Badanie zbieżności i rozbieżności szeregów – Twierdzenia.

Załóżmy że szeregi  i  są zbieżne, a ich sumy to odpowiednio  i . Wtedy:
(1): Szereg  jest zbieżny i . Dla dowolnej stałej .
(2):  jest zbieżny i .


Załóżmy że szeregi  i  sa zbieżne, przy czym szereg  jest zbieżny bezwzględnie, wtedy następujący szereg:
 (gdzie )
jest zbieżny oraz .


Jeśli szereg  jest zbieżny, to jego wyraz ogólny zbiega do zera (tzn. ). Najczęściej stosujemy to TW. w nieco innej wersji, mianowicie: jeśli granica  nie istnieje, bądź nie jest równa zeru, to szereg  jest rozbieżny.


Jeśli szereg  jest zbieżny, to zbieżny jest również szereg 


Dane są szeregi o wyrazach nieujemnych: , .
(1): jeśli  jest zbieżny i dla odpowiednio dużych  zachodzi nierówność: . Wtedy szereg  jest zbieżny.
(2): jeśli  jest rozbieżny i dla odpowiednio dużych  zachodzi nierówność: . Wtedy szereg  jest rozbieżny.


Dane są szeregi  i  o wyrazach dodatnich. Rozważamy granicę: 
(1): Jeśli  to szereg  jest zbieżny dokładnie wtedy gdy zbieżny jest . Tzn. są one albo oba zbieżne, albo oba rozbieżne.
(2): Jeśli  oraz szereg  jest zbieżny, to szereg  jest zbieżny.
(3): Jeśli  oraz szereg  jest zbieżny, to szereg  jest zbieżny.

Uwaga, to twierdzenie możemy też stosować dla szeregów o wyrazach ujemnych, lub nawet gdy od pewnego miejsca wyrazy ciągów i  są stale tego samego znaku.


Niech dany będzie szereg . Załóżmy, że istnieje granica . Wtedy:
(1): Jeśli  to szereg ten jest zbieżny,
(2): Jeśli  to szereg ten jest rozbieżny,
(3): Jeśli  to przypadek jest wątpliwy.


Niech dany będzie szereg . Załóżmy, że istnieje granica . Wtedy:
(1): Jeśli  to szereg ten jest zbieżny,
(2): Jeśli  to szereg ten jest rozbieżny,
(3): Jeśli  to przypadek jest wątpliwy.


Dany jest szereg , taki że ciąg  jest od pewnego miejsca malejący i zbiega do zera. Wtedy szereg  jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny jest .


Niech dane będą ciągi , , takie że ciąg  jest od pewnego miejsca malejący i zbiega do zera, a ciąg sum częściowych jest ograniczony. Wtedy szereg  jest zbieżny.


Niech dany będą ciągi , taki że wyrazy  od pewnego miejsca maleją i ciąg ten zbiega do zera. Wtedy szereg jest zbieżny.
Uwaga: to kryterium jest specjalnym przypadkiem kryterium Dirichleta.


Załóżmy, że szereg  jest zbieżny, a ciąg  monotoniczny i ograniczony. Wtedy szereg  jest zbieżny.


 jest zbieżny dla  i rozbieżny w przeciwnym przypadku.
 jest rozbieżny
 jest zbieżny
 jest zbieżny dla  i rozbieżny dla .


Niech funkcja  będzie określona w pewnym przedziale  (gdzie ) oraz niech f jest od pewnego miejsca malejąca i przyjmuje jedynie wartości dodatnie. Wtedy całka  jest zbieżna wtedy i tylko wtedy gdy zbieżny jest szereg