Kopia Projekt dzifny

Akademia Górniczo-Hutnicza

im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Przedmiot: Mechanika

Projekt

Temat główny:
Analiza ruchu wibratora inercyjnego

Projekt wykonali:

Dubiel Wiktor

Gatlik Mirosław

Macioł Maciej

Gr K.

  1. Schemat układu:

  1. Współrzędne wyjściowe:


{x, x1, y, φ}

  1. Zależności geometryczne:


α = 60


a = l * cos(α)


b = l * sin(α)


a2 + b2 = l2


(ax1)2 + (b+y)2 = l2


$$y = \sqrt{l^{2} - \left( a - x_{1} \right)^{2}} - b$$


$$y = \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha)$$

  1. Równania więzów:


$$y = \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha)$$

  1. Liczba stopni swobody:

Liczba współrzędnych wyjściowych: 4

Liczba równań więzów: 1

Liczba stopni swobody 4-1=3

  1. Liczba współrzędnych uogólnionych: 3

Współrzędne uogólnione: {x, x1, φ}

  1. Postać ogólna równania Lagrange’a II rodzaju:


$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{L}{\dot{q}} \right) - \frac{L}{q} + \frac{1}{2}\frac{N}{\dot{q}} = Q_{q}$$

  1. Energia kinetyczna układu:


$$E_{k} = \frac{1}{2}M\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}V_{k}^{2} + \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} + 2(\frac{1}{2}m\dot{y^{2}})$$


$$V_{k}^{2} = \dot{x^{2}} + \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}}$$


$$E_{k} = \frac{1}{2}M\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}\left( \dot{x^{2}} + \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}} \right) +$$


$$+ \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} + 2\left( \frac{1}{2}m\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*\sin\left( \alpha \right) \right\rbrack^{2} \right) =$$


$$= \frac{1}{2}\left( M + m_{k} \right)\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}\left( \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}} \right) + \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} +$$


$$+ 2\left( \frac{1}{2}m{\dot{\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*\sin\left( \alpha \right) \right\rbrack}}^{2} \right)\backslash n$$

Energia potencjalna układu:


$$E_{p} = \frac{1}{2}k_{2}\left( x_{1} - \text{x\ } \right)^{2} + 2*\frac{1}{2}*k_{1}y^{2} - m_{k}g\frac{l}{2}\text{cosφ}$$


$$E_{p} = \frac{1}{2}k_{2}\left( x_{1} - \text{x\ } \right)^{2} - m_{k}g\frac{l}{2}cos\varphi +$$


$$+ 2*\frac{1}{2}*k_{1}\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha) \right\rbrack$$

  1. Tłumienie układu:


$$N = \frac{1}{2}b{(\dot{x_{1}} - \dot{x})}^{2}$$

  1. Potencjał Lagrange’a:


L = Ek − Ep


$$\frac{1}{2}\left( M + m_{k} \right)\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}\left( \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}} \right) + \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} +$$


$$+ 2\left( \frac{1}{2}m{\dot{\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*\sin\left( \alpha \right) \right\rbrack}}^{2} \right) -$$


$$- \frac{1}{2}k_{2}\left( x_{1} - \text{x\ } \right)^{2} + m_{k}g\frac{l}{2}cos\varphi - 2*\frac{1}{2}*k_{1}\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha) \right\rbrack$$

  1. Równania różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej x:


q = x


$$\frac{\partial L}{\partial\dot{x}} = \left( M + m_{k} \right)\dot{x} + \frac{1}{2}m_{k}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right)$$


$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{x}} \right) = \left( M + m_{k} \right)\ddot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}l\ddot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) - \frac{1}{2}m_{k}l\dot{\varphi^{2}}\sin\left( \varphi \right)$$


$$\frac{\partial L}{\partial x} = k_{2}\left( x_{1} - x \right)$$


$$\frac{1\ \partial N}{2\ \partial\dot{x}} = - b(\dot{x_{1}} - \dot{x})$$


$$\left( M + m_{k} \right)\ddot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}l\ddot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) - \frac{1}{2}m_{k}l\dot{\varphi^{2}}\sin\left( \varphi \right) - k_{2}\left( x_{1} - x \right) - b\left( \dot{x_{1}} - \dot{x} \right) = 0$$

