Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych, Materiały Ekonomiczna, badania operacyjne


Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

Jerzy Skrzypek

Kompleksowe, wielowariantowe zadanie z zakresu przydziału zadań

produkcyjnych.

Spis treści:

1.Opis problemu ........................................................................................................... 2

2.Wariant A .................................................................................................................. 2

3.Wariant B .................................................................................................................. 4

4.Wariant C .................................................................................................................. 5

5.Wariant D .................................................................................................................. 7

6.Wariant E .................................................................................................................. 8

7.Wariant F ................................................................................................................ 10

8.Wariant G ................................................................................................................ 11

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

1

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

1. Opis problemu

Szef firmy komputerowej ma do dyspozycji trzech pracowników, których ma zamiar

zatrudnić przy montowaniu zestawów komputerowych: „Biurowego”, „Do gier”, oraz

„Stacji graficznej”. Przydział pracowników do zadań menedżer poprzedził jednak

sprawdzeniem ilości komputerów, jakie mogą oni zmontować w ciągu dnia pracy.

Niezbędne dane zawiera tabela 1 (czyli liczbę zestawów, jaką każdy z pracowników

może zmontować w trakcie dnia pracy).

Tabela 1. Ilość zestawów zmontowanych przez pracowników w ciągu dnia pracy

Pracownik/Zestaw Biurowy Do gier Stacja graficzna

PI 7 5 6

PII 8 4 9

PIII 5 6 4

2. Wariant A

Modyfikacja założeń wyjściowych

Należy dokonać przydziału zadań poszczególnym pracownikom, przy założeniu, że

dany pracownik może montować tylko jeden zestaw, a każdy z zestawów może być

montowany tylko przez jednego pracownika. Liczba zestawów komputerowych

zmontowanych w ciągu dnia pracy powinna być jak największa.

Zmienna decyzyjna

x(i,j) oznacza przydział i-tego pracownika do montażu zestawu j-tego typu (zmienna

decyzyjna przyjmuje wartości 0 lub 1)..

Model matematyczny:

a)każdy z pracowników może montować tylko jeden zestaw:

x11+x12+x13=1

x21+x22+x23=1

x31+x32+x33=1

b)każdy z zestawów może być montowany tylko przez jednego pracownika

x11+x21+x31=1

x12+x22+x32=1

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

2

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

x13+x23+x33=1

Funkcja kryterium: maksymalizacja liczby zmontowanych zestawów w ciągu dnia

pracy:

7x11+5x12+6x13+8x21+4x22+9x23+5x31+6x32+4x33=> max

Rozwiązanie:

Stosujemy algorytm węgierski. Ponieważ funkcję celu należy maksymalizować,

musimy wszystkie elementy tabeli 1 pomnożyć przez -1.

Tabela 2. Modyfikacja danych wejściowych

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna

PI -7 -5 -6

PII -8 -4 -9

PIII -5 -6 -4

W kolejnym kroku musimy doprowadzić do sytuacji, gdy w każdym wierszu i w każdej

kolumnie będzie występować przynajmniej jedno zero.

W tym celu do:

każdego elementu pierwszego wiersza dodajemy wartość najmniejszą (7),

każdego elementu drugiego wiersza dodajemy wartość najmniejszą (9),

każdego elementu trzeciego wiersza dodajemy wartość najmniejszą (6).

Tabela 3. Przekształcone dane

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna

PI 0 2 1

PII 1 5 0

PIII 1 0 2

Dodano w sumie 22 sztuki komputerów.

Następnie próbujemy dokonać przydziału zadań poszczególnym pracownikom:

Tabela 4. Wyniki przydziału zadań produkcyjnych

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna

PI 0 2 1

PII 1 5 0

PIII 1 0 2

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

3

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

Uzyskaliśmy rozwiązanie optymalne.

