EKONOMETRIA STOSOWANA

Populacja generalna - (zbiorowość generalna) zbiór elementów podlegających badaniu, ze wzgl. na 1 lub więcej cech, mający przyn. 1 cechę wspólną dla wszystkich jego elementów, kwalifikującą je do tego zbioru oraz przynajmniej 1 właściwość, ze wzgl. na która elementy tego zbioru mogą różnić się między sobą.

Zmienna losowa - nazywamy funkcję X(e) określoną na przestrzeni E zdarzeń elementarnych e danego doświadczenia losowego, przyjm. wart. rzeczywiste i taką, że dla każdej liczby rzeczywistej a zbiór zdarzeń elementarnych, dla których X(e) <a, jest zdarzeniem. pewne uporządkowane zdarzenia losowe pewnych wartości liczbowych. Potrafimy określić szanse realizowania pewnych wartości, zbiór pewnych wart. - określa się prawdopodobieństwo.

Zmienna losowa skokowa - określa się rozkład prawdopodobieństwa. Szansa prawdopodobieństwa zrealizowania się pewnej wartości.

Zmienna losowa ciągła - określa się funkcję gęstości, która zastępuje prawdopod. ale nie jest jej równoważnikiem.

Dystrybuanta zmiennej losowej - prawdop., że zmienna losowa przyjm. wart. ≤ od kon

kretnej wart. liczbowej.

Dystrybuanta - jest polem powierzchni, znajdującym się pod krzywą, która jest funkcją gęstości na lewo od p-ktu, który chcemy obliczyć. Jest ona ograniczona (0,1) czyli w dwie strony. Charakterystyczna zmienna losowa.

Hipoteza statyst. - każde przypuszczenie dot. rozkładu prawdopodob. Lub wart. parametrów rozkładu prawdopod. zmiennej losowej, o prawdziwości lub fałszywości której wnioskujemy na podst. próby.

Testem istotności dla Ho nazyw. taki test, za pomocą którego odrzuca się hip. Ho z przyjętym z góry prawdop. błędu I rodzaju α , jeżeli X nal. W, natomiast dla X nie nal. do W stwierdza się brak podstaw do odrzucenia hip. Ho.

rozkład normalny jest najważniejszym rozkładem dla funkcji losowej. Rozkład symetryczny. Każdy r.norm. daje się przekształcić do rozkładu, który będzie miał konkretne wart. liczbowe. Jest najważniejszym rozkładem dla funkcji losowej, która zależy od: wartości oczekiwania (przeciętna wart. zmiennej losowej), odchylenia standardowego ( miara rozproszenia)

Wnioskowanie statystyczne - ma na celu uzgodnienie wyników na zbiorowość. Dzieli się na:

1) Estymacja- szacowanie dot. całego rozkładu lub może ograniczyć się do pewnych parametrów.

2) Weryfikacja hipotez - stwierdzenie dot. populacji z wyników próby, stwierdzamy, czy to przypadek, że jest różnica.

Estymacja parametryczna zmiennych losowych - wart. przeciętna (oczekiwana) najpopularn. parametrów. Służy do oszacowania nieznanego parametru populacji generalnej.

Próba losowa (statyst) x1, x2, xm, ciąg zmiennych losowych o tym samym rozkładzie co rozkład zm. losowej w populacji.

Estymator - to funkcja wyników z próby, to zmienna losowa.

Właściwości estymatora MNK:

1) nieobciążoność - wart. oczekiwana estymatora jest na poziomie szacowanej parametru

* mała próba, nie można określić rozkładu średniej

* nie znamy rozkładu X lub nie możemy przyjąć, że jest to rozkład normalny, może on być dowolny

2) mają min. wariancję w klasie liniowych estymatorów nieobciążonych. Estymatory efektywne.

3) są zgodne - wraz ze wzrostem liczebności próby wart. estymatora są stochastycznie zbieżne do rzeczywistej wart. parametru w populacji.

4) est. ά _o ma rozkład normalny o wart. oczekiwanej i określonej wariancji

5) odchyl standard. estym ά _o ma rozkład normalny z wart. oczekiwaną =0 i wariancją = 1

Przedziały ufności - przybiera nieznany parametr. Szacujemy dolną i górną granicę przedziału, w którym ten parametr ma szansę się znaleźć. Konstrukcja pu pol. na wyzn. przedziału, który z określonym z góry przwdopod. (1- α) pokryje zmienną wart. parametru β₁ w populacji.

100(1- α) określa % przedział ufności dla parametru strukturalnego β_1, czyli możemy powiedzieć, że przedział w 100(1- α) przypadkach na 100 zawiera nieznaną rzeczywistą wart. parametru β_1.

