Numer ćwiczenia	Data	Imię i Nazwisko	Wydział	Semestr I	Grupa 3 Nr lab.
Prowadzący	Przygotowanie	Wykonanie	Ocena

Temat: Wyznaczanie współczynnika załamania światła dla cieczy za pomocą refraktometru Abbego.

Wstęp.

W czasie biegu strumienia fotonów (promień świetlny) z ośrodka optycznie rzadszego do optycznie gęstszego (np. powietrze szkło), ulega on załamaniu na granicy ośrodków i tworzy w ośrodku gęstszym mniejszy kąt z normalną do powierzchni (kąt załamania) niż w ośrodku rzadszym (odpowiedni kąt na. kątem padania).

Każdemu kątowi padania α odpowiada inny kąt załamania β, to wartościami tych kątów rządzi pewne prawo zwane prawem załamania światła (prawem Snella). Stosunek sinusów obu kątów ma wartość stałą dla danej pary ośrodków oraz dla danej długości fali światła.

,

gdzie n₁ i n₂ nazywamy bezwzględnymi współczynnikami załamania światła ośrodka 1 i ośrodka 2.

Wielkości te można również wyrazić jako stosunek prędkości światła w próżni c do prędkości światła w danym ośrodku v to również określenie bezwzględnego współczynnika załamania światła i określa się go wzorem:

n= $\frac{c}{v}$.

Biorąc pod uwagę, że w próżni prędkość światła jest największa to bezwzględny współczynnik załamania światła jest dla wszystkich ośrodków materialnych większy od jedności.

Załamanie światła na granicy dwóch ośrodków materialnych jest określone przez ich względny współczynnik załamania:

.

Załamanie światła (w warunkach naturalnych) często występuje na granicy powietrza z cieczą lub ciałem stałym, dlatego można przyjąć, że współczynnik załamania powietrza jest bardzo bliski wartości współczynnika dla próżni i wynosi n=1. W tej sytuacji równanie w prawie Snella wyznacza bezwzględny współczynnik załamania cieczy lub gazu.

Stosunek sinusów kątów padania i załamania przyjmuje szczególnie wygodną postać jeśli chodzi o całkowite odbicie wewnętrzne, które zachodzi przy kącie granicznym lub większym.

Fotony, które biegną z ośrodka optycznie gęstszego do rzadszego odchylają się od prostopadłej tym bardziej, im większy jest kąt padania α. W związku z tym, dla pewnego kąta padania (kąta granicznego α_g), możliwe jest uzyskanie kąta załamania równego 90º. Wówczas promień załamany pokrywa się z linią granicy ośrodków, co innymi słowy oznacza, że nie przechodzi on do ośrodka drugiego. Większe wartości kąta α powodują całkowite odbicie wewnętrzne promienia. Mówimy wtedy wyłącznie o promieniu odbitym jako jedynym powstałym w skutek zetknięcia promienia padającego na granicę ośrodków. Zjawisko ilustruje poniższy rysunek:

Dla powyższego schematu wzór Snella przyjmuje następującą postać:

.

Przy znanym współczynniku załamania n₂ ośrodka gęstszego i mierze kąta granicznego α_g, możemy wyznaczyć współczynnik załamania n₁ ośrodka rzadszego. Miarę kąta granicznego dokonujemy przy pomocy refraktometru.

Dla promieni biegnących z ośrodka rzadsze do gęstszego całkowite odbicie nie występuje.

Wyniki pomiarów.

Niepewność odczytu współczynnika załamania: Δn = 0,001.

Błąd przyrządu pomiarowego (klasa dokładności): ΔC= ±1%

	woda		roztwór wodny gliceryny o różnym stężeniu procentowym
stężenie procento-we roztworu [%]	0	10	30
współczynnik załamania n	1,331	1,343	1,368

Przebieg ćwiczenia

1. Włączyć lampę stołową i zwierciadłami oświetlić pole widzenia obu lunetek.

2. Ustawić ostrość widzenia nici pajęczych i skali w lunetkach.

3. Odchylić pryzmat P₁, sprawdzić, czy jego powierzchnia jest sucha i czysta, po czym nałożyć na nią za pomocą pipety kilka kropel badanego roztworu i docisnąć pryzmat.

4. Pokrętłem pryzmatów P₁ i P₂ naprowadzić na środek widzenia lunetki granicę pola jasnego i ciemnego. Skompensować rozszczepienie barwne.

5. W lunetce L₁ odczytać wartość współczynnika załamania cieczy.

6. Powtórzyć pomiar współczynnika załamania dla roztworów o różnych stężeniach. Przed użyciem nowego roztworu przetrzeć powierzchnie pryzmatów miękką szmatką zwilżoną wodą.

7. Wykonać wykres zależności współczynnika załamania od stężenia roztworu.

8. Na wykresie nanieść prostokąty błędów.

Obliczenia.

