Przykładowe obliczenia:
$$\varepsilon_{\left( p1 \right)} = \frac{W_{(p1)} - W_{(patm)}}{k} = \frac{- 4,112 - ( - 4,044)}{2,15} = - 0,0316\left\lbrack 10^{- 3} \right\rbrack$$
$$\varepsilon_{\left( p2 \right)} = \frac{W_{(p2)} - W_{(patm)}}{k} = \frac{- 4,143 - ( - 4,044)}{2,15} = - 0,0460\left\lbrack 10^{- 3} \right\rbrack$$
Odkształcenia główne:
$$\varepsilon_{1(p1)} = \frac{\varepsilon_{0} + \varepsilon_{90}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left( \varepsilon_{0} - \varepsilon_{45} \right)^{2} + \left( \varepsilon_{45} - \varepsilon_{90} \right)^{2}} = \frac{- 0,0316 + 0,128}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left( - 0,0316 - 0,0860 \right)^{2} + \left( 0,0860 - 0,128 \right)^{2}} = 0,0482 + \frac{1}{\sqrt{2}} \bullet \sqrt{0,0138 + 0,0176} = 0,137\left\lbrack 10^{- 3} \right\rbrack$$
$$\varepsilon_{1(p2)} = \frac{\varepsilon_{0} + \varepsilon_{90}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left( \varepsilon_{0} - \varepsilon_{45} \right)^{2} + \left( \varepsilon_{45} - \varepsilon_{90} \right)^{2}} = \frac{- 0,0460 + 0,270}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left( - 0,0460 - 0,188 \right)^{2} + \left( 0,188 - 0,270 \right)^{2}} = 0,112 + \frac{1}{\sqrt{2}} \bullet \sqrt{0,0548 + 0,00672} = 0,287\left\lbrack 10^{- 3} \right\rbrack$$
$$\varepsilon_{2(p1)} = \frac{\varepsilon_{0} + \varepsilon_{90}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left( \varepsilon_{0} - \varepsilon_{45} \right)^{2} + \left( \varepsilon_{45} - \varepsilon_{90} \right)^{2}} = \frac{- 0,0316 + 0,128}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left( - 0,0316 - 0,0860 \right)^{2} + \left( 0,0860 - 0,128 \right)^{2}} = 0,0482 - \frac{1}{\sqrt{2}} \bullet \sqrt{0,0138 + 0,0176} = - 0,0400\left\lbrack 10^{- 3} \right\rbrack$$
$$\varepsilon_{2(p2)} = \frac{\varepsilon_{0} + \varepsilon_{90}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left( \varepsilon_{0} - \varepsilon_{45} \right)^{2} + \left( \varepsilon_{45} - \varepsilon_{90} \right)^{2}} = \frac{- 0,0460 + 0,270}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left( - 0,0460 - 0,188 \right)^{2} + \left( 0,188 - 0,270 \right)^{2}} = 0,112 - \frac{1}{\sqrt{2}} \bullet \sqrt{0,0548 + 0,00672} = - 0,0636\left\lbrack 10^{- 3} \right\rbrack$$
Kąt transformacji
$${tg2\varphi}_{\left( p1 \right)} = \frac{{2\varepsilon}_{45} - \varepsilon_{0} - \varepsilon_{90}}{\varepsilon_{0} - \varepsilon_{90}} = \frac{2 \bullet 0,0488 - 0,0632 - 0,0274}{0,0632 - 0,0274} = 0,195\left\lbrack 10^{- 3} \right\rbrack$$
2φ(p1) = arctg(0,195[10−3]) = 0, 011
φ(p1) = 0, 0055[]
Naprężenia główne
$$\sigma_{1(p1)} = \frac{E}{1 - v^{2}}\left( \varepsilon_{1} + v\varepsilon_{2} \right) = \frac{200000\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack}{1 - {0,3}^{2}}\left( 0,137 \bullet 10^{- 3} + 0,3 \bullet \left( - 0,0400 \bullet 10^{- 3} \right) \right) = 219780\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \bullet 0,000149 = 27,4\lbrack MPa\rbrack$$
$$\sigma_{2(p1)} = \frac{E}{1 - v^{2}}\left( \varepsilon_{2} + v\varepsilon_{1} \right) = \frac{200000\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack}{1 - {0,3}^{2}}\left( - 0,0400 \bullet 10^{- 3} + 0,3 \bullet \left( 0,137 \bullet 10^{- 3} \right) \right) = 219780\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \bullet 0,000149 = 0,22\lbrack MPa\rbrack$$
Naprężenie zredukowane
$$\sigma_{red(p1)} = \sqrt{\sigma_{1}^{2} - \sigma_{1}\sigma_{2} + \sigma_{2}^{2}} = \sqrt{\left( 27,4\lbrack MPa\rbrack \right)^{2} - 27,4\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \bullet 0,22\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack + \left( 0,22\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \right)^{2}} = \sqrt{744,8\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack^{2}} = 27,3\lbrack MPa\rbrack$$
