Akademia Górniczo-Hutnicza

im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Przedmiot: Mechanika

Projekt

Temat główny:
Analiza ruchu wibratora inercyjnego

Projekt wykonali:

Dubiel Wiktor

Gatlik Mirosław

Macioł Maciej

Gr K.

1. Schemat układu:

1. Współrzędne wyjściowe:

{x, x₁, y, φ}

1. Zależności geometryczne:

	α = 60 a = l * cos(α) b = l * sin(α) a^2 + b^2 = l^2 (a−x1)^2 + (b+y)^2 = l^2 $$y = \sqrt{l^{2} - \left( a - x_{1} \right)^{2}} - b$$ $$y = \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha)$$

1. Równania więzów:

$$y = \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha)$$

1. Liczba stopni swobody:

Liczba współrzędnych wyjściowych: 4

Liczba równań więzów: 1

Liczba stopni swobody 4-1=3

1. Liczba współrzędnych uogólnionych: 3

Współrzędne uogólnione: {x, x₁, φ}

1. Postać ogólna równania Lagrange’a II rodzaju:

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{L}{\dot{q}} \right) - \frac{L}{q} + \frac{1}{2}\frac{N}{\dot{q}} = Q_{q}$$

1. Energia kinetyczna układu:

$$E_{k} = \frac{1}{2}M\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}V_{k}^{2} + \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} + 2(\frac{1}{2}m\dot{y^{2}})$$

$$V_{k}^{2} = \dot{x^{2}} + \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}}$$

$$E_{k} = \frac{1}{2}M\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}\left( \dot{x^{2}} + \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}} \right) +$$

$$+ \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} + 2\left( \frac{1}{2}m\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - \dot{x_{1}} \right)^{2}} - l*\sin\left( \alpha \right) \right\rbrack^{2} \right) =$$

$$= \frac{1}{2}\left( M + m_{k} \right)\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}\left( \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}} \right) + \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} +$$

$$+ m\sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha)\backslash n$$

Energia potencjalna układu:

$$E_{p} = \frac{1}{2}k_{2}\left( x_{1} - \text{x\ } \right)^{2} + 2*\frac{1}{2}*k_{1}y^{2} - m_{k}g\frac{l}{2}\text{cosφ}$$

$$E_{p} = \frac{1}{2}k_{2}\left( x_{1} - \text{x\ } \right)^{2} - m_{k}g\frac{l}{2}\text{cosφ} +$$

$$+ 2*\frac{1}{2}*k_{1}\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha) \right\rbrack$$

1. Tłumienie układu:

$$N = \frac{1}{2}b{(\dot{x_{1}} - \dot{x})}^{2}$$

1. Potencjał Lagrange’a:

L = E_k − E_p

$$L = \frac{1}{2}\left( M + m_{k} \right)\dot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}\left( \dot{x}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) + \frac{1}{4}l^{2}\dot{\varphi^{2}} \right) + \frac{1}{2}m{\dot{x}}_{1}^{2} +$$

$$+ m\left\lbrack \left( l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - \dot{x_{1}} \right)^{2} \right) - 2*\sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - \dot{x_{1}} \right)^{2}}*(l*\sin{\left( \alpha \right)) + {(l*\sin{\left( \alpha \right))}}^{2}} \right\rbrack -$$

$$- \frac{1}{2}k_{2}\left( x_{1} - \text{x\ } \right)^{2} + m_{k}g\frac{l}{2}\text{cosφ} -$$

$$- 2*\frac{1}{2}*k_{1}\left\lbrack \sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - x_{1} \right)^{2}} - l*sin(\alpha) \right\rbrack$$

1. Równania różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej x:

q = x

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{x}} = \left( M + m_{k} \right)\dot{x} + \frac{1}{2}m_{k}l\dot{\varphi}\cos\left( \varphi \right)$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{x}} \right) = \left( M + m_{k} \right)\ddot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}l\ddot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) - \frac{1}{2}m_{k}l\dot{\varphi^{2}}\sin\left( \varphi \right)$$

$$\frac{\partial L}{\partial x} = k_{2}\left( x_{1} - x \right)$$

$$\frac{1\ \partial N}{2\ \partial\dot{x}} = - b(\dot{x_{1}} - \dot{x})$$

$$\left( M + m_{k} \right)\ddot{x^{2}} + \frac{1}{2}m_{k}l\ddot{\varphi}\cos\left( \varphi \right) - \frac{1}{2}m_{k}l\dot{\varphi^{2}}\sin\left( \varphi \right) - k_{2}\left( x_{1} - x \right) - b\left( \dot{x_{1}} - \dot{x} \right) = 0$$