Weryfikacja modelu polega na testowaniu hipotez statystycznych. Testowanie to dot. odpowiedzi na pyt. Czy uzyskana w danej próbie ocena parametru jest dostatecznie bliska wart. hipotetycznej, czy nie. Jeżeli jest bliska jesteśmy skłonni zaakceptować postawioną hipotezę, jeśli nie to ją odrzucamy.

Sprawdzanie (weryfikacja) hipotez statystycznych

Hipotezy :

- Parametryczne - dot. 1 parametru , a nie zbiorowości

- Nieparametryczne - dot. losowości próby, zależności

H_o:m=m_o

H_o - przeciętna w populacji jest na jakimś poziomie

m_o - konkretna wart. liczbowa

Stawiamy hipotezę alternatywną w przypadku odrzucenia hipotezy o. Hipotezy wybieramy w zależności od tego co wiemy o tych parametrach.

Obszar krytyczny - dwustronny obszar odrzucenia.

Rozkład t-studenta- jest związany ze stopniami swobody, które definiują rozkład X². Każdy odpowiada konkretnej liczbie swobody. Symetryczny wzgl. początku układu. Rozkład ma wykorzystanie przy małych próbach. Wynik z próby chcemy uogólnić na całość. Jeżeli stopni swobody jest dużo, to rozkład b. symetryczny. Statystykę T-studenta stosujemy do konstrukcji przedziału ufności dla parametru strukturalnego. (wsp. regresji).

Test T-studenta - test istotności - pol. na wykorzystaniu obserwacji w próbie do weryfikacji prawdziwości lub fałszywości sprawdzanej hipotezy (Ho). Podstawą sprawdzenia jest statystyka testująca i jej rozkład przy zał. prawdziwości Ho. Decyzję o odzruceniu lub nie odrzuceniu sprawdzanej hipotezy podejmujemy na podst. wart. statystyki w próbie. Przy założeniu normalności rozkładu skł. losowego, statystyka t-stud. Ma rozkład Studenta z T-2 stopniami swobody.

Model ekonometryczny - uproszczona prezentacja związków zachodzących w gosp., które chcemy opisać. Możemy je zapisać w post. Zależności, równań. Najprostszym podejściem jest model zależności 1 funkcji, 1 równanie.

Model jednorównaniowy - mamy kategorię y, którą obserwujemy w pewnych jednostkach czasu. Y_t = f(x_t1,x_t2,…x_tk,E_t)

t- nr okresu obserwowanego

y_t- zmienna objaśniana przez pewne czynności

x_t2,…x_{tk -} zmienna losowa, co do której przyjmuje się pewne założenia. Jej rozkład jest rozkładem normalnym o pewnej wart. oczekiwanej me) i odchyl.standard. (De)

Założenia probabistyczne dla jednorów. modelu ekonom.:

-  zm. objaśniające -nielosowe (ustalone dla każdego t=1, ..., N na poziomie x_t1, ..., x_tK), przy czym wektory wartości poszczególnych zmiennych są liniowo niezależne

-  składnik losowy U jest zm. losową o zerowej wartości oczekiwanej i nieznanej, ale skończonej wariancji

-     poszczególne realizacje skł.losowego dla różnych t (a tym samym realizacje y_t zmiennej objaśnianej Y) są generowane przy braku wzajemnej korelacji.

Modele wielorówn.

1) proste - ponieważ relacje dla zmiennych endogenicznych tego modelu nie istnieją

2) rekurencyjne - zależności między zmiennymi endogenicznymi modelu, które nie tworzą zamkniętego łańcucha powiązań.

3) model o równaniach współzależnych - pomiędzy zmiennymi endogenicznymi wyst. zamknięty łańcuch powiązań.

Y₁ = F₁ (Y₂, ..., Y_M, X₁, ..., X_K, U₁)

Y_i = F_i(Y₁, ..., Y_i-1, Y_i+1,..., Y_M, X₁, ..., X_K, U_i)

Y_M = F_M(Y₁, ..., Y_M-1, X₁, ..., X_K, U_M)

a)      nie wszystkie ze zmiennych Y_i, X_j muszą występować w każdym równaniu

b)      w modelu jednorównaniowym wystarczy podział na zm.: objaśnianą i objaśniające.

c)      podział logiczny i adekwatny w przyp. modelu wielorównaniowego to podział na zmienne: endogeniczne, egzogeniczne

Zmienne modelu

Endogeniczne są objaśniane przy pomocy poszczególnych równań modelu. Opisuje zachowanie się tych zmiennych. (y1, Ym)

Egzogeniczne - zmienne, dla których nie ma równań. Są zewnętrzne dla systemu(X1, xk)

Zmienne zero-jedynkowe - to zmienna która przyjmuje wart. między 0-1.

