Magdalena Duras
Ogrodnictwo
Środa godz.11:30 gr. V
Zespół 7
16
Sprawozdanie prawa Hooke’a
oraz wyznaczanie modułu Younga
Znaczenie symboli
2r – średnica druta
rśr- promień druta
S- pole przekroju
l0 – długość początkowa druta
m- masa obciążnika
F- siła rozciągająca
l- wydłużenie
E- współczynnik proporcjonalności, zwany modułem Younga
g- przyspieszenie ziemskie
k- współczynnik kierunkowy prostej
OBLICZENIA
Stałe:
Obliczanie pola przekroju
Do obliczenia pola przekroju S została użyta wartość średniej średnicy druta, korzystające ze wzoru S = πrsr2, gdzie rśr oznacza średnią arytmetyczną z pomiarów promienia druta.
Wartość promienia druta wyniosła= 0,258*10-3.
Pole przekroju S = 3, 14 * (0, 258 * 10−3)2 = 2, 09 * 10−7m2
Obliczania siły
Dla każdej masy obliczono siłę ze wzoru F = mg, gdzie g oznacza przyspieszenie ziemskie.
$$F_{1} = 0,5\ kg*9,81\frac{m}{s^{2}} = 4,9\ N$$
$$F_{2} = 1,5\ kg*9,81\frac{m}{s^{2}} = 14,72\ N$$
$$F_{3} = 2\ kg*9,81\frac{m}{s^{2}} = 19,62\ N$$
$$F_{4} = 2,5\ kg*9,81\frac{m}{s^{2}} = 24,53\ N$$
$$F_{5} = 3\ kg*9,81\frac{m}{s^{2}} = 29,43\ N$$
$$F_{6} = 4\ kg*9,81\frac{m}{s^{2}} = 39,24\ N$$
$$F_{7} = 5\ kg*9,81\frac{m}{s^{2}} = 49,05\ N$$
Współczynnik kierunkowy prostej
Współczynnikiem k w tym przypadku jest stosunek przyrostu siły (F2−F1) do przyrostu długości druta (l2−l1).
$$k = \ \frac{\left( F_{2} - F_{1} \right)}{\left( {l}_{2} - {l}_{1} \right)}$$
Współczynnik został obliczony w arkuszu excel za pomocą formuły nachylenie odnoszącej się do wszystkich siedmiu pomiarów.
$$k = 27\ 502\ \frac{N}{m}$$
Moduł Younga
Moduł Younga obliczono na podstawie wzoru: $E = \frac{l_{0}}{S}k$, gdzie k jest współczynnikiem prostej odczytanym z wykresu zależności F = f(l).
$$k = 27\ 502\ \frac{N}{m}$$
$$E = \ \frac{0,999\ m}{2,09\ \times 10^{- 7}m^{2}}*27\ 502\ \frac{N}{m} = 1,31 \times 10^{11}\frac{N}{m^{2}}$$
Obliczenie współczynnik k metoda regresji liniowej
Równanie prostej kierunkowej można obliczyć stosując metodę regresji liniowej opartą na metodzie najmniejszych kwadratów:
,
, gdzie
Wyznaczone wartości a i b są obarczone odpowiednio błędami:
, ,
$$\sum_{i = 1}^{7}{x_{i} = 8,4*10^{- 3}}$$
$$\sum_{i = 1}^{7}x_{i}^{2} = 1,18386*10^{- 5}$$
$$\sum_{i = 1}^{7}y_{i} = 181,49$$
$$\sum_{i = 1}^{7}y_{i}^{2} = 6038,82$$
$$\sum_{i = 1}^{7}x_{i}*y_{i} = 0,266145$$
= 1, 23102 * 10−5
$$a = \frac{7*0,266145 - 8,4*10^{- 3}*181,49}{1,23102\ *10^{- 5}} = 27501,\ 02\ $$
$$b = \frac{1,18386*10^{- 5}*\ 181,49 - \ 8,4*10^{- 3}*0,266145}{1,23102\ *10^{- 5}} = \ - 7,07$$
RACHUNEK BŁĘDÓW
Błąd maksymalny 2r
Błąd maksymalny 2r został obliczony metoda Studenta- Fishera dla n=10, α= 90%.
Do obliczenia odchylenia standardowego użyłam następującego wzoru:
$$\delta = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{({x_{i} - x_{sr})}^{2}}}{n(n - 1)}}$$
| 2r | Wartość średnia | Odchylenie standardowe średniej | Współczynnik Studenta- Fishera | Błąd maksymalny |
|---|---|---|---|---|
0, 51 * 10−3 |
0, 516 * 10−3 |
0, 012 * 10−3 |
1, 833 |
0, 023 * 10−3 |
0, 51 * 10−3 |
||||
0, 51 * 10−3 |
||||
0, 52 * 10−3 |
||||
0, 50 * 10−3 |
||||
0, 50 * 10−3 |
||||
0, 54 * 10−3 |
||||
0, 53 * 10−3 |
||||
0, 52 * 10−3 |
||||
0, 52 * 10−3 |
2r = δ * 1, 833 = 0, 023 * 10−3
$$\frac{2r}{{2r}_{sr}}*100\% = \ \frac{0,023*\ 10^{- 3}}{0,516*10^{- 3}}*100\% = 4,49\%$$
Błąd dla 2r dla poziomu ufności α= 90% wyniósł 4,49%.
Błąd maksymalny modułu Younga
Błąd maksymalny modułu Younga został obliczony metodą różniczki zupełnej:
$$E = \frac{l_{0}}{S}k$$
$E = \left| \frac{\partial E}{\partial l_{0}} \right|*\ l_{0} + \ \left| \frac{\partial E}{\partial k} \right|*\ k + \ \left| \frac{\partial E}{\partial r_{sr}} \right|*\ r_{sr} = \ \left| \frac{\partial\frac{l_{0}k}{S}}{\partial l_{0}} \right|*\ l_{0} + \ \left| \frac{\partial\frac{l_{0}k}{S}}{\partial k} \right|*\ k + \left| \frac{\partial\frac{l_{0}k}{\pi r_{sr}^{2}}}{\partial r_{sr}} \right|*\ r_{sr} = \ \frac{k}{S}*l_{0} + \ \frac{l_{0}}{S}*\ k + 3\frac{l_{0}k}{\pi r_{sr}^{4}}*\ r_{sr} = \frac{k + l_{0}}{S} + \ 3\frac{l_{0}k}{\pi r_{sr}^{4}} = \ \frac{0,999 + 27\ 502}{2,09*10^{- 7}} + 3\frac{0,999*27\ 502}{3,14*{0,258*10}^{- 3 + 4}} =$ 0,001316 + 0,677188 = 0,67854