Odpowiedź:

Zespół pracowników może zmontować w czasie dnia roboczego 22 komputery, pod

warunkiem, że:

pierwszy pracownik będzie montował komputery „Biurowe”,

drugi pracownik będzie montował komputery „Stacje graficzne”,

trzeci pracownik będzie montował komputery „Do gier”.

W rezultacie cały zespół zmontuje 7 komputerów „Biurowych”, 9 „Stacji graficznych” i

6 „Do gier”.

3. Wariant B

Pewnego dnia pojawiła się możliwość montowania nowego zestawu:

Profesjonalnego”. W konsekwencji niezbędne było sprawdzenie ile czasu zajmie

montowanie zestawu „Profesjonalnego” poszczególnym pracownikom. Pojawia się,

więc zmodyfikowana tabela.

Tabela 5. Nowe dane

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna Profesjonalny

PI 7 5 6 4

PII 8 4 9 8

PIII 5 6 4 6

Zmienna decyzyjna

x(i,j) oznacza przydział i-tego pracownika do montażu zestawu j-tego typu.(nadal

przyjmuje ona wartości 0 lub 1).

Model matematyczny

Rozwiązanie zadania z warunkami dodatkowymi, przy pomocy algorytmu

węgierskiego, wymaga, aby ilość pracowników odpowiadała ilości zadań.

Musimy więc wprowadzić fikcyjnego pracownika. Jest więc oczywiste, że fikcyjny

pracowników może zmontować 0 sztuk, każdego z zestawów.

Tabela 6. Nowe dane

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

4

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna Profesjonalny

PI 7 5 6 4

PII 8 4 9 8

PIII 5 6 4 6

PIV 0 0 0 0

W zamieszczonym poniżej modelu matematycznym, na żółto zaznaczono nowe (w

stosunku do wariantu „A”) elementy.

a)każdy z pracowników może montować tylko jeden zestaw:

x11+x12+x13+x14=1

x21+x22+x23+x24=1

x31+x32+x33+x34=1

x41+x42+x43+x44=1

b)każdy z zestawów może być montowany tylko przez jednego pracownika

x11+x21+x31+x41=1

x12+x22+x32+x42=1

x13+x23+x33+x43=1

x14+x24+x34+x44=1

Funkcja kryterium: maksymalizacja liczby zmontowanych zestawów w ciągu dnia

pracy:

7x11+5x12+6x13+4x14+8x21+4x22+9x23+8x24++5x31+6x32+4x33+6x34-> max

Stosujemy algorytm węgierski.

Odpowiedź:

Zespół pracowników może zmontować w czasie dnia roboczego 22 komputery, pod

warunkiem, że:

pierwszy pracownik będzie montował komputery „Biurowe”,

drugi pracownik będzie montował komputery „Stacje graficzne”,

trzeci pracownik będzie montował komputery „Do gier”,

czwarty pracownik będzie montował komputery „Profesjonalne”.

W rezultacie cały zespół zmontuje 7 komputerów „Biurowych”, 9 „Stacji graficznych” i

6 „Do gier”, a komputery „Profesjonalne” nie będą montowane.

4. Wariant C

Szef firmy nie jest jednak zadowolony z rozwiązania otrzymanego dla wariantu „B”,

ponieważ na rynku zaczyna się pojawiać popyt na zestawy „Profesjonalne”. Pojawia

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

5

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

się konieczność montowania nowego zestawu: „Profesjonalnego”, kosztem innego

zestawu. W praktyce, oznacza to, że zestaw „Profesjonalny” nie może być

montowany przez czwartego, fikcyjnego pracownika. Pojawia się, więc

zmodyfikowana tabela (M oznacza liczbę o dużej wartości).

Tabela 7. Zmodyfikowane dane

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna Profesjonalny

PI 7 5 6 4

PII 8 4 9 8

PIII 5 6 4 6

PIV 0 0 0 -M

Model matematyczny

x(i,j) dalej oznacza przydział i-tego pracownika do montażu zestawu j-tego typu.

