modele – model kompletny to taki, który lepiej niż konkurencyjny tłumaczy zmienną objaśnianą

• 2. Modele – taka sama postać funkcyjna i liczba zmiennych objaśniających, ale inne zbiory zmiennych objaśniających

• Teoretyczna wartość zmiennej objaśnianej dołączana do modelu konkurencyjnego – jeśli okazuje się statystycznie nieistotna – model kompletny

WŁASNOŚCI SKŁADNIKA LOSOWEGO

• Reszty składnika losowego powinny się układać przypadkowo

AUTOKORELACJA SKŁADNIKA LOSOWEGO

• Ze względu na konieczność ułożenia danych w sensownym ciągu, autokorelacja składnika losowego jest stosowana zazwyczaj tylko w szeregach czasowych

  TEST DURBINA-WATSONA – autokorelacja 1. Rzędu.

• H0- brak autokorelacji składnika losowego

Odrzucamy H0 – dodatnia autokorelacja	Nie można podjąć decyzji	Brak autokorelacji	Nie można podjąć decyzji	Odrzucamy H0 – ujemna autokorelacja

0 dl du 2 4-du 4-dl 4

• Wartości dl i du na podstawie tablic z danych n- liczba obserwacji, k – liczba zmiennych objaśniających

  ZASTOSOWANIE:

• Wyłącznie do modeli z wyrazem wolnym, bez zmiennej opóźnionej z normalnym rozkładem składnika losowego

• Autokorelacja tylko rzędu 1.

  TEST MNOŻNIKA LAGRANGE’A

• H0 – brak autokorelacji

• Rozkład X2 z jednym stopniem swobody

• Do wykorzystania przy dużych próbach

• Gdy autokorelacji podlegają obserwacje oddalone o s okresów mówimy o występowaniu autokorelacji rzędu s.

• W modelach szacowanych na podstawie szeregów czasowych można się spodziewać autokorelacji rzędu odpowiadającego częstotliwości danych (np. P=12 dla danych miesięcznych)

HETEROSKEDASTYCZNOŚĆ SKŁADNIKA LOSOWEGO

• Zachodzi, kiedy składniki losowe modelu mają różne wariancje

• Skutek podobny jak w przypadku autokorelacji

  TEST WHITE’A

• H0 – homoskedastyczność

• Statystyka X2

• Heteroskedastyczność jest charakterystyczna dla danych przekrojowych lub przekrojowo-czasowych

• Może, jak testy autokorelacji, wyłapać błędną postać funkcyjną lub pominięte kluczowe zmienne objaśniające

  HAC – heteroskedascity and autocorelation consistent (estymator błędu standardowego uwzględniający heteroskedastyczność i autokorelację)

NORMALNOŚĆ ROZKŁADU SKŁADNIKA LOSOWEGO

• Założenie o normalności rozkładu składnika losowego nie należy do kanonu założeń MNK, ale ułatwia konstrukcję testów statystycznych, czyli ułatwia weryfikację modelu

  TEST JARQUE’A-BEREGO

• H0- składnik losowy ma rozkład normalny

• Rozkład X2 z dwoma stopniami swobody

PROGNOZOWANIE

Aby rozpocząć prognozowanie musimy:

• Zweryfikować pozytywnie model wszelkimi dostępnymi testami

• Zmienne objaśniające powinny być stabilne i znane

• Prognozowanie powinno mieć racjonalne przesłanki

• Rozkład składnika losowego powinien być stabilny w okresie prognozy (przynajmniej na tyle, żeby spełnić założenia MNK)

TESTY STABILNOŚCI PARAMETRÓW MODELU – OBA DOTYCZĄ MODELI, KTÓRYCH PARAMETRY OSZACOWANO NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH.

