TESTOWANIE HIPOTEZY O NIEZNANEJ WARTOŚCI ŚREDNIEJ μ POPULACJI DLA PRÓBY MAŁEJ

Zadanie 1

Automat w fabryce czekolady produkuje tabliczki o masie 250g w celu sprawowania poprawności masy kontrola techniczna pobrała losowo próbę i otrzymano następujące masy 250g, 252g, 247g, 248g, 248g, 249g Na poziomie istotności 0,01 sprawdzić hipoteze że automat produkuje prawidłowe masy wobec hipotezy iż masa ta jest niewłaściwa

n= 6

∑x = 1494

∑x²= 372022

$\overset{\overline{}}{x}$= $\frac{1}{6} \bullet 1494 = 249g$

s²= $\frac{1}{6 - 1}\left\lbrack 372022 - \frac{1}{6}\left( 1494 \right)^{2} \right\rbrack = 3,2g^{2}$

Kal (372022-1494²÷6)÷5=3,2

S= $\sqrt{3,2} = 1,79$

H_o:μ₀ =250g

H₁:μ ≠250g

t= $\frac{(\overset{\overline{}}{x} - \ \mu_{0)\sqrt{n}}}{s} = t = \frac{(249 - 250)\sqrt{6}}{1,79} = - 1,37$

(249-250)$\mathbf{\bullet}\sqrt{\mathbf{6}}\mathbf{\div 1,79}$

t_{α, n − 1} = t_0, 01; 5 = 4, 032

Odp Przyjmujemy hipotezę zerową automat produkuje prawidłowe masy

TESTOWANIE HIPOTEZY O JEDNEJ WARIANCJI DLA PRÓBY MAŁEJ do tego zadania

Na poziomie istotności 0,05 sprawdz hipotezę że wariacja wynosi 4 wobec hipotezy że jest różna od podanej wartości

H_o:δ² =4

H₁:δ² ≠ 4

$\chi^{2} = \frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{(5*3,2)}{4}$ =4

kal 5 * 3, 2 : 4 = 4

α = 0, 05

$$\frac{\alpha}{2} = 0,025$$

1-$- \frac{\alpha}{2} = 0,975$

$${\chi^{2}}_{1 - \frac{\alpha}{2},n - 1} = {\chi^{2}}_{0,975,5} = 0,83$$

$${\chi^{2}}_{1\frac{\alpha}{2},n - 1} = {\chi^{2}}_{0,025,5} = 12,83$$

Odp Przyjmujemy H0 czyli wariancja populacji wynosi 4

Zad 2

W stołówce studenckiej przeprowadzono wyrywkową kontrolę masy porcji obiadowej mięsa która normalnie winna wynosić 120g losowo pobrana próba dała następujące masy porcji mięsa

122g, 118g, 115g, 116g, 123g, 116g, 114g, 120g, 121g, 125g

Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić hipoteze że porcja mięsa jest prawidłowa wobec hipotezy że średnia porcja mięsa jest mniejsza niż wynosi norma

n= 10

∑x= 1190

∑x² = 141736

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{= \ }\ \frac{1}{10}*1190 = 119g$$

$$s^{2} = \frac{1}{9}*\lbrack 141736 - \frac{1}{10}*\left( {1190)}^{2} \right\rbrack = 14g$$

Kal (141736-1190²÷10)÷9 = 14

S=$\sqrt{14} = 3,74$

H_o:μ₀ =120g

H₁:μ <120g

t= $\frac{(\overset{\overline{}}{x} - \ \mu_{0)\sqrt{n}}}{s} = t = \frac{(119 - 120)\sqrt{10}}{1,793,74} = - 0,85$

α = 0, 05

2α = 0, 1

t_{2α, n − 1} = t_0, 1; 9 = 1, 833

Odp przyjmujemy hipotezę zerową czyli porcja mięsa w stołówce studenckiej jest prawidłowa