Model matematyczny jest identyczny jak w przypadku poprzedniego wariantu, poza

jednym, nowym elementem funkcji kryterium.

a)każdy z pracowników może montować tylko jeden zestaw:

x11+x12+x13+x14=1

x21+x22+x23+x24=1

x31+x32+x33+x34=1

x41+x42+x43+x44=1

b)każdy z zestawów może być montowany tylko przez jednego pracownika

x11+x21+x31+x41=1

x12+x22+x32+x42=1

x13+x23+x33+x43=1

x14+x24+x34+x44=1

Funkcja kryterium: maksymalizacja liczby zmontowanych zestawów w ciągu dnia

pracy:

7x11+5x12+6x13+4x14+8x21+4x22+9x23+8x24+5x31+6x32+4x33+6x34-Mx44>

max

Rozwiązanie:

Stosujemy algorytm węgierski.

Odpowiedź:

Zespół pracowników może zmontować w czasie dnia roboczego 22 komputery, pod

warunkiem, że:

pierwszy pracownik będzie montował komputery „Biurowe”,

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

6

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

drugi pracownik będzie montował komputery „Stacje graficzne”,

trzeci pracownik będzie montował komputery „Profesjonalne”,

czwarty pracownik będzie montował komputery „Do Gier”.

W rezultacie cały zespół zmontuje 7 komputerów „Biurowych”, 9 „Stacji graficznych” i

6 komputerów „Profesjonalnych”. Zestawy „Do gier” nie będą montowane.

5. Wariant D

Okazuje się jednak, że klienci wciąż pytają o zestawy „Do gier”, a więc nie można

zrezygnować z jego montażu. W konsekwencji zatrudniono czwartego pracownika.

Praktyka pokazała jednak, że pracownik „1” nie ma odpowiednich kwalifikacji do

montowania komputerów „Profesjonalnych”, oraz „Stacji graficznych”, a pracownik

„4” ma zbyt wysokie kwalifikacje i aspiracje, aby montować zestawy „Biurowe”.

Pojawia się, więc zmodyfikowana tabela.

Tabela 8. Zmdyfikowane dane

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna Profesjonalny

PI 7 5 0 0

PII 8 4 9 8

PIII 5 6 4 6

PIV 0 8 10 4

Model matematyczny

x(i,j) oznacza przydział i-tego pracownika do montażu zestawu j-tego typu.

Model matematyczny, poza funkcją celu, nie uległ zmianie.

a)każdy z pracowników może montować tylko jeden zestaw:

x11+x12+x13+x14=1

x21+x22+x23+x24=1

x31+x32+x33+x34=1

x41+x42+x43+x44=1

b)każdy z zestawów może być montowany tylko przez jednego pracownika

x11+x21+x31+x41=1

x12+x22+x32+x42=1

x13+x23+x33+x43=1

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

7

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

x14+x24+x34+x44=1

Funkcja kryterium: maksymalizacja liczby zmontowanych zestawów w ciągu dnia

pracy:

7x11+5x12+0x13+0x14+8x21+4x22+9x23+8x24++5x31+6x32+4x33+6x34+

0x41+8x42+10x43+4x44-> max

Rozwiązanie:

Stosujemy algorytm węgierski.

Odpowiedź:

Zespół pracowników może zmontować w czasie dnia roboczego 31 zestawów

komputerowych, pod warunkiem, że:

pierwszy pracownik będzie montował komputery „Biurowe”,

drugi pracownik będzie montował komputery „Profesjonalne”,

trzeci pracownik będzie montował komputery „Do gier”,

czwarty pracownik będzie montował komputery „Stacje graficzne”.

W rezultacie cały zespół zmontuje 7 komputerów „Biurowych”, 10 „Stacji graficznych”

6 „Do gier”, oraz 8 „Profesjonalnych”.

6. Wariant E

Uchylamy założenie dotyczące faktu, że każdy z pracowników może montować tylko

jeden zestaw komputerowy, a jeden zestaw może być montowany tylko przez

jednego pracownika.