TEST CHOWA

• Okres próby dzielimy na na dwa okresy, a nr obserwacji rozdzielającej nazywamy punktem zwrotnym

• H0- stabilność

• Statystyka F-Snedecora R1=K+1, R2=n-2(k+1) stopni swobody

  TEST QUANDTA (QRL)

• Jako punkt zwrotny przyjmowany moment, dla którego wart. Statystyki F z r1=k+1, a r2=n-2(k+1) stopniami swobody jest maksymalna

• H0- stabilność

MODELE ZMIENNEJ JAKOŚCIOWEJ

LINIOWY MODEL PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Zmienna objaśniana jest interpretowana jako prawdopodobieństwo zaistnienia zmiennej jakościowej określonej liczbą 1.

liczba zmiennych zero-jedynkowych w modelu musi być o jedną mniejsza niż liczba kategorii, na przykład:

• skoro w roku są 4 kwartały, to 3 zmienne kwartalne

• jeśli mamy 10 dzielnic, w których badamy ceny mieszkań, to 9 zmiennych zero-jedynkowych

• przyczyna: założenie MNK o pełnym rzędzie kolumnowym macierzy X

można wywalić nieistotne zmienne jeśli ze sobą sąsiadują (np. Dzielnice) lub są b. Podobne, ale tylko wtedy, bo inaczej bazą stają się te wywalone, co utrudnia szacunki

Wady:

Niejednorodność składnika losowego (heteroskedastyczność)

Wartość wykracza poza zakres <0;1>

ZMIENNE INTERAKCYJNE:

• zmienne interakcyjne pozwalają uwzględnić efekt synergii – wzmocnienia indywidualnych efektów dwóch lub więcej zmiennych dzięki temu, że działają wspólnie

• najczęściej stosowane w przypadkach:

  1. jakościowa X jakościowa

  2. jakościowa X lościowa

• zmienne interakcyjne trudno zinterpretować dla:

  1. dwóch zmiennych jakościowych

  2. więcej niż dwóch zmiennych

• Poza zmiennymi interakcyjnymi (X*Z, X*V) w modelu warto też pozostawić́ zmienne X, Z i V, żeby „wyłapać́” efekty indywidualne

TESTY NIEZALEŻNOŚCI ZMIENNYCH JAKOŚCIOWYCH

TEST PEARSONA

• Rozkład X2

• hipoteza zerowa H0: zmienne są niezależne

• hipoteza alternatywna H1: zmienne nie są niezależne

MODEL LOGITOWY

W formie dystrybuanty rozkładu logistycznego (krzywa typu S)

Logit to logarytm ilorazu szans przyjęcia oraz nieprzyjęcia wartości 1 przez zmienną objaśnianą. Jeśli szanse są jednakowe, to logit =0

Na wydruku: średnia dla zmiennej Y – udział jedynek w próbie

Predykcja: Na wydruku: logarytm wiarygodności – wartość ln funkcji wiarygodności, którą maksymalizuje się, poszukując ocen parametrów – czyli wartość maksymalna dla modelu.

Zamiast R2 stosuje się pseudo R2,

który ma H0- wszystkie parametry modelu (poza wyrazem wolnym)=0

rozkład statystyka X2, liczba st. Swobody=liczba zmiennych objaśniających modelu

p<alfa -> przynajmniej jedna zmienna w modelu jest istotna

na wydruku może być też tablica empiryczne/prognoza (tablica trafności), służy do oceny ex post. Prawy dolny róg i lewy górny vs. Liczba obserwacji – miara trafności, zwana zliczeniowym R2.