TESTOWANIE HIPOTEZY O JEDNEJ WARIANCJI DLA PRÓBY MAŁEJ do tego zadania

Na poziomie istotności 0,01sprawdz hipotezę że wariacja wynosi 16 wobec hipotezy że jest mniejsza od podanej wartości

H_o:δ² =16

H₁:δ² < 16

$\chi^{2} = \frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{(9*14)}{16} = 7,88$

kal 9 * 14 : 16 = 7, 88

α = 0, 01

χ²_{1 − α,  n − 1} = χ²_0, 99; 9 = 2, 09

Odp Przyjmujemy H0 czyli wariancja populacji wynosi 16g

Zadanie 3

Maszyna mieszająca nawóz jest tak nastawiona aby w każdych 100kg nawozu było 10kg azotu. Zbadano dziesięć 100kg worków. Zawartość azotu była następująca : 9kg, 12kg, 11kg, 10kg, 11kg, 9kg, 11kg, 12kg, 9kg, 10kg,

Na poziomie istotności 0,05 sprawdz hipoteze że maszyna mieszająca nawóz pracuje prawidłowo wobec hipotezy iż zawartość azotu jest większa niż 10kg

n=10

∑x= 104

∑x² = 1094

$\overset{\overline{}}{x}$= 1/10 *104= 10,4kg

s²= 1/9* [1094- 1/10* (104)²]≈1, 38

S=$\sqrt{1,38} = 1,17$

H_o:μ₀ =10kg

H₁:μ >10kg

t= $\frac{(\overset{\overline{}}{x} - \ \mu_{0)\sqrt{n}}}{s} = t = \frac{\left( 10,4 - 10 \right)\sqrt{10}}{1,17} = 1,08$

α = 0, 05

2α = 0, 1

t_{2α, n − 1} = t_0, 1; 9 = 1, 833

Odp. Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej czyli możemy uznać że maszyna mieszająca nawóz działa prawidłowo

TESTOWANIE HIPOTEZY O JEDNEJ WARIANCJI DLA PRÓBY MAŁEJ do tego zadania

Na poziomie istotności 0,05sprawdz hipotezę że wariacja wynosi 1 wobec hipotezy że jest większa od podanej wartości

H_o:δ² =1

H₁:δ² > 1

$\chi^{2} = \frac{(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{(9*1,38)}{1} = 12,42$

kal 9 * 1, 38 : 1 = 12, 42

α = 0, 05

χ²_{α,  n − 1} = χ²_0, 05; 9 = 16, 92

Odp Przyjmujemy H0 czyli wariancja populacji wynosi 1kg

TESTOWANIE HIPOTEZY O NIEZNANEJ WARTOŚCI ŚREDNIEJ μ POPULACJI DLA PRÓBY DUŻEJ

Zadanie 1

Wysunięto przypuszczenie że średnie zużycie środków do prania mycia na jedną osobę wynosi 9kg. Celem sprawdzenia tego przypuszczenia pobrano próbę losową i ukazano następujące wyniki

Przedział klasowy	Liczebność ni	zi	nizi	nizi^2
7-8	9	-2	-18	36
8-9	16	-1	-16	16
9-10	41	0	0	0
10-11	30	1	30	30
11-12	18	2	36	72
12-13	11	3	33	99
13-14	4	4	12	64
sumy	129	X	81	317

a = 9, 5

h=1

n=129

$\overset{\overline{}}{x}$= 9,5+ 1/129*81= 10,13kg

s²=$\frac{1^{2}}{128}\left\lbrack 317 - \frac{1}{129}*\ 81^{2} \right\rbrack = 2,08\backslash n$
s=$\sqrt{2,08} = 1,44kg$

Na poziomie istotności 0,05 sprawdz powyższą hipotezę wobec hipotezy że zużycie jest większe niż 9kg