1. Równania różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej x1:

q = x₁

$$m\left\lbrack \left( l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - \dot{x_{1}} \right)^{2} \right) - 2*\sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - \dot{x_{1}} \right)^{2}}*(l*\sin{\left( \alpha \right)) + {(l*\sin{\left( \alpha \right))}}^{2}} \right\rbrack -$$

$$\frac{\partial L}{\partial\dot{x_{1}}} = m\dot{x_{1}} - 2m\dot{x_{1}} + \frac{2lsin\left( \alpha \right)*\left( \text{lcos}\left( \alpha \right) - \dot{x_{1}} \right)}{\sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - \dot{x_{1}} \right)^{2}}} =$$

$$= - m\dot{x_{1}} + \frac{2lsin\left( \alpha \right)*lcos\left( \alpha \right)}{\sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - \dot{x_{1}} \right)^{2}}} - \frac{2lsin\left( \alpha \right)\dot{x_{1}}}{\sqrt{l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - \dot{x_{1}} \right)^{2}}}$$

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{x_{1}}} \right) = - m{\ddot{x}}_{1}^{} + \frac{2*\text{lsin}\left( \alpha \right)*\text{lcos}\left( \alpha \right)*\left( \text{lcos}\left( \alpha \right) - {\ddot{x}}_{1}^{} \right)}{\left\lbrack l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - \ddot{x_{1}} \right)^{2} \right\rbrack^{3}} -$$

$$- \frac{\left( \text{lcos}\left( \alpha \right) - {\ddot{x}}_{1}^{} \right)*2lsin(\alpha){*\ddot{x}}_{1}^{}}{\left\lbrack l^{2} - \left( l*\cos\left( \alpha \right) - \ddot{x_{1}} \right)^{2} \right\rbrack^{3}}$$

$$\frac{\partial L}{\partial x_{1}} = - k_{2}\left( x_{1} - \text{x\ } \right) -$$

$$\frac{1\ \partial N}{2\ \partial\dot{x_{1}}} = b(\dot{x_{1}} - \dot{x})$$

1. Równania różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej ϕ:

2. Układ równań ruchu:

3. Dane do układu:

M = 200[kg]

m_k = 10[kg]

m = 15[kg]

$$k_{1} = 70000\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

$$k_{2} = 10^{6}\left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack$$

$$b = 40\left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack$$

μ = 0, 003

d_cz = 0, 02[m]

l = 0, 5[m]

$$\alpha = \frac{1}{3}\pi$$

$$M_{o} = m_{k}*\frac{1}{2}*\omega^{2}*\mu*\frac{d_{\text{cz}}}{2}*sign\left( \omega \right)\lbrack Nm\rbrack$$

1. Przebiegi czasowe drgań wymuszonych współrzędnych uogólnionych:

Przebiegi czasowe zostały wykreślone w programie Inventor dla wymuszenia momentem M_n = 20, 35 [Nm] przy którym wahadło zaczyna wirować. Charakterystyki prezentują się następująco:

Dla zmiennej x:

Dla zmiennej v=x’

Dla zmiennej x1

Dla zmiennej v1=x1’

Dla zmiennej ϕ

Dla zmiennej ω=ϕ’

1. Drgania swobodne masy M przy wychyleniu wahadła o 90°

Na poniższym wykresie zaprezentowano drgania swobodne masy M:

Drgania ustalają się po ok. 5 [s] ruchu i oscylują w granicach od -3 do 3 [mm].

1. Czy układ ulegnie uszkodzeniu?

Celem tego zadania jest sprawdzenie czy układ ulegnie uszkodzeniu zakładając, że maksymalna siła występująca w sprężynach nie może przekroczyć 120 [kN] oraz że moment napędowy jest dwa razy większy od momentu potrzebnego do rozpoczęcia wirowania masy m_k, czyli M_n=40,7[Nm].

Poniżej przedstawiono przebieg dla siły występującej w sprężynie pomiędzy masami M i m:

Siła w sprężynie pomiędzy masą m a podłożem:

Jak widać z wykresów maksymalna siła osiągalna dla takiego układu przy zadanym momencie napędowym osiąga wartość 5,159 [kN] i jest osiągana w sprężynie pomiędzy masami M i m.

Według powyższych danych zaobserwowanych przy momencie napędowym równym 40,7 [Nm] układ będzie pracował sprawnie i nie ulegnie uszkodzeniu.

1. Eksperyment

Wykonać eksperyment w którym układ napędzany jest momentem M_n=40,7[Nm] w którym po osiągnięciu krytycznej prędkości obrotowej ω_k=860[deg/s], przy której siła w sprężynie jest największa, następuje wyłączenie momentu napędowego i badany jest czas do ustalenia się układu.

Jak widać na powyższych wykresach po czasie 5,3[s] nastąpiło osiągnięcie krytycznej prędkości obrotowej ω_k=860[deg/s],a moment napędowy został wyłączony.

Po wyłączeniu momentu układ siłą bezwładności wykonuje jeszcze kilka ruchów i ustala się po upływie ok. 2,5[s].

1. Animacja pracy układu

Animację pracy układu dla 30 sekund z wymuszeniem momentem M_n=20,35[Nm] wykonano w programie inventor i załączono do projektu w formie pliku .avi.