Y_t= α _o+α₁x_t +α₂u₊ξ_t

U= 1 w okresie ...

0 w pozost. Okresach

interpr. Y_t- o ile jednostek y jest > lub < w danym okresie . np. yt - w tys.os., α₂=_0,2 W okresie jakimś tam liczba osób pracujących była wyższa o 0,2 tsy. w stosunku do pozost. okresów,.

Sezonowość; Y_t= α _o+α₁t+ β₁S₁+ β₂S₂+ β₃S₃ +ξt

Β₁ wyraża zmianę y w 1 kwartale w porównaniu z kwartałem 4 itd.

Schemat Gaussa - Markowa - zakłada się, że zmienne x są nielosowe, y losowe. Zakł. się, że wart. przeciętna tego składnika czasowego =0. Polega na wyznaczaniu takich cen bo,b1 parametrów α₀ ,α_1, aby dla danych obserwacji dokonanych na zmiennych (yt,xt) suma kwadratów odchyleń zaobserwowanych wartości zmiennej objaśnianej yt od jej wart. teoretycznych wyzn. przez funkcję regresji: Eⁿ_t1 (yt- α1xt- αo)² miała min.

Estymatory uzyskane met. MNK są najlepszymi nieobciążonymi estymatorami liniowymi parametrów α₀ ,α_1.

yt-y (średnie)t=et - reszta uzyskana dla danej obserwacji xt zmiennej objaśniającej.

Linia regresji:

* przechodzi przez wart.sr. xi y

* średnia wart. teoret. Ŷ = średniej wart. empirycznych zmiennej objaśniajnej y(śr.)

* wart.średnia reszt et(śr.) = 0

* reszty są nieskorelowane z wart. zmiennej objaśniającej

* reszty i wart. teret. Zmiennej objaśnianej są nieskorelowane

Krzywa Philipsa - opis. Zależność pomiędzy stopą inflacji a stopą bezrobocia.

R² wsp. determinacji określa jaki % całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez model regresji. (pod warunkiem, że model zawiera wyraz wolny wsp. jest: nieujemny; zawiera się w przedziale <o,1> R² = 1 ozn. idealne dopasowanie, R²=0 brak zależności pomiędzy zmienną objaśnianą i objaśniającą)

ز wsp. zbieżności określa jaki % całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej przyp. na zmienność resztową, a więc nie została wyjaśniona przez model regresji.

Składnik losowy - przedstawia łączny wpływ na zmienną objaśnianą wielu niezależnych zmiennych, które nie zostały włączone do zbioru zmiennych objaśniających modelu. Zakł. się, że łączny wpływ tych pominiętych wielkości jest odpowiedni nikły lub losowy.

Składnik losowy jest sferyczny składa się na to, że:

1). Zał., że nie ma zależności między skł. losowym z danego okresu a składnikiem z okresu innego ważne przy próbie czasowej. Brak autokorelacji

2) zał., że odchyl. standard. składnika losowego . D²(Et) = δ_E² skł. losowy jest homoskedastyczny - ozn. że wariancje są jednakowe.

Autokorelacja składnika losowego - zależność, która mówi, że nie ma zależności między składnikiem losowym. Mówi się o niej wtedy, gdy posługujemy się próbą czasową.

Autokorelacja I rzędu - pol. na tym, że skł. losowy zależy od składnika Et w okresie t-1

Et= 9_Et1+ E _t

9- skł. mierzący siłę zależności

E - skł. spełniający wszystkie zał.

(Np. jeżeli dokonujemy kwartalnych obserw. wyników produkcyjnych w pewnym przeds. i obserwujemy obniżenie wielkości prod. w kwartale, nie mamy podstaw aby przypuszczać, że to zaburzenie zostanie przeniesione na następny kwartał, powodując długotrwałe obniżenie wyników produkcji.)

Autokorelacja - przyczyny:

- Powolne wygasanie tendencji w kształtowaniu się wielkości ekonom., takich jak doch.narod.
zatrudnienie, indeksy cen,

- błąd w specyfikacji modelu pol. na opuszczeniu istotnej zmiennej objaśniającej,

- błąd w specyfikacji modelu pol na wyborze złej postaci analitycznej,

- „efekt pajęczyny” spowodowany przez wystąpienie opóźnionych zależności, np. pomiędzy
pd a pp na art. rolnicze

- wyst. zależności rozłożonych w czasie, pominięcie opóźninych zmiennych

- „manipulowanie danymi”

Test Durbina -Watsona - Test do wykrywania autokorelacji. rozkład sprawdzianu jest rozkł. ograniczonym od wart (0,4) symetryczny wzgl. 2, ma obszar przejścia hipotezy (du) obszar odrzucenia - to wart. po lewej stronie dl. Jest udziałem sumy kwadratów pierwszych różńic reszt modelu w resztowej sumie kwadratów (RSK). Zaleta DW - jest obliczana na podst. reszt modelu, które są wyliczane w procesie estymacji. Wart. DW podaje się obok miar dopasowanbia: R², Se, czy wart. statystyki T-studenta.