H_o:μ₀ =9kg

H₁:μ >9kg

$$u = \ \frac{\overset{\overline{}}{(x} - \ \mu_{0})\sqrt{n}}{s} = \frac{\left( 10,13 - 9 \right)\sqrt{129}}{1,44} = 8,91$$

α = 0, 05

2α = 0, 1

U_2α = U_0, 1 = 1, 645

Odp. Odrzucamy H_o i przyjmujemy H₁ czyli zużycie środków do prania na 1 osobę jest większe niż 9kg

Zad 2

Badając dzienną wydajność pracy mierzoną liczbą sztuk wyrobów wyprodukowanych w ciągu dnia przez jednego zatrudnionego otrzymano następujące dane

Wydajność w sztukach	Liczba pracowników ni	zi	nizi	nizi^2
5-15	10	-2	-20	40
15-25	30	-1	-30	30
25-35	60	0	0	0
35-45	40	1	40	40
45-55	30	2	60	120
55-65	30	3	90	270
suma	200	x	140	500

Wartość średniej arytmetycznej

$$\overset{\overline{}}{x} = a + \frac{h}{n}\sum_{i = 1}^{n}\text{nizi}$$

$$a = \frac{(25 + 35)}{2} = 30$$

h= 10

n=200

$\overset{\overline{}}{x}$= 30 +10/200 *140 = 37szt

$s^{2} = \frac{h^{2}}{n - 1}\ \left\lbrack \sum_{i = 1}^{n}{\text{xizi}^{2} - \ \frac{1}{n}}\left( {\sum_{i = 1}^{n}\text{xizi}}^{2} \right)^{} \right\rbrack$= $\frac{10^{2}}{200 - 1}\left\lbrack 500 - 1/200\left( 140^{2} \right) \right\rbrack$= 202,01

Kal 10²÷199*(500−140²÷200)=202, 01

S=$\sqrt{202,01} = 14,21\text{szt}^{2}$

Na poziomie istotności 0,5 sprawdz hipotezę że średnia wydajność wynosi 40szt wobec hipotezy że jest ona różna od podanej liczby

H_o:μ₀ =40szt

H₁:μ₁ ≠40 szt

$$u = \ \frac{\overset{\overline{}}{(x} - \ \mu_{0})\sqrt{n}}{s} = \frac{\left( 37 - 40 \right)\sqrt{200}}{14,21} = - 2,99$$

α = 0, 05

U_α = U_0, 05 = 1, 960

Odp odrzucamy H_o i przyjmujemy H₁ czyli średnia wydajność pracy jednego pracownika jest różna od 40szt

TESTOWANIE HIPOTEZY O JEDNEJ WARIANCJI DLA PRÓBY DUŻEJ do tego zadania

Na poziomie istotności 0,01 sprawdz hipotezę że wariacja wynosi 280 wobec hipotezy że jest mniejsza od podanej wartości

H_o:δ² =280

H₁:δ²,<280

$$U = \sqrt{\frac{2(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}}} - \sqrt{2n - 3}$$

$U = \sqrt{\frac{398*202,01}{280}} - \sqrt{397}$ =-2,98

$$\mathbf{\text{kal\ }}\sqrt{\left( \mathbf{398*202,01:280} \right)\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{397}}}\mathbf{= - 2,98}$$

α = 0, 01

2α = 0, 02

U_2α = U_0, 02 = 2, 326

Odp Odrzucamy H0 i przyjmujemy H1 czyli wariancja wydajności pracy jednego pracownika jest mniejsza niż 280szt

Zadanie 3

Zbadano przebieg 200 opon samochodowych pewnego typu wycofanych z eksploatacji i otrzymano wyniki