Regresja liniowa:

y= a x + b

Współczynnik nachylenia (a) i punktu przecięcia prostej z osią y (b). Parametry te wyliczamy ze wzoru:

$a = \frac{\text{n\ \ }\sum_{}^{}{x_{i}y_{i}} - \sum_{}^{}x_{i}\ \sum_{}^{}y_{i}}{\text{n\ }\sum_{}^{}x_{i}^{2} - ({\sum_{}^{}x_{\text{i\ \ }})}^{2}}$,

$b = \ \frac{1}{n}(\sum_{}^{}{y_{i} - a\sum_{}^{}x_{i}})$,

gdzie n jest liczbą całkowitą par (x, y), a wartości wskaźnika i przebiegają zakres [1…n].

Gdy znamy parametry a i b możemy wykreślić właściwą linię prostą, a także znaleźć wartość y dla dowolnego x na podstawie równania y=ax+b.

Przy stosowaniu regresji liniowej musimy zwrócić uwagę na to, czy punkty pomiarowe rozłożone są w sposób przypadkowy względem linii prostej, ponieważ inny rozkład punktów będzie świadczył o tym, że funkcja f(x) nie jest funkcją liniową.

n=6

$\sum_{}^{}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{\ }\mathbf{y}_{\mathbf{i}\mathbf{=}}}$(1,331*0)+(1,343*10)+(1,368*30)+(1,396*50)+(1,42*70)+(1,463*100)=0+13,43+

41,04+69,8+99,4+146,3=369,97

$\sum_{}^{}\mathbf{x}_{\mathbf{i}\mathbf{=}}$1,331+1,343+1,368+1,396+1,42+1,463=8,321

$\sum_{}^{}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{=}$0+10+30+50+70+100=260

$\sum_{}^{}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}} =$1,331²+1,343²+1,368²+1,396²+1,42²+1,463²=1,771561+1,803649+1,871424+

1,948816+2,0164+2,140369=11,55222

$\mathbf{(}\sum_{}^{}\mathbf{x}_{\mathbf{i}\mathbf{\ }}$)²=8,321²=69,23904

a=$\frac{\left( 6*369,97 \right) - (8,321*260)}{\left( 6*11,55222 \right) - 69,23904} = \frac{2219,82 - 2163,46}{69,31332 - 69,23904} = \frac{56,36}{0,07428} = 758,75$

b=$\frac{1}{6}$ * [260-(758,75*8,321)]=$\frac{1}{6}*\left( 260 - 6313,55875 \right) = \frac{1}{6}*\left( - 6053,5575 \right) = - 1008,92625 = - 1008,93$

Wzór funkcji liniowej:

y=758,75x-1008,93)

Obliczenie stężenia x:

y=(758,75 *1,374) -1008,93

y=1042,5225-1008,93

y=33,5925=33,6%

Obliczenie współrzędnych do wykresu:

x=1,35

y=(758,75*1,35)-1008,93

y=1024,3125-1008,93

y=15,4

x=1,4

y=(758,75*1,4)-1008,93

y=1062,25-1008,93

y=53,32

Błędy wyznaczonych wartości a i b obliczamy ze wzorów:

S_a=$\sqrt{\frac{\mathbf{n\lbrack}\sum_{}^{}{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2\ \ \ }}\mathbf{- a}\sum_{}^{}{\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{- b}\sum_{}^{}{\mathbf{y}_{\mathbf{i}}\mathbf{\rbrack}}}}}{\left( \mathbf{n - 2} \right)\mathbf{\lbrack n}\sum_{}^{}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\left( \sum_{}^{}\mathbf{x}_{\mathbf{i}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}}}$

S_b=$\sqrt{\frac{\mathbf{1}\mathbf{\text{\ \ }}}{\mathbf{n}}\mathbf{S}_{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\sum_{}^{}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}$

$\sum_{}^{}\mathbf{y}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}$=0²+10²+30²+50²+70²+100²=100+900+2500+4900+10000=18400

S_a=$\sqrt{\frac{6*\lbrack 18400 - (758,75*369,97) - \left( - 1008,93*260 \right)\rbrack}{\left( 6 - 2 \right)*\lbrack(6*11,55222) - 69,23904\rbrack}} = \sqrt{\frac{6*\lbrack 18400 - 280714,7375 - \left( - 262321,8 \right)\rbrack}{4*\left( 69,31332 - 69,23904 \right)}} = \sqrt{\frac{6*7,0625}{4*0,07428}} = \sqrt{\frac{42,375}{0,29712}} = \sqrt{142,6191438} = 11,94$

S_b=$\sqrt{\frac{1}{6}*\lbrack\left( {11,94)}^{2}*11,55222 \right\rbrack} = \sqrt{\frac{1}{6}*(142,5636*11,55222)} = \sqrt{\frac{1}{6}*1646,926071} = \sqrt{274,4876785} = 16,58$

Wnioski.

Na podstawie wykresu widać, że wartość współczynnika załamania roztworu wzrasta liniowo wraz z jego stężeniem.