DW emp = E (et-et-1)² / E et²

Zał. DW:

- zakłócenia mają rozkład normalny

- w modelu musi wyst. wyraz wolny, stała,

- zmienne objaśniające są nielosowe,

- wśród zmiennych objaśniających nie wyst. opóźnione zmienne endogeniczne (objaśniana)

- skł. losowe pozostają w zależności autokorelacynej I rzędu Et = 9 E_t-1 + u_t

Ujemna autokorel. <-1,0> której z reguły ospow. wart. DW z przedziału (2,4). Dla dodatniej z przedziału (0,1> wart. DW będą zawierały się w przedziale (0,2)

Autok. dodatnia w przyp:

- DW<dl hip. Ho odrzucamy na rzecz H1, stwierdzamy, że wyst. dod. Aut.. skł. losowego

- DW>du Ho przyjmujemy, brak dod. Aut.

- dl≤DW≤du nie możemy podjąć żadnej decyzji - obszar niekonkluzywności testu - nie można podjąć decyzji czy odrzucić hipotezę, czy ją przyjąć. Autokorelacja dodatnia -niekorzystnie

MNK - metoda, która minimalizuje sumę kwadratów reszt. Jej istotą jest to, żeby suma reszt po podniesieniu do kwadratów była jak najmniejsza. Polega na znalezieniu takich ocen parametrów strukturalnych, aby suma kwadratów odchyleń wart. empirycznych zmiennej objaśnianej od linii regresji była jak najmniejsza.

Reszta - różnica między rzeczywistą i teoretyczną wart. y.

2MNK podwójna MNK przypadek efektywnego g-estymatora, otrzymanego w wyniku zastosowania UMNK-estymatora wobec g-równania. Macierz jest tu znana i wynika z wyboru instrumentów. W(W^tW)^-1W^t - macierz, która jest równa swojemu kwadratowi.

2MNK -est (b) = {X^TW(W^TW)^-1W^TX}^-1X^tW(W^TW)^-1W^Ty. Najczęściej stosowany przy modelach wielorównaniowych.

Uogólniona MNK - stosujemy gdy jest autokorelacja

* Heteroskedastyczność skł. losowego - to niespełnienia zał. D² (Ei) # δ² (homosk.), niejednokrotność skł. losowego, żeby analizować heteros. Powinniśmy podzielić próbę na jednakowe części. Do testu wybieramy te grupy, które mają skrajne wariancje.

* UMNK stosujemy również przy niejednorodności skł. losowego ( heteros)

Błędy prognoz

Ex post dot. przeszłości, dot. reszt modelu. Wyliczane są na podst. empirycznych teorii zmiennych egzogenicznych. Porównując błąd prognozy ex post z realizacją zmiennych prognozowanych SPOZ i DNW oceniamy skutki błędów pochodzących z:

- zakłóceń równań stochastycznych;

- niedokładności estymacji parametrów modelu, o skutkach narastających w miarę jak wart. zmiennych modelu oddalają się od ich średnich z próby wykorzystanej do estymacji

- niedokładności funkcji postaci równań modelu. ˆy_t=x_tˆb

błąd prognozy; ˆu_t=y_t -ˆy_t

= x_tb+ u_t- x_tˆb

Ex ante dot. przyszłości, dot. niewiadomej zrealizowanej w przyszłości wart. Y. Oparte na znanych wart. zmiennych egzogenicznych., które trzeba najpierw wyprognozować lub określić w inny sposób. po podst. wart. zmiennych do oszacowanego równania wyliczamy prognozę; ˆy_t=ˆx_tˆb

błąd prognozy zapis: ˆu_t=y_t -ˆy_t

= x_tb+ u_t- ˆx_tˆb+(x_tˆb-x_tˆb)

funkcja produkcji - jest to model przyczynowo - opisowy, przedst. zależność między nakładami czynników produkcji (głównie: pracy i kapitału) a wielkością produkcji (wielkością produktu uzyskiwanego przy zastosowaniu tych nakładów). V = f (X₁, ..., X_K; u),

V - wielkość produkcji (produkcja);

X₁, ..., X_K - nakłady czynników produkcji;

u - zakłócenie losowe.