  1. Równania różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej x1:


q = x1


$$\frac{\partial L}{\partial\dot{x_{1}}} =$$


$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{x_{1}}} \right) =$$


$$\frac{\partial L}{\partial x_{1}}$$


$$\frac{1\ \partial N}{2\ \partial\dot{x_{1}}} = b(\dot{x_{1}} - \dot{x})$$

  1. Równania różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej ϕ:

  2. Układ równań ruchu:

  3. Dane do układu:


M = 200[kg]


mk = 10[kg]


m = 15[kg]


$$k_{1} = 70000\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$


$$k_{2} = 10^{6}\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$


$$b = 40\left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$


μ = 0, 003


dcz = 0, 02[m]


l = 0, 5[m]


$$\alpha = \frac{1}{3}\pi$$


$$M_{o} = m_{k}*\frac{1}{2}*\omega^{2}*\mu*\frac{d_{\text{cz}}}{2}*sign\left( \omega \right)\lbrack Nm\rbrack$$

  1. Przebiegi czasowe drgań wymuszonych współrzędnych uogólnionych:

Przebiegi czasowe zostały wykreślone w programie Inventor dla wymuszenia momentem Mn = 20, 35 [Nm] przy którym wahadło zaczyna wirować. Charakterystyki prezentują się następująco:

Dla zmiennej x:

Dla zmiennej v=x’

Dla zmiennej x1

Dla zmiennej v1=x1’

Dla zmiennej ϕ

Dla zmiennej ω=ϕ’

  1. Drgania swobodne masy M przy wychyleniu wahadła o 90°

Na poniższym wykresie zaprezentowano drgania swobodne masy M:

Drgania ustalają się po ok. 5 [s] ruchu i oscylują w granicach od -3 do 3 [mm].

  1. Czy układ ulegnie uszkodzeniu?

Celem tego zadania jest sprawdzenie czy układ ulegnie uszkodzeniu zakładając, że maksymalna siła występująca w sprężynach nie może przekroczyć 120 [kN] oraz że moment napędowy jest dwa razy większy od momentu potrzebnego do rozpoczęcia wirowania masy mk, czyli Mn=40,7[Nm].

Poniżej przedstawiono przebieg dla siły występującej w sprężynie pomiędzy masami M i m:

Siła w sprężynie pomiędzy masą m a podłożem:

Jak widać z wykresów maksymalna siła osiągalna dla takiego układu przy zadanym momencie napędowym osiąga wartość 5,159 [kN] i jest osiągana w sprężynie pomiędzy masami M i m.

Według powyższych danych zaobserwowanych przy momencie napędowym równym 40,7 [Nm] układ będzie pracował sprawnie i nie ulegnie uszkodzeniu.

  1. Eksperyment

Wykonać eksperyment w którym układ napędzany jest momentem Mn=40,7[Nm] w którym po osiągnięciu krytycznej prędkości obrotowej ωk=860[deg/s], przy której siła w sprężynie jest największa, następuje wyłączenie momentu napędowego i badany jest czas do ustalenia się układu.

Jak widać na powyższych wykresach po czasie 5,3[s] nastąpiło osiągnięcie krytycznej prędkości obrotowej ωk=860[deg/s],a moment napędowy został wyłączony.

Po wyłączeniu momentu układ siłą bezwładności wykonuje jeszcze kilka ruchów i ustala się po upływie ok. 2,5[s].

  1. Animacja pracy układu

Animację pracy układu dla 30 sekund z wymuszeniem momentem Mn=20,35[Nm] wykonano w programie inventor i załączono do projektu w formie pliku .avi.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Kopia projekt2
Kopia projekt ze zmianą B, Budownictwo, semestr 4, Budownictwo wodne podstawy
Kopia PROJEKT ZL61
Kopia (2) Projekt, Skrypty, UR - materiały ze studiów, studia, studia, 3 STASZEK, Odwodnienia
Kopia PROJEKT-WYMIENNIK-Alicja, Studia, UTP Ochrona środowiska, III rok, Semestr VI, Aparatura OS
Kopia Projekt GTG 1 Parusel
Projekt dzifny
Kopia Projekt 3 oryginał
Kopia projekt gorII 2008
Kopia Projekt, Fizyka Budowli - WSTiP, fizyka budowli(5), fizyka budowli, Fizyka Budowli, Grzechulsk
Kopia Projekt budowlany, budownictwo ogólne
Kopia projekt spawalnictwo
Kopia Projekt prafabrykowanej hali (P 70)
Kopia projekt2
Kopia projekt 2 biomasa sadsa

więcej podobnych podstron