Przebieg opon	Liczby opon ni	zi	nizi	nizi^2
25-30	20	-2	-40	80
30-35	40	-1	-40	40
35-40	95	0	0	0
40-45	25	1	25	25
45-50	15	2	30	60
50-55	5	3	15	45
Suma	200	x	-10	250

$$\overset{\overline{}}{x} = a + \frac{h}{n}\sum_{i = 1}^{n}\text{nizi}$$

$$a = \frac{(35 + 40)}{2} = 37,5$$

h= 5

n=200

$\overset{\overline{}}{x}$= 37,5 +5/200 *(-10) = 37,25

$s^{2} = \frac{h^{2}}{n - 1}\ \left\lbrack \sum_{i = 1}^{n}{\text{xizi}^{2} - \ \frac{1}{n}}\left( {\sum_{i = 1}^{n}\text{xizi}}^{2} \right)^{} \right\rbrack$= $\frac{5^{2}}{200 - 1}\left\lbrack 250 - 1/200\left( {- 10}^{2} \right) \right\rbrack$= 31,34

Kal 5²÷199*(250−( − 10)²÷200)=31, 34

S=$\sqrt{31,34} = 5,60\ tys\ km$

Na poziomie istotności 0,5 sprawdz hipotezę że wartość przeciętna przebiegu opon tego typu jest równa µ 35 tys km wobec hipotezy że µ<35 tyś km

H_o:μ₀ =35tyś km

H₁:μ <35tys km

$$u = \ \frac{\overset{\overline{}}{(x} - \ \mu_{0})\sqrt{n}}{s} = \frac{\left( 37,25 - 35 \right)\sqrt{200}}{5,60} = 5,68$$

α = 0, 05

2α = 0, 1

U_2α = U_0, 1 = 1, 645

Odp Przyjmujemy hipotezę H0 czyli wartość przeciętna przebiegu opon tego typu jest równa 35 tyś km

TESTOWANIE HIPOTEZY O JEDNEJ WARIANCJI DLA PRÓBY DUŻEJ do tego zadania

Na poziomie istotności 0,05 sprawdz hipotezę że wariacja wynosi 25 tyś km wobec hipotezy że jest większa od podanej wartości

H_o:δ² =25

H₁:δ²,>25

$$U = \sqrt{\frac{2(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}}} - \sqrt{2n - 3}$$

$U = \sqrt{\frac{398*31,34}{25}} - \sqrt{397}$ =2,41

$$\mathbf{\text{kal\ }}\sqrt{\left( \mathbf{398*31,34:25} \right)\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{397}}}\mathbf{= 2,41}$$

α = 0, 05

2α = 0, 1

U_2α = U_0, 1 = 1, 645

Odp Odrzucamy H0 i przyjmujemy H1 czyli wariancja przebiegu opon pewnego typu jest większa niż 25 tyś km

TESTOWANIE HIPOTEZY O JEDNEJ WARIANCJI DLA PRÓBY DUŻEJ

Zadanie 1

W pewnej gałęzi przemysłu dla losowo wybranych maszyn zebrano dane dotyczące czasu eksploatacji i otrzymano następujące wyniki

Czas eksploatacji w latach	Liczba maszyn ni	zi	nizi	nizi^2
0-2	3	-3	-9	27
2-4	7	-2	-14	28
4-6	10	-1	-10	10
6-8	25	0	0	0
8-10	5	1	5	5
sumy	50	X	-28	70

Na poziomie istotności 0,01 sprawdz hipotezę że wariancja czasu eksploatacji wynosi 4 wobec hipotezy że jest różna od 4

a= 6+8/2=7

h=2

$\overset{\overline{}}{x}$= 7+2/50*(-28)= 5,88

Kal 7+2:50* -28= 5,88

s²=2²/49[70−1/50( − 28)²]= 4,43

Kal 2² : 49 * (70 − 28² : 50)= 4,43

S= $\sqrt{4,43} = 2,11$

H_o:δ² =4

H₁:δ² = ≠4

$$U = \sqrt{\frac{2(n - 1)s^{2}}{\sigma^{2}}} - \sqrt{2n - 3}$$

$U = \sqrt{\frac{98*4,43}{4}} - \sqrt{97}$ = 0,57

$$\mathbf{\text{kal\ }}\sqrt{\left( \mathbf{98*4,43:4} \right)\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{97}}}\mathbf{= 0,57}$$