 

Funkcja produkcji jest narzędziem ekonometrycznej analizy procesu produkcyjnego na różnych szczeblach gospodarowaniu (wydział, zakład, przedsiębiorstwa, itp.)

Budując modele funkcji produkcji zakłada się zwykle, że maja one przedstawiać zależności między produkcją a nakładami i zasobami, występujące w normalnych warunkach produkcyjnych, a więc nie w specjalnie sprzyjających warunkach laboratoryjnych lub pokazowych, ani też wtedy, gdy wskutek niegospodarności lub szczególnych warunków nietypowych rozmiary produktu są wyjątkowo małe w stosunku do zaangażowanych środków.

Definiowanie zmiennych V, X₁, ..., X_K zależy od szczebla gospodarowania, cech techniczno-technologicznych procesu produkcyjnego i dostępności danych statystycznych. Rozmiary produkcji są z reguły mierzone ilością lub wartością produktu otrzymanego w jednostce czasu, a więc są traktowane jako strumienie. Rozmiary zaangażowanych czynników produkcji natomiast, odpowiednio do charakteru tych czynników, są ujmowane jako strumienie (nakłady pracy) lub jako zasoby (np. wielkość zainstalowanego trwałego majątku produkcyjnego).

 

Efekt produkcyjny V:

- ilościowe (fizyczne) rozmiary produkcji (wyłącznie w przypadku produkcji jednorodnej)

- rozmiary produkcji w jednostkach przeliczeniowych lub umownych (np. produkcja węgla w skali gospodarki, produkcja zwierzęca lub roślinna w rolnictwie)

- produkcja czysta w cenach porównywalnych

- produkcja dodana w cenach porównywalnych

- produkcja globalna w cenach porównywalnych, ale jedynie wtedy, gdy brak odpowiednich innych danych (produkcja globalna nie jest dobrym miernikiem efektu produkcyjnego ponieważ zawiera w sobie wartość przeniesioną).

 

Zmienne objaśniające w funkcji produkcji:

- nakłady pracy liczone : liczbą przepr.roboczogodzin, średnim zatrudnieniem (nie jest to właściwy miernik nakładów lecz zasobów pracy)

- nakłady kapitału - najczęściej majątku trwałego (czyli zużycie majątku w procesie produkcji) - są najtrudniejsze do obiektywnego pomiaru i dlatego w funkcji produkcji najczęściej przyjmuje się zasób majątku trwałego (zakładając, że zużycie jest proporcjonalne do zasobów, tzn. zakładamy zwykle pełne wykorzystanie majątku trwałego) mierzony zwykle wartością produkcyjnych środków trwałych w cenach porównywalnych.

 

Teoretycznie powinno się uwzględniać w funkcji produkcji różne kategorie pracy i kapitału (majątku trwałego). Najczęściej stosuje się jednak tzw. dwuczynnikowe funkcje produkcji, w których uwzględnia się jedynie zagregowane nakłady majątku trwałego ( X₁ ) i pracy ( X₂ ):

 

V = f (X₁, X₂, u )

 

Postacie analitycznej funkcji produkcji uzyskuje się i bada w ramach ekonomii teoretycznej. Zakłada się zwykle podzielność zarówno czynników produkcji, jak i gotowego produktu - dzięki temu jest sens mówić o bardzo małych przyrostach rozważanych wielkości i zakładać ciągłość oraz różniczkowalność funkcji produkcji.

 

Analiza własności funkcji produkcji

 

Model ekonometrycznej funkcji produkcji może służyć do prowadzenia rozumowań analityczno - wyjaśniających, wzbogacających w istotny sposób wiedzę o ilościowej stronie prawidłowości, zgodnie z którymi przebiega proces wytwarzania. Model ów stanowi znaczny krok w stosunku klasycznej ekonomicznej analizy procesu wytwarzania.

Do najważniejszych kierunków analizy procesu wytwarzania przy pomocy funkcji produkcji należy zaliczyć badania:

- krańcowej produkcyjności czynników wytwórczych

- elastyczności produkcji względem nakładów czynników produkcji

- izokwant

- elastyczności substytucji czynników produkcji

- efektu skali produkcji

- efektów neutralnego postępu techniczno - organizacyjnego

 

a)  krańcowa produkcyjność czynników produkcji

Badanie polega na badaniu pierwszych i drugich pochodnych cząstkowych produkcji względem czynników, tj. produkt krańcowy jest dodatni i maleje wraz ze wzrostem nakładów czynnika X_j, czyli produkcja rośnie wraz ze wzrostem nakładów czynników produkcji, ale coraz wolniej i nieskończenie duże nakłady czynników produkcji nie pociągają już prawie żadnych przyrostów produkcji (znane w ekonomii prawo malejących przychodów).

b)   elastyczność produkcji względem nakładów czynników produkcji j-tego czynnika

produkcji X_j

 c)    Izokwanty (krzywej jednakowego produktu), będącej miejscem geometrycznym punktów, reprezentujących wszystkie kombinacje nakładów czynników produkcji, dających w efekcie tę samą oczekiwaną wielkość produkcji.