MODEL PROBITOWY

prawie identyczny jak logitowy

MODEL TOBITOWY

zmienna ograniczona – np. Wydatki na samochód – mają różne wartości, albo 0, bo kogoś nie stać

jest to model zajmujący się regresją cenzurowaną (np. 100 osób pytamy o wydatki na wczasy, w kontekście wieku i zatrudnienia. Wydatki 0, ale wciąż mamy informacje na temat wieku i zatrudnienia)

model tobitowy przedstawia zmienną ukrytą, tj. Taką, która ma wartość tylko wtedy, kiedy jest większa od 0

EKONOMETRIA SZEREGÓW CZASOWYCH

Uważać na trend – ze względu na niego może się wydawać, że zmienne objaśniające są ważne – dlatego konieczne jest aby dane były stacjonarne

TESTOWANIE STACJONARNOŚCI

FUNKCJA AUTOKORELACJI

TEST BOXA-PIERCE’A

• H0 – wszystkie współczynniki autokorelacji są =0

• Podstawą wnioskowania statystyka Q

• Rozkład X2 z K stopniami swobody

• Wysokie wartości statystyki Q – przynajmniej jeden ze współczynników różny od 0

  TEST DICKEYA – FULLERA

  Analiza autokorelacji szeregu (poprzednie testy) stanowi jedynie wskazówkę przy podejmowaniu decyzji. Dlatego ostateczna decyzja o uznaniu szeregu za stacjonarny powinna bazować na wynikach testów statycznych (testach pierwiastka jednostkowego)

• H0 –odwrócone g =0, czyli szereg czasowy jest niestacjonarny, zintegrowany w st. 1

• Hipoteza alternatywna (dobra dla nas) – szereg stacjonarny

• Jeśli obliczona DF>DF z tablic -> przyjmujemy H0

MODEL Z ROZKŁADEM OPÓŹNIEŃ. KOINTEGRACJA. MODEL KOREKTY BŁĘDEM

MODEL ZE SKOŃCZONYM ROZKŁADEM OPÓŹNIEŃ

Dynamiczne zależności między zmiennymi mogą zostać uwzględnione w specyfikacji modelu ekonometrycznego przez dodanie przeszłych realizacji zmiennych objaśniających po prawej stronie modelu. Np. Dla jednej zmiennej xt, która oddziałuje na zmienną objaśnianą natychmiast, dorzucamy jeszcze, jeśli oddziałuje z opóźnieniem 1-2 okresów, tą zmienną z opóźnieniem – oddziaływanie zmiennej xt na wartości w rożnych okresach nazywamy mnożnikiem bezpośrednim lub mnożnikiem krótkookresowym. Istotny jest parametr stojący przy zmiennej. (beta przy x w okresie 0 – mnożnik krótkookresowy)

W późniejszych okresach zakumulowany wzrost zmiennej objaśnianej nie ulegnie już zmianie, a więc całkowity wzrost zmiennej objaśnianej w okresie zbieżnym do nieskończoności równa się sumie parametrów przy zmiennych objaśniających, więc parametr beta jest zwany mnożnikiem długookresowym – suma bet przy wszystkich zmiennych objaśniających obejmujących opóźnienie jednej zmiennej

MODEL KOYCKA

• Model nieskończonych opóźnień

• Parametr beta dąży do zera im bliżej nieskończoności

• Zgodnie z koncepcją Koycka, zakładamy, że parametry beta tworzą ciąg geometryczny

MODEL AUTOREGRESYJNY Z ROZKŁADEM OPÓŹNIEŃ – ADL

• Zmienna objaśniana zależy od zmiennej objaśniającej i od swoich przeszłych realizacji

• Mnożnik krótkookresowy = beta 0

• Należy arbitralnie przyjąć rząd opóźnień

• Estymacja często prowadzi do uzyskania parametrów, które nie są statystycznie różne od zera

• Ergo: jak ustalić, które zmienne powinny być uwzględnione w specyfikacji, a które olać?

OD OGÓLNEGO DO SZCZEGÓLNEGO

• w pierwszym etapie szacowania, szacowana jest ogólna postać ADL, tj. Specyfikacja dla wysokich wart. Opóźnień.

