Akademia Górniczo-Hutnicza
im. Stanisława Staszica w Krakowie
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
Przedmiot: Mechanika
Projekt
Temat główny:
Analiza ruchu wibratora inercyjnego
Projekt wykonali:
Dubiel Wiktor
Gatlik Mirosław
Macioł Maciej
Gr K.
Schemat układu:
Współrzędne wyjściowe:
{x, x1, y, φ}
Zależności geometryczne:
|
---|
Równania więzów:
$$y = \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha)$$
Liczba stopni swobody:
Liczba współrzędnych wyjściowych: 4
Liczba równań więzów: 1
Liczba stopni swobody 4-1=3
Liczba współrzędnych uogólnionych: 3
Współrzędne uogólnione: {x, x1, φ}
Postać ogólna równania Lagrange’a II rodzaju:
$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{L}{\dot{q}} \right) - \frac{L}{q} + \frac{1}{2}\frac{N}{\dot{q}} = Q_{q}$$
Energia kinetyczna układu:
$$E_{k} = \frac{1}{2}M\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}V_{k}^{2} + \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} + 2(\frac{1}{2}m\dot{y^{2}})$$
$$V_{k}^{2} = \dot{x^{2}} + \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}}$$
$$E_{k} = \frac{1}{2}M\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}\left( \dot{x^{2}} + \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}} \right) +$$
$$+ \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} + 2\left( \frac{1}{2}m\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*\sin\left( \alpha \right) \right\rbrack^{2} \right) =$$
$$= \frac{1}{2}\left( M + m_{k} \right)\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}\left( \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}} \right) + \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} +$$
$$+ 2\left( \frac{1}{2}m{\dot{\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*\sin\left( \alpha \right) \right\rbrack}}^{2} \right)\backslash n$$
Energia potencjalna układu:
$$E_{p} = \frac{1}{2}k_{2}\left( x_{1} - \text{x\ } \right)^{2} + 2*\frac{1}{2}*k_{1}y^{2} - m_{k}g\frac{l}{2}\text{cosφ}$$
$$E_{p} = \frac{1}{2}k_{2}\left( x_{1} - \text{x\ } \right)^{2} - m_{k}g\frac{l}{2}cos\varphi +$$
$$+ 2*\frac{1}{2}*k_{1}\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha) \right\rbrack$$
Tłumienie układu:
$$N = \frac{1}{2}b{(\dot{x_{1}} - \dot{x})}^{2}$$
Potencjał Lagrange’a:
L = Ek − Ep
$$\frac{1}{2}\left( M + m_{k} \right)\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}\left( \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}} \right) + \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} +$$
$$+ 2\left( \frac{1}{2}m{\dot{\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*\sin\left( \alpha \right) \right\rbrack}}^{2} \right) -$$
$$- \frac{1}{2}k_{2}\left( x_{1} - \text{x\ } \right)^{2} + m_{k}g\frac{l}{2}cos\varphi - 2*\frac{1}{2}*k_{1}\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha) \right\rbrack$$
Równania różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej x:
q = x
$$\frac{\partial L}{\partial\dot{x}} = \left( M + m_{k} \right)\dot{x} + \frac{1}{2}m_{k}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right)$$
$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{x}} \right) = \left( M + m_{k} \right)\ddot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}l\ddot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) - \frac{1}{2}m_{k}l\dot{\varphi^{2}}\sin\left( \varphi \right)$$
$$\frac{\partial L}{\partial x} = k_{2}\left( x_{1} - x \right)$$
$$\frac{1\ \partial N}{2\ \partial\dot{x}} = - b(\dot{x_{1}} - \dot{x})$$
$$\left( M + m_{k} \right)\ddot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}l\ddot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) - \frac{1}{2}m_{k}l\dot{\varphi^{2}}\sin\left( \varphi \right) - k_{2}\left( x_{1} - x \right) - b\left( \dot{x_{1}} - \dot{x} \right) = 0$$
Równania różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej x1:
q = x1
$$\frac{\partial L}{\partial\dot{x_{1}}} =$$
$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{x_{1}}} \right) =$$
$$\frac{\partial L}{\partial x_{1}}$$
$$\frac{1\ \partial N}{2\ \partial\dot{x_{1}}} = b(\dot{x_{1}} - \dot{x})$$
Równania różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej ϕ:
Układ równań ruchu:
Dane do układu:
M = 200[kg]
mk = 10[kg]
m = 15[kg]
$$k_{1} = 70000\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$
$$k_{2} = 10^{6}\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$
$$b = 40\left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$
μ = 0, 003
dcz = 0, 02[m]
l = 0, 5[m]
$$\alpha = \frac{1}{3}\pi$$
$$M_{o} = m_{k}*\frac{1}{2}*\omega^{2}*\mu*\frac{d_{\text{cz}}}{2}*sign\left( \omega \right)\lbrack Nm\rbrack$$
Przebiegi czasowe drgań wymuszonych współrzędnych uogólnionych:
Przebiegi czasowe zostały wykreślone w programie Inventor dla wymuszenia momentem Mn = 20, 35 [Nm] przy którym wahadło zaczyna wirować. Charakterystyki prezentują się następująco:
Dla zmiennej x:
Dla zmiennej v=x’
Dla zmiennej x1
Dla zmiennej v1=x1’
Dla zmiennej ϕ
Dla zmiennej ω=ϕ’
Drgania swobodne masy M przy wychyleniu wahadła o 90°
Na poniższym wykresie zaprezentowano drgania swobodne masy M:
Drgania ustalają się po ok. 5 [s] ruchu i oscylują w granicach od -3 do 3 [mm].
Czy układ ulegnie uszkodzeniu?
Celem tego zadania jest sprawdzenie czy układ ulegnie uszkodzeniu zakładając, że maksymalna siła występująca w sprężynach nie może przekroczyć 120 [kN] oraz że moment napędowy jest dwa razy większy od momentu potrzebnego do rozpoczęcia wirowania masy mk, czyli Mn=40,7[Nm].
Poniżej przedstawiono przebieg dla siły występującej w sprężynie pomiędzy masami M i m:
Siła w sprężynie pomiędzy masą m a podłożem:
Jak widać z wykresów maksymalna siła osiągalna dla takiego układu przy zadanym momencie napędowym osiąga wartość 5,159 [kN] i jest osiągana w sprężynie pomiędzy masami M i m.
Według powyższych danych zaobserwowanych przy momencie napędowym równym 40,7 [Nm] układ będzie pracował sprawnie i nie ulegnie uszkodzeniu.
Eksperyment
Wykonać eksperyment w którym układ napędzany jest momentem Mn=40,7[Nm] w którym po osiągnięciu krytycznej prędkości obrotowej ωk=860[deg/s], przy której siła w sprężynie jest największa, następuje wyłączenie momentu napędowego i badany jest czas do ustalenia się układu.
Jak widać na powyższych wykresach po czasie 5,3[s] nastąpiło osiągnięcie krytycznej prędkości obrotowej ωk=860[deg/s],a moment napędowy został wyłączony.
Po wyłączeniu momentu układ siłą bezwładności wykonuje jeszcze kilka ruchów i ustala się po upływie ok. 2,5[s].
Animacja pracy układu
Animację pracy układu dla 30 sekund z wymuszeniem momentem Mn=20,35[Nm] wykonano w programie inventor i załączono do projektu w formie pliku .avi.