Przy ustalonym poziomie produkcji V₀ równanie izokwanty można zapisać:

X_j = g_j (V₀, X_1, ..., X_j-1, X_j+1, ..., X_K;u).

 

d) krańcowa stopa substytucji czynników produkcji czynnika X_i przez czynnik X_j (np.

pracy przez kapitał), czyli ilościową, miarę określającą jaką ilością czynnika X_j należy

zastąpić wycofaną niewielką ilość jednorodnego i substytucyjnego względem niego czynnika

X_i, ażeby oczekiwana wielkość produkcji nie uległa zmianie.

e)     elastyczność substytucji czynników produkcji stosunek względnej zmiany w proporcjach dwóch czynników produkcji do względnej zmiany w krańcowej stopie substytucji,

 

f) efekt skali produkcji

g) efekt neutralnego postępu techniczno - organizacyjnego przy tej samej strukturze i

wielkości zaangażowanych czynników produkcji otrzymuje się większą produkcję wskutek

wprowadzonych innowacji techniczno - organizacyjnych.

Etapy badania ekonometrycznego (analizy ekonometrycznej):

1). Identyfikacja obiektu modelowanego:

- wyodrębnienie obiektu z otoczenia

- ustalenie listy cech najbardziej istotnych w badanym obiekcie i określenie, które z nich będą opisywane przez model, a które stanowić będą narzędzie opisu

- wprowadzenie jednostki miary i zakresu zmienności cechy

- ustalenie klasy funkcji przedstawiającej zależność między wyróżnionymi zmiennymi

2). Zebranie danych statystycznych o wyróżnionych zmiennych modelu

3 ) Identyfikacja modelu

- weryfikacja wstępnej listy zmiennych i ustalenie ich optymalnego zbioru

- zbadanie identyfikowalności ze względu na parametry

- estymacja modelu

- weryfikacja modelu

4). Wykorzystanie modelu

- analiza ekonomiczna

- prognoza i symulacja

- sterowanie optymalne

Weryfikacja modelu:

Po oszacowaniu parametrów należy zbadać, czy zbudowany model dostatecznie dobrze opisuje badane zjawisko. W szczególności należy stwierdzić czy zachodzi dostatecznie duża zbieżność pomiędzy otrzymanym modelem a wiedzą ekonomiczną (merytoryczną) o oryginale oraz czy model z dostateczną dokładnością aproksymuje rzeczywistość (wartości teoretyczne są zadowalająca bliskie wartościom empirycznym). W przeciwnym przypadku należy model poprawić.

Przyczyny powodujące złą jakość modelu ekonometrycznego mogą być wynikiem zaniedbań (błędów) popełnianych na każdym etapie badania ekonometrycznego. Nigdy nie ma pewności, czy zostały dobrane odpowiednie zmienne objaśniające. Wątpliwości może budzić także dobór postaci analitycznej modelu. W samym procesie estymacji mogła też być zastosowana niewłaściwa metoda szacowania parametrów. Wszystko to powoduje potrzebę przeprowadzenia weryfikacji zbudowanego modelu przed jego wykorzystaniem.

 

Weryfikacja modelu obejmuje trzy sfery:

- jakości ocen parametrów strukturalnych (badanie istotności ocen parametrów strukturalnych)

- stopnia zgodności modelu z danymi empirycznymi (miary dobroci dopasowania modelu do rzeczywistości)

- spełnienia przyjętych założeń o składnikach losowych (badanie homoscedastyczności, braku autokorelacji, normalności)

 

Badanie istotności ocen parametrów strukturalnych

Przed formalnym zbadaniem własności estymatorów parametrów winniśmy ocenić otrzymane wyniki z punktu widzenia merytorycznego. W szczególności należy sprawdzić czy ich rząd wielkości oraz znaki są zgodne z dotychczasową wiedzą ekonomiczną, doświadczeniem i zdrowym rozsądkiem.

Rutynowe badanie istotności ocen parametrów strukturalnych b₁, b₂, ..., b_K liniowego modelu ekonometrycznego ma na celu sprawdzenie czy parametry strukturalne ၢ₁, ၢ₂, ..., ၢ_K zostały oszacowane z dostateczną precyzją (możemy mieć do nich zaufanie) oraz czy zmienne objaśniające, stojące przy tych parametrach, istotnie oddziałują (wpływają) na zmienna objaśnianą (endogeniczną).