• Potem na podst. Testów dot. Składnika losowego, stabilności modelu i istotności zmiennych opóźnionych szukana jest specyfikacja szczególna, eliminująca liczbę zmiennych opóźnionych, ale bez tracenia na jakości modelu

• Możemy uzyskać różne postacie modelu, więc… (pkt. Następny)

• Najlepsze modele charakteryzują się najmniejszymi AIC i sic

  GRANGER – REGRESJA POZORNA

• Pozorna regresja (dane są niby zależne, ale rozsądek, test Durbina-Watsona i Dickeya-Fullera pokazują, że jednak nie.)

• Zależności, mimo wysokiego R2 oraz statystyki t-studenta, sa niestabilne w czasie i są właśnie Regresją pozorną.

• Dlatego przed tworzeniem modelu z szeregów czasowych warto zrobić tak, żeby wszystkie zmienne były stacjonarne, coby nie było przypału, można też sprawdzić relację kointegrującą między zmiennymi

  PRZYCZYNOWOŚĆ W SENSIE GRANGERA:

• zmienna x jest przyczyną (w sensie Grangera) dla y, jeśli x pomaga w prognozowaniu y

• Idea przyczynowości w sensie Grangera nie jest identyczna z potocznym znaczeniem tego terminu: nie oznacza, że y jest skutkiem czy efektem działania x!

• termin „przyczynowość w sensie Grangera” należy rozumieć jako „poprzedzanie”

• zmienna xt nie jest przyczyną zmiennej yt w sensie Grangera, jeśli w równaniu regresji yt względem opóźnionych wartości y oraz x, współczynniki przy zmiennych x są równe zero

  KOINTEGRACJA

• Jeśli regresja pozorna miedzy zmiennymi niestacjonarnymi jest stabilna, to zależność jest relacją kointegrującą

• Jak odróżnić regresję od kointegracji? Jeśli składnik losowy jest stacjonarny, to – kointegracja, jeśli jest niestacjonarny – może być regresja

• Jak sprawdzić stacjonarność składnika losowego? Oszacować MNK parametry relacji kointegrującej oraz sprawdzić czy reszty regresji są stacjonarne

MODELE HEDONICZNE

• modele hedoniczne przybierają̨ postać modeli ekonometrycznych (najczęściej jednorównaniowych i nieliniowych względem zmiennych), w których zmienną objaśnianą̨ jest cena, a zmiennymi objaśniającymi – charakterystyki produktu, o których sądzi się̨, że mają znaczący wpływ na jego cenę

• cena heterogenicznego dobra jest zatem sumą wycen jego poszczególnych charakterystyk opisanych za pomocą zmiennych objaśniających

OCZEKIWANIA

• oczekiwania to prognozy, w które wierzymy

• Rodzaje oczekiwań:

  • Naiwne – wartość x identyczna jak w poprzednim okresie

  • Adaptacyjne - oczekiwania są korygowane o ułamek popełnionego w poprzednim okresie błędu

    • zalety

    • prostota modelu

    • intuicyjne uzasadnienie: podmioty gospodarcze przywiązują większą wagę do najnowszych obserwacji niż do „starych”

    • łatwość estymacji: przekształcenie do modelu Koycka

    • użyteczna interpretacja parametru λ

    • wady

    • brak realizmu: dlaczego tylko jedna zmienna?

    • systematycznie powtarzane błędy predykcji

    • brak informacji co do wartości parametru λ

  • racjonalne (REH) - główna teza: subiektywne oczekiwania podmiotów ekonomicznych są identyczne z obiektywnymi warunkowymi wartościami oczekiwanymi zmiennych ekonomicznych

    • większość praktyków traktuje hipotezę racjonalnych oczekiwań jako najlepsze dostępne założenie dla potrzeb analizy polityki gospodarczej

• Aby oczekiwania można było uznać za racjonalne, muszą spełniać kilka statystycznych własności:

  • nieobciążoność (ang. unbiasedness),

  • ortogonalność (ang. orthogonality, forecast- error unpredictability),

  • efektywność (ang. efficiency),

  • zgodność (ang. consistency),

  • zbieżność (ang. convergence),

  • własność martyngałowa (ang. martingale),

  • zmienność (ang. volatility).