Współczynnik bezpieczeństwa
$$n = \frac{R_{0,2}}{\sigma_{\text{red}}} = \frac{250\lbrack MPa\rbrack}{42,4\lbrack MPa\rbrack} = 5,89$$
Rozwiązanie analityczne:
-Dla części cylindrycznej
Naprężenie obwodowe $\sigma_{1\left( p1 \right)} = \frac{p1 \bullet d}{2g} = \frac{0,75\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \bullet 114\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack}{2 \bullet 3\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack} = 14,25\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack$
$$\sigma_{1\left( p2 \right)} = \frac{p2 \bullet d}{2g} = \frac{1,5\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \bullet 114\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack}{2 \bullet 3\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack} = 28,5\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack$$
Naprężenie wzdłużne $\sigma_{2(p1)} = \frac{\sigma_{1(p1)}}{2} = \frac{14,25\lbrack MPa\rbrack}{2} = 7,125\lbrack MPa\rbrack$
$$\sigma_{2(p2)} = \frac{\sigma_{1(p2)}}{2} = \frac{28,5\lbrack MPa\rbrack}{2} = 14,25\lbrack MPa\rbrack$$
-Dla płyty kołowej utwierdzonej w obwodzie:
$$\sigma_{r(p1)} = p1\frac{1 + v}{16} \bullet \left( \frac{d}{2} \right)^{2} \bullet \frac{6}{g_{1}^{2}} = 0,75\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack\frac{1 + 0,3}{16} \bullet \left( \frac{114\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack}{2} \right)^{2} \bullet \frac{6}{\left( 5\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack \right)^{2}} = 0,0609\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \bullet 3249\left\lbrack \text{mm}^{2} \right\rbrack \bullet 0,24\frac{1}{\left\lbrack \text{mm}^{2} \right\rbrack} = 47,5\lbrack MPa\rbrack$$
$$\sigma_{r(p2)} = p2\frac{1 + v}{16} \bullet \left( \frac{d}{2} \right)^{2} \bullet \frac{6}{g_{1}^{2}} = 1,5\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack\frac{1 + 0,3}{16} \bullet \left( \frac{114\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack}{2} \right)^{2} \bullet \frac{6}{\left( 5\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack \right)^{2}} = 0,122\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \bullet 3249\left\lbrack \text{mm}^{2} \right\rbrack \bullet 0,24\frac{1}{\left\lbrack \text{mm}^{2} \right\rbrack} = 95,0\lbrack MPa\rbrack$$
-Dla płyty kołowej podpartej swobodnie w obwodzie:
$$\backslash n{\sigma_{r(p1)} = p1\frac{3 + v}{16} \bullet \left( \frac{d}{2} \right)^{2} \bullet \frac{6}{g_{1}^{2}} = 0,75\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack\frac{3 + 0,3}{16} \bullet \left( \frac{114\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack}{2} \right)^{2} \bullet \frac{6}{\left( 5\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack \right)^{2}} = 0,155\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \bullet 3249\left\lbrack \text{mm}^{2} \right\rbrack \bullet 0,24\frac{1}{\left\lbrack \text{mm}^{2} \right\rbrack} = 120,6\lbrack MPa\rbrack}$$
$$\sigma_{r(p2)} = p2\frac{3 + v}{16} \bullet \left( \frac{d}{2} \right)^{2} \bullet \frac{6}{g_{1}^{2}} = 1,5\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack\frac{3 + 0,3}{16} \bullet \left( \frac{114\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack}{2} \right)^{2} \bullet \frac{6}{\left( 5\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack \right)^{2}} = 0,309\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack \bullet 3249\left\lbrack \text{mm}^{2} \right\rbrack \bullet 0,24\frac{1}{\left\lbrack \text{mm}^{2} \right\rbrack} = 241,2\lbrack MPa\rbrack$$
Wnioski:
Dla punktów pomiarowych 3 i 4,przy ciśnieniu równym p2=1,5[MPa], naprężenia zredukowane