 

W tym celu dla keżdego j = 1, 2, ..., K weryfikuje się hipotezę zerową H₀ : ၢ_j = 0 wobec hipotezy alternatywnej H₁ : ၢ_j Ⴙ 0. Sprawdzianem w tym teście jest statystyka:

 

Badanie dobroci dopasowania modelu do danych empirycznych.

Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych ma na celu sprawdzenie, czy model w wystarczająco wysokim stopniu wyjaśnia kształtowanie się zmiennej endogenicznej. Służą do tego różnego rodzaju miary zgodności modelu z danymi empirycznymi. Podstawowymi miarami tego typu są:

- odchylenie standardowe resztowe S_e

- współczynnik zmienności resztowej (losowej) V_e

- współczynnik zbieżności (indeterminacji) ၪ²

- współczynnik determinacji R²

Zastosowanie modeli ekonometrycznych: 

Modele popytu konsumpcyjnego (mikro i makro funkcje popytu)

  Popyt konsumpcyjny to preferencje ludności dotyczące nabycia dóbr konsumpcyjnych przy istniejących cenach tych dóbr i mające pokrycie w ich funduszu nabywczym.

  Aby popyt na dane dobro był zmienną obserwowaną nie może być ograniczeń ze strony podaży. Wówczas wielkość sprzedaży (zakupów) możemy utożsamiać z popytem na to dobro. Przy niedostatecznej podaży sprzedaż (zakupy) jest mniejsza od popytu, który pozostaje nieobserwowalny - ekonometryczna analiza popytu możliwa jest więc przy dostatecznej podaży (przynajmniej w przeważającej części badanego okresu).

  Ekonometryczna funkcja popytu konsumpcyjnego to model Y = f (X₁, ..., X_K ,u ),

Y - wielkość popytu;

X₁, ..., X_K - czynniki determinujące popyt;

u - zakłócenia losowe.

 

Najczęstsze zmienne objaśniające to:

- cena danego dobra

- dochody konsumentów (względnie wydatki ogółem)

- ceny dóbr substytucyjnych (jeśli takie występują)

- ceny dóbr komplementarnych (jeśli takie występują)

- ogólny poziom cen (wskaźnik kosztów utrzymania)

- struktura demograficzna i zawodowa badanej grupy konsumentów

- wielkość popytu na dane dobro w poprzednich okresach (zwłaszcza w przypadku dóbr trwałego użytkowania)

 

Funkcja produkcji

 

Funkcja produkcji wykorzystywana jest czasami w analizach makroekonomicznych przy modelowaniu wzrostu dochodu narodowego lub produktu globalnego, jednakże szczególnie ważną rolę odgrywa ona przy rozpatrywaniu procesu produkcyjnego w skali gałęzi lub w skali przedsiębiorstwa.

Elastyczność cenowa Pp określa stopień zmiany (wrażliwość) popytu na dobro na skutek zmiany jego ceny. Elastyczność tę wylicza się ze wzoru: % zmiana PP/% zmiana ceny

Wsp.el.cenowej popytu przyjmuje znak ujemny (odwrotna relacja zmiany wielkości popytu do zmiany ceny). Wyjątki to dobra Giffena, dobra podlegające efektowi snobizmu i efektowi demonstracji (efekt Veblena).

Elastyczność popytu - Dotyczy stopnia zmian Pp na jakiś towar pod wpływem miany czynnika determinującego, tzn. zmiany ceny towarów x₁ i x₂, zmiany
dochodów nabywców.

0 <El<1 Pp mało elastyczny dot. dóbr podstawowych i standardowych. Wzrost doch.

powoduje wzrost Pp na te towary , ale %wzrost Pp jest słabszy od % wzrostu dochodu.

1. Elastyczność cenowa prosta - to skala reakcji Pp na towar x₁ na zmianę ceny towaru x_1.Pokazuje jak silny jest wpływ zmiany ceny towaru x₁ na Pp na towar x₁. To stosunek % zmiany Pp na towar x₁ do % zmiany ceny towaru x_1.

2. Elastyczność cenowa mieszana - wpływ zmiany ceny towaru x₂ na zmianę Pp na towar

x₁. cena rośnie Pp maleje i odwrotnie.% zmiana Pp na towar x₁ do % zmiany ceny towaru x_2. Dobra komplementarne Ecm<0Dobra substyt. Ecm>0

Ecp =1 - % zmiany Pp są takie same jak % zmiany ceny;

Ecp>1 Pp wysoce elastyczny - % zmiany Pp są większe niż % zmiany ceny; dobra wyższego

Rzędu 0< Ecp<1 Pp mało elastyczny, stosunkowo duże zmiany ceny wywołują słabe zmiany w Pp. dla dóbr niższego rzędu, które zaspokajają niezbędne potrzeby i nie mają bliższych substytutów.

