Wykład 4

Produkcja

Zad. 12

Funkcja produkcji ma postać Q = 100L0,5C0,4. Przypuśćmy, Że L = 1 i C = 1, w związku, z czym Q = 100.

Jeśli L wzrasta o 1%, tj. do poziomu L = 1,01 przy niezmienionym nakładzie kapitału, to o ile procentowo wzrośnie wolumen produkcji?

Opisz charakter przychodów ze skali występujących w tej funkcji produkcji.

∆L=0,01 (1,01-1=0,01)

∆Q=?

1. Funkcja Cobba Douglasa f(L,C) = A * L^∝ * c^β A>0; 0<α; β<1 prawo malejącego przychodu

f(1,01;1,00) − f(1,1) = 100 * (1,01)^0, 5 * 1^0, 4 − 100 * 1^0, 5 * 1^0, 4

L C 100

Jeżeli L rośnie o 1% to Q rośnie o α%

L ↑ 1%→Q ↑ α%

Produkcja wzrośnie o 0,5%; Kapitał rośnie o 0,5% to wielkość produkcji rosną o 0,5%

1. Wszystkie czynniki trzeba zmienić proporcjonalnie

f(tL;tC) = 100 * (tL)^0, 5 * (tC)^0, 4 = t^0, 9 * 100L^0, 5C^0, 4 = t^0, 9 * f(L,C)

Powyższy wynik jest mniejszy t f(L,C)

t>1 malejące przychody ze skali

gdyby α+β>1 rosnące przychody ze skali

α+β=1 stałe przychody ze skali

α+β<1 malejące przychody ze skali

Zad. 14

Niech Q = LαCβ. Przypuśćmy, Że przedsiębiorstwo chce wytworzyć daną wielkość produkcji, minimalizując przy tym całkowite koszty czynników produkcji: TC = PLL + PCC. Wykaż, Że optymalna wielkość nakładów pracy i kapitału spełnia warunek (L/C) = (α/β)(PC/PL).

Q=L^αC^β

$$\frac{P_{L}L}{P_{C}C} = \frac{\propto}{\beta}$$

Zad. 15

W pewnej okolicy są dwa jeziora pełne ryb. Ilość złapanych w każdym z tych jezior ryb zależy od liczby wędkarzy w każdym z nich, zgodnie z formułą: Q1 = 10N1 – 0,1N1², oraz Q2 = 16N2 – 0,4N2² , gdzie N1 i N2 oznaczają liczbę wędkarzy nad każdym z jezior. Wszystkich wędkarzy jest 40.

Przypuśćmy, Że N1 = 16 i N2 = 24. Nad którym jeziorem większy jest przeciętny połów ryb na jednego wędkarza? Znając wyniki, jakich przesunięć wędkujących między jeziorami oczekiwałbyś?

Ilu wędkarzy wybierze jedno, a ilu drugie jezioro? (Wskazówka: Znajdź takie N1 i N2, Że przeciętna liczba złowionych ryb będzie jednakowa dla obu jezior).

Prezes klubu wędkarskiego poszukuje takiego rozwiązania dotyczącego podziału wędkarzy między dwa jeziora, aby zmaksymalizować całkowitą wielkość połowu w obu jeziorach. Wyjaśnij, jak dla osiągnięcia tego celu powinien on wykorzystać informację o wielkości połowów krańcowych w obu jeziorach. Jaki podział 40 wędkarzy ty byś zaproponował?

a))

$\frac{Q_{1}}{N_{1}} = 10 - 0,1N_{1}$ pierwsze jezioro $N_{1} = 16 \rightarrow \frac{Q_{1}}{N_{1}} = 8,4$

$\frac{Q_{2}}{N_{2}} = 16 - 0,4N_{2}$ drugie jezioro $N_{2} = 24 \rightarrow \frac{Q_{2}}{N_{2}} = 6,4$

Tyle wędkarzy łowi ryby. Część wędkarzy przejdzie na 1 jezioro.

Czynnik produkcji = produkt przeciętny AP

Ap₁=8,4; AP₂=6,4

b)) AP₁=AP₂ produkty przeciętne są sobie równe

$$\left\{ \begin{matrix} 10 - 0,1N_{1} = 16 - 0,4N_{2} \\ N_{1} - N_{2} = 40 \\ \end{matrix} \right.\ $$

-0,1N₁+0,4N₂=6 /*10

$$\left\{ \begin{matrix} {- N}_{1} + 4N_{2} = 60 \\ N_{1} - N_{2} = 40 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$W = \left| \begin{matrix} - 1 & 4 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right| = - 1*1 - 4*1 = - 5$$

$$WN_{1} = \left| \begin{matrix} 60 & 4 \\ 40 & 1 \\ \end{matrix} \right| = 60*1 - 40*4 = - 100$$

$$WN_{2} = \left| \begin{matrix} - 1 & 60 \\ 1 & 40 \\ \end{matrix} \right| = - 100$$

$$\left( N_{1};N_{2} \right) = \left( \frac{WN_{1}}{W};\frac{WN_{2}}{W} \right) = (20;20)$$

Ile wniesie przeciętna ilość złowionych ryb

AP₁=-8 ; AP₂=8

Q₁=AP₁*N₁=8*20=160 ; O₂=160

Przeciętna ilość złowionych ryb to 320.

c) Q₁+Q₂ -> MAX P.W. N₁+N₂=40

$$MP_{1} = \frac{\partial Q_{1}}{\partial N_{1}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M}P_{2} = \frac{\partial Q_{2}}{\partial Q_{2}}$$

$$\left\{ \begin{matrix} \text{MP}1 = \text{MP}2 \\ N1 + N2 = 40 \\ \end{matrix} \right.\ $$

MP1=10-0,2N₁ ; MP2=16-0,8N₂

PODSTAWIĆ DO UKŁADU RÓWNAŃ I ROZWIĄZAĆ N1=26; N2=14

26 rybaków powinno wyemigrować na 1 jezioro

MP₁(20)=6 MP₂(20)=0

MP1=MP2=7,4

MP1=10-0,2*14=4,8 ; MP2=16-0,8*14=4,8

Q1+Q2=338