EGZAMIN Z MATEMATYKI- semestr III

Zad.1

Rozwiąż równanie: x³+ 2x²-4x -8= 0

Rozwiązanie : Sprawdzamy czy liczba x_o=2 jest pierwiastkiem tego wielomianu ; 2³+2*2²-4*2-8=8+8-8-8=0 tak czyli wielomian trzeciego rzędu możemy podzielić przez dwumian (x-2) bez reszty stąd :

x³+ 2x²-4x -8 : (x-2) = x²-4

-x³-2x²

-4x-8

4x+8

0 0

Czyli możemy zapisac , że x³+ 2x²-4x -8 = (x-2)*(x²-4) i stosując wzór skróconego mnożenia postaci :

a²- b²= (a-b)(a+b) otrzymamy , że pierwiastkami wielomianu x³+ 2x²-4x -8 = (x-2)*(x²-4) =

(x-2) (x-2) (x+2) sa trzy pierwiastki x_1,2= 2 oraz x₃= -2

Zad.2

Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu w(x)= x³+ mx² -16x +32, a m jest liczba rzeczywistą. Oblicz pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

Rozwiązanie analogicznie jak poprzednio . Skoro W(2) = 0 to 0 = 8+4m i stąd m= -2

Dla tego parametru wielomian przyjmie postać : W(x) = x³-2x²-16x+32

Skoro znamy już jeden pierwiastek x₁=2 to ten wielomian W(x) dzieli się bez reszty po podzieleniu przez dwumian (x-2) i stąd :

x³-2x²-16x+32: (x-2) = x²-16

-x³+2x²

-16x+32

16 x-32

R=0

Czyli możemy zapisać ,że : x³-2x²-16x+32= (x-2) (x²-16) = ((x-2)*(x+4)*(x-4)

I jeżeli ta postać wielomianu ma być równa zeru to x₁= 2 ; x₂= 4 ; x₃= -4

Tutaj tez zastosowano wzór skróconego mnożenia jak w zad. 1

Zad.3

Rozwiązaniem równania jest:

1. x=-4, x=4 B. x=-4 C. x=4 D. x=16

Odp. C -gdyż dziedzina funkcji jest D: X εR- {-4} liczba -4 nie może być pierwiastkiem.

zad.4

Liczba 5³⁵: 125⁷ jest równa:

1. 125⁵ B. 5¹⁴ C.( $\frac{1}{25}$)⁵ D. 25¹⁴

Odp. B- przy dzieleniu funkcji potęgowych o tej samej podstawie wykładniki poteg odejmujemy. Liczbę 125 możemy wyrazić jako 5³ czyli wyrażenie w mianowniku będzie postaci 5²¹

Zad.5

Oblicz x^-3, jeżeli x=

Rozwiązanie : jeżeli x= =[ (-3)^3/3+3-1]/ 2= -1/2

(-1/2) ^-3= (-1)/(2^)-3 = -8

Zad.6

Wyrażenie zapisz w postaci jednej potęgi

=[ (2^-3/3)*2⁵]/ (0,5)^-2:2⁵=[ (2⁴)*(2⁵)] / (2^-1)^-2 = 2⁹/ 2²= 2⁷

Zad.7

Dane są liczby x=log₃9, y=log₁₆$\text{\ \ }\frac{1}{4}$_, z=log_1/525, t= log₄2. Najmniejszą spośród tych trzech liczb jest:

1. x B. y C. z D. t

Rozwiązanie :

x=2 ; y= log₁₆4^-1= - log ₁₆4= -1/2 ; z=log_1/55²=2 log _1/55= -2 ; t= log ₄2= 1/2

Odp. C – najmniejszą z tych liczb jest liczba z=-2

zad.8

Liczba log5+ log8 – 2log 2 jest równa:

1. 10 B. 2 C. 1 D. 0

Rozwiązanie :

log5+ log8 – 2log 2= log 40 – log 2²= log 40 –log 4 = log (40/4) = log 10 =1

Odpowiedz C liczba = 1

Zad. 9

Dane są punkty: A(-2, 5) i B(4, -1)

1. Oblicz długość odcinka AB i jego środek S

2. Napisz równanie środkowe okręgu , którego odcinek AB jest średnicą

3. Napisz równanie prostej AB i prostej , która jest symetralną odcinka AB.

Rozwiązanie :

( a) AB= √ (4+2)²+(-1-5)²= √36+36=√72= √9*8= 6√2

środkiem odcinka będzie punkt S , którego współrzędne będą średnią arytmetyczna z wartości współrzędnych A i B ; czyli dla „x”=4-2/2=1 a dla „y”= -1+5/2=2 S (1;2)

(b) skoro punkt S (1; 2) jest środkiem okręgu to równanie środkowe okręgu przyjmie postać:

(x-1)² + (y-2)²= (3V2)²

( c ) Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A i B ma postać :

y- y₁ = (y₂-y₁) / (x₂-x₁) * (x-x₁) stąd :

y-5=[ -6/6](x+2) czyli po przekształceniu :

y = -x-2+5 = -x +3

ponieważ współczynnik kierunkowy prostej AB : m₁=-1 to współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej będzie miał współczynnik m₂= -1/m₁= 1 i prosta ta ma przechodzić przez punkty

S(1; 2) jako symetralna odcinka AB.

Stąd y-2 = 1 ( x-1 ) co po przekształceniu daje wynik :

y= x-1+2= x+1

czyli symetralną jest prosta o równaniu : y=x+1

Interpretacja graficzna jak na rysunku poniżej :