Ecp = 0 zmiany cen towaru nie pociągają za sobą żadnych zmian w Pp. Dla towarów podstawowych.

3. Elastyczność dochodowa popytu - stopień reakcji Pp na towar x₁, na zmianę dochodów
nabywców. Mierzymy ją na podstawie wsk. Ed Ed >0- dotyczy to towarów

luksusowych wzrost doch. wywołuje wzrost pp.

Estymator MNK jest nieobciążony

Dowód: b = (X^TX)^-1 X^T(X β + ε)

= (X^TX^)-1 X^TX β + (X^TX^)-1 X^T ε

= β + (X^TX)^-1 X^T ε

Najpopularniejsze miary to wariancja i odchylenie standardowe.

Jednorównaniowy model liniowy -ma postać wielowymiarowej liniowej funkcji

regresji:

Yt = β₀·X_t0 + β₁·X_t1 + … +β_k·X_tk + ε _t ;

Yt - zmienna objaśniana (zależna)

X_t0, X_tk - zmienne objaśniające (niezależne) ; X₀ = 1;

β₀, β₁,…, β_k - nieznane parametry modelu

xt - składnik losowy

Przy klasycznych założeniach modelu regresji liniowej szacujemy parametry

β₀, β₁,…, β_k metodą najmniejszych kwadratów. Wektor b = [β1, β2, … , βk]

estymator tych parametrów dany jest wzorem:

b = (X^T X^)-1 X^T y

Założenia klasycznej metoda najmniejszych kwadratów:

1. zmienne objaśniające Xi (i=1, 2,… k) są nielosowe i nieskorelowane z xi

2. rząd(X) = k+1 ≤ n

3. ε_i ma rozkład N(0,σ2)

zapewniają nam uzyskanie estymatorów o dobrych własnościach:

nieobciążonych, zgodnych, efektywnych. Niestety często klasyczne założenia

nie są spełnione. Prowadzi do trudności w budowie modelu.

Jedną z trudności jest współliniowość (nadmierne skorelowanie) zmiennych

objaśniających.

Ustalenie zbioru zmiennych objaśniających modelu ekonometrycznego.

1 Ustalenie wstępnej listy zmiennych objaśniających.

a) Liczba zmiennych nie może być zbyt duża.

b) Dobór zmiennych powinien być dokonany na podstawi ich

merytorycznej ważności wynikającej z praw ekonomii.

c) Zmienne powinny mieć wartość merytoryczną i ustalona

interpretację.

d) Zmienne objaśniające powinny być mierzalne.

e) Zmienne objaśniające powinny mieć silne trendy.

Prognozowanie na podstawie jednorównaniowego modelu liniowego

y = X β + x ;

W wyniku estymacji parametrów dostajemy równanie: y = Xb + e ;

Gdzie b to wektor ocen parametrów, wektor e to wektor reszt e = y - b ;

Oszacowany model y = X b+ e podlega ocenie i weryfikacji merytorycznej i

statystycznej. Ocena merytoryczna polega na sprawdzeniu czy jest on zgodny z

teorią ekonomiczną.

Ocena statystyczna obejmuje:

1. stopień dopasowania modelu do danych empirycznych,

2. istotność wpływu zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą,

3. sprawdzenie czy spełnione są założenia dotyczące składnika losowego.

Ocena dopasowania do danych empirycznych dokonywana jest na podstawie współczynników określonych już przy okazji modelu trendu liniowego.

Współczynniki te można łatwo liczyć w arkuszu kalkulacyjnym. Liczenie ręczne jest uciążliwe. Wymienimy te współczynniki:

1. Wariancja resztowa: S²_e= e^te/n-k-1

2. Standardowe odchylenie składnika resztowego: S_e =√ S²_e

3. Współczynnik zmienności resztowej: V_e= S_e/y(średnie)

4. Współczynnik zbieżności φ2 : φ²= (n-k-1) S²_e/ E(y^t-y Sred)²

5. Współczynnik determinacji R² : R² = 1 - φ²

Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0, 1], informuje on jaka część całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej jest wyjaśniona przez model. Dopasowanie modelu do danych jest tym lepsze im większe jest R². Zachodzi równość: φ² + R² = 1 .

Dopasowanie modelu do danych empirycznych weryfikuje się poprzez weryfikację hipotezy o istotności współczynnika determinacji. Testuje się hipotezę zerową postaci H0 przeciwko hipotezie alternatywnej H1

9

---