I tura

1. Co to jest dystrybuanta zmiennej losowej? Podaj wzory dla zmiennej skokowej i ciągłej.

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję zdefiniowaną następująco: F(x) = P(X<x).

Dystrybuanta zm. skokowej: F(x) = $\sum_{- \infty < x_{i} < x}^{}p_{i}$
Dystrybuanta zm. ciągłej: F(x) = ∫_−∞^xf(t)dt dla x ∈ R

1. Opisz rozkład Poissona i jego zastosowania.

Rozkład Poissona jest to rozkład zmiennej losowej skokowej, przedstawiający liczbę wystąpień badanego zjawiska w czasie t, w określonej liczbie prób, jeśli wystąpienia tego zjawiska są niezależne od siebie.

Funkcja prawdopodobieństwa w rozkładzie Poissona ma postać:

Rozkład ten ma zastosowanie do obliczenia przybliżonej wartości prawdopodobieństwa w rozkładzie dwumianowym przy dużej liczbie prób i niskim prawdopodobieństwie sukcesu.

1. Wyjaśnij pojęcia: współczynnik (poziom) ufności i poziom istotności.

Współczynnik ufności (1-α) – jest to prawdopodobieństwo tego, że wyznaczając (na podstawie n-elementowych prób) dolną i górną granicę przedziału, nieznana wartość parametru znajdzie się w tym przedziale.

Poziom istotności (α) – prawdopodobieństwo wystąpienia błędu I-go rodzaju.

1. Zapisz wzory na estymację punktową dla wartości oczekiwanej, wariancji, wskaźnika struktury.

Dla wartości oczekiwanej: $\overset{\overline{}}{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$

Dla wariancji: $s^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - {\overset{\overline{}}{x}}_{n})}^{2}}{n}$

1. Zapisz hipotezy, statystykę oraz obszar krytyczny przy weryfikacji hipotezy z wariancji, która jest mniejsza niż 25, dla próby o liczebności 130.

H₀ :  σ² = 25 ; H₁ :  σ² < 25
Statystyka: $z = \sqrt{2x^{2}} - \sqrt{2\left( n - 1 \right) - 1}$ (bo mała próba) + wzór obok jako chi-kwadrat.

Obszar krytyczny lewostronny (po minusowej części układu współrzędnych zaznaczamy z_α i zakreskowujemy wszystko w lewo (do –∞).

1. Zapisz hipotezy oraz statystykę przy badaniu istotności współczynnika korelacji.

H₀ :  p = 0 (współczynnik NIE jest istotny statystycznie – zmienne NIE są skorelowane)
H₁ :  p ≠ 0 (współczynnik jest istotny statystycznie – zmienne są skorelowane)

Statystyki:

+ dla małej próby (n ≤ 120): $t = \frac{r}{\sqrt{1 - r^{2}}}\ \sqrt{n - 2}$

+ dla dużej próby (n > 120): z$= \frac{r}{\sqrt{1 - r^{2}}}\ \sqrt{n}$

II tura

1. Co to jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej? Co to są rozkłady zmiennej skokowej i ciągłej?

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest to funkcja przyporządkowująca wartościom x_i prawdopodobieństwa p_i.

Dla zmiennej losowej skokowej jest to funkcja prawdopodobieństwa: P(X=x_i) = p_i

Dla zmiennej losowej ciągłej jest to funkcja gęstości, (nieujemnie): ∫_−∞^+∞f(x)dx = 1

1. Rozkład normalny i jego zastosowania.

Rozkład normalny jest jednym z najważniejszych rozkładów zmiennej losowej ciągłej. Zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeżeli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: $f\left( x \right) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\prod_{}^{}}}\exp\left\{ \frac{- {(x - m)}^{2}}{2\sigma^{2}} \right\}$
Charakteryzują go dwa parametry: wartość oczekiwana i odchylenie standardowe. Rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym, ponieważ: Średnia = Mediana = Dominanta.

Zastosowania:

• waga i wzrost osobników jednorodnych populacji ludzkich i zwierzęcych;

• losowe błędy pomiarów;

• iloraz inteligencji.

1. Wyjaśnij pojęcia: parametr, estymator, ocena parametru.

Parametr (θ) – charakterystyka określająca całą populację.

Estymator (T_n) – pewna funkcja określona na próbie, która służy do oszacowania nieznanej wartości parametru θ.

Ocena parametru (T) – jest to konkretna wartość liczbowa, którą przyjmuje estymator dla realizacji próby.

1. Zapisz wzory na estymację punktową dla wartości oczekiwanej, odchylenia standardowego i wskaźnika struktury.

Dla wartości oczekiwanej: $\overset{\overline{}}{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$

Dla odchylenia standardowego: $s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - {\overset{\overline{}}{x}}_{n})}^{2}}{n}}$ [???]

1. Zapisz hipotezy, statystykę oraz obszar krytyczny przy weryfikacji hipotezy, że średnia jest mniejsza od 25, dla próby o liczebności 150.

H₀ :  m₀ = 25 ; H₁ :  m₀ < 25
Statystyka: $z = \frac{\overset{\overline{}}{x} - m_{0}}{S(x)}\sqrt{n}$ (bo duża próba)

Obszar krytyczny lewostronny (po minusowej części układu współrzędnych zaznaczamy z_α i zakreskowujemy wszystko w lewo (do –∞).

1. Zapisz hipotezy oraz statystykę przy badaniu istotności współczynnika regresji.

H₀ :  α₁ = 0 (współczynnik NIE jest istotny statystycznie – pomiędzy zmiennymi NIE występuje zależność)
H₁ :  α₁ ≠ 0 (współczynnik jest istotny statystycznie – pomiędzy zmiennymi występuje zależność)

Statystyka: $t = \frac{a_{1}}{s(a_{1})}$