Pracownicy wyspecjalizowali się:

P1-organizuje montaż,

P2-montuje części,

P3-instaluje oprogramowanie,

P4 -testuje zestaw.

Tabela 9. Nowe dane

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna Profesjonalny

PI 7 5 0 0

PII 8 4 9 8

PIII 5 6 4 6

PIV 0 8 10 4

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

8

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

Przytoczone dane pokazują, że „Stacje graficzne” oraz zestawy „Profesjonalne” nie

wymagają organizacji montażu, a zestawy „Biurowe” nie wymagają testowania.

Należy maksymalizować liczbę komputerów wyprodukowanych w ciągu miesiąca,

przy dodatkowych założeniach:

każdy z pracowników może pracować najwyżej 200 godzin w miesiącu,

należy zmontować przynajmniej 25 sztuk każdego z zestawów.

Model matematyczny

x(i,j) - czas pracy i-tego pracownika przeznaczony na obsługę j-tego zestawu.

a)ograniczenia dotyczące czasu pracy pracowników:

x11+x12+x13+x14=<200

x21+x22+x23+x24=<200

x31+x32+x33+x34=<200

x41+x42+x43+x44=<200

b)ograniczenia dotyczące liczby zmontowanych zestawów:

7x11>=25; 5x12>=25

8x21>=25; 4x22>=25; 9x23>=25; 8x24>=25

5x31>=25; 6x32>=25; 4x33>=25; 6x34>=25

8x42>=25; 10x43>=25; 4x44>=25

Funkcja kryterium:

7x11+5x12+

8x21+4x22+9x23+8x24+

5x31+6x32+4x33+6x34+

8x42+10x43+4x44+> max

Odpowiedź:

W celu uzyskania rozwiązania całkowitoliczbowego, zastosowano algorytm

programowania całkowitoliczbowego. Rozwiązanie optymalne podano w poniższej

tabeli.

Tabela 10. czas pracy i-tego pracownika przy montażu j-tego zestawu

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna Profesjonalny

PI 195 5 0 0

PII 4 7 185 4

PIII 5 183 7 5

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

9

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

PIV 0 4 189 7

Zostanie wyprodukowanych 6278 zestawów.

7. Wariant F

Uchylamy założenie o specjalizacji pracowników. Każdy z pracowników może, więc

pracować przy kilku zestawach. Załóżmy również, że znany jest popyt na komputery

poszczególnych typów.

Tabela 11. Nowe dane

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja

graficzna

Profesjonalny Czas

pracy

PI 7 5 0 0 200

PII 8 4 9 8 200

PIII 5 6 4 6 200

PIV 0 8 10 4 200

Popyt 200 150 150 5

Model matematyczny

x(i,j) - czas pracy i-tego pracownika przeznaczony na obsługę j-tego zestawu.

a)ograniczenia dotyczące czasu pracy pracowników:

x11+x12+x13+x14=<200

x21+x22+x23+x24=<200

x31+x32+x33+x34=<200

x41+x42+x43+x44=<200

b)ograniczenia dotyczące liczby zmontowanych zestawów:

7x11+8x21+5x31+0x41>=200

5x12+4x22+6x32+8x42>=150

0x13+9x23+4x33+10x43>=150

0x14+8x24+6x34+4x44>=5

Funkcja kryterium:

7x11+5x12+

8x21+4x22+9x23+8x24+

5x31+6x32+4x33+6x34+

8x42+10x43+4x44+> max

Odpowiedź:

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

10

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

W celu uzyskania rozwiązania całkowitoliczbowego, zastosowano algorytm

programowania całkowitoliczbowego. Rozwiązanie optymalne podano w poniższej

tabeli.

Tabela 12. czas pracy i-tego pracownika przy montażu j-tego zestawu

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna Profesjonalny

PI 200 0 0 0

PII 0 0 200 0

PIII 0 199 0 1

PIV 0 0 200 0

Zostanie wyprodukowanych 6400 zestawów.