α = 0, 01

U_α = U_0, 01 = 2, 576

Odp. Przyjmujemy H0 czyli wariancja czasu eksploatacji maszyn wynosi 4lata

TESTOWANIE HIPOTEZY O RÓWNOŚCI ŚREDNICH DWÓCH POPULACJI W PRZYPADKU GDY POBRANE PRÓBY SĄ MAŁE

Zad 1.

W pewnym zakładzie hutniczym badano wielkość uszkodzenia słuchu pracowników dwóch wydziałów walcowni i stalowni. W wyniku przeprowadzonych wśród 10 pracowników walcowni badań audiometrycznych stwierdzono następujące ubytki słuchu:47, 37, 33, 20, 26, 10, 62, 39, 35, 21, a wśród 12 pracowników stalowni otrzymano: 55, 48, 46,51,42,32,48,25,29,41,62,35

Na poziomie istotności 0,05 sprawdź hipotezę o jednakowym średnim ubytku słuchu pracowników obu wydziałów wobec hipotezy że ubytki średnie są różne.

Oznaczenia ze wskaźnikiem 1 będą dotyczyły walcowni a ze wskaźnikiem 2 stalowni

$${\text{x~}\overline{}}_{1} = 32,8$$

n₁ = 10

s²₁= 216,62

S₁= 14,65

n= 12

$\overset{\overline{}}{x}$= 42,83

s²= 121,61

S=11,03

H_o:μ₁ =μ₂

H₁:μ₁ ≠μ₂

t=$\frac{{\overset{\overline{}}{x}}_{1} - \ {\overset{\overline{}}{x}}_{2}}{\sqrt{\frac{(n_{1 - 1)s_{1}^{2} + (n_{2} - 1)s_{2}^{2}}}{n_{1} + n_{2} - 2}*\ \frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1}*n_{2}}}}$

t=$\frac{(32,8 - 42,83)}{\sqrt{\left( \frac{(9*216,62 + 11*121,61)}{20}*\ \frac{22}{120} \right)}}$

kalk (32,8-42,83) : $\sqrt{\begin{matrix} \left( \left( \mathbf{9*216,62 + 11*121,61} \right)\mathbf{:20*22:120} \right) \\ \\ \end{matrix}}$

t_{∝,  n1 + n2 − 2} = t_{0, 05, 20} = 2, 086

Odp Przyjmując H0 na obu wydziałach możemy stwierdzić jednakowy ubytek słuchu pracowników

Zad 2.

Dwie maszyny produkują takie same detale na poziomie istotności 0,05 sprawdz hipotezę o jednakowej średniej wielkości produkowanych detali, jeżeli odchylenia od normy dla maszyny pierwszej są następujące w mm: 1,0; 0,8; 0,5; 0,4; 0,7; 0,3; 0,4; 0,5; 0,8; 0,5 a dla maszyny drugiej : 0,7; 1,1; 0,4; 0,4; 0,3; 0,8; 0,9;, 0,6

Hipoteza alternatywna mówi że średnie odchylenie od normy dla maszyny pierwszej jest mniejsza od maszyny drugiej

n1

∑x

∑x²

$$\overset{\overline{}}{x}$$

s²

S=

H_o:μ₀ =250g

H₁:μ ≠250g

∑x

∑x²

$$\overset{\overline{}}{x}$$

s²

S=

H_o:μ₀ =250g

H₁:μ ≠250g

∑x

∑x²

$$\overset{\overline{}}{x}$$

s²

S=

H_o:μ₀ =250g

H₁:μ ≠250g

Wydajność w sztukach	Liczba ni	zi	nizi	nizi^2