8. Wariant G

Załóżmy teraz, że poniższa tabela zawiera czas pracy i-tego pracownika przy

montażu j-tego zestawu komputerowego, a problem polega na minimalizacji czasu

wykonania zadań planowych.

Tabela 13. Kolejna modyfikacja danych

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja

graficzna

Profesjonalny Czas

pracy

PI 7 5 0 0 200

PII 8 4 9 8 200

PIII 5 6 4 6 200

PIV 0 8 10 4 200

Popyt 20 20 20 20

Model matematyczny

x(i,j) - ilość zestawów j-tego typu zmontowana przez i-tego pracownika.

a)ograniczenia dotyczące czasu pracy pracowników:

7x11+5x12+0x13+0x14=<200

8x21+4x22+9x23+8x24=<200

5x31+6x32+4x33+6x34=<200

0x41+8x42+10x43+4x44=<200

b)ograniczenia dotyczące liczby zmontowanych zestawów:

x11+x21+x31+x41>=20

x12+x22+x32+x42>=20

x13+x23+x33+x43>=20

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

11

Kompleksowe zadanie z zakresu przydziału zadań produkcyjnych

x14+x24+x34+x44>=20

Funkcja kryterium:

7x11+5x12+

8x21+4x22+9x23+8x24+

5x31+6x32+4x33+6x34+

8x42+10x43+4x44+> min

Odpowiedź:

W celu uzyskania rozwiązania całkowitoliczbowego, zastosowano algorytm

programowania całkowitoliczbowego. Rozwiązanie optymalne podano w poniższej

tabeli.

Tabela 14. Ilośc j-tych zestawów zmontowana przez i-tego pracownika

Pracownik/Zestaw Biuro Do gier Stacja graficzna Profesjonalny

PI 0 0 0 0

PII 0 20 0 0

PIII 20 0 20 0

PIV 0 0 0 20

Zadania planowe zostaną wykonane w ciągu 340 godzin.

Jerzy Skrzypek - Kraków 2003

12



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
progr siec, Materiały Ekonomiczna, badania operacyjne
rozw test 13, Materiały Ekonomiczna, badania operacyjne
progr siec, Materiały Ekonomiczna, badania operacyjne
zadania 4, optymalny przydzial zadan
cel i zakres projektowania procesu produkcyjnego wyrobu, Ekonomia, ekonomia
Ekonometria - badania operacyjne 1, Różne Dokumenty, MARKETING EKONOMIA ZARZĄDZANIE
Ekonometria - badania operacyjne - założenia do modelu, Różne Dokumenty, MARKETING EKONOMIA ZARZĄDZA
Ekonometria - badania operacyjne 2, Różne Dokumenty, MARKETING EKONOMIA ZARZĄDZANIE
M Gruszczyński, M Podgórska Ekonometria i badania operacyjne Podręcznik dla studiów licencjackich
Ekonometria - badania operacyjne - wykłady, Różne Dokumenty, MARKETING EKONOMIA ZARZĄDZANIE
zadanie wykłady, Materiały Ekonomiczna
zadania przygotowujace na kolokwium, materiały ekonomia UWM, Statystyka
sad-materialy-pomocnicze, Zadania z prawdopodobieństwa, BANK ZADAŃ DO USTNEGO EGZAMINU DOJRZAŁOŚCI Z
tpy gospodarki nowe, referaty i materiały, ekonomika
Zadanie370, Informatyka i Ekonometria 2 rok, badania operacyjne, sciagniete z internetu
Zakres kolokwium, UE Rybnik studia, Ekonometria
38, STUDIA, semestr 5, Organizacja Produkcji Budowlanej & Ekonomika Budownictwa, TioB
Rozkład materiału Ekonomia Gospodarka Przestrzenna

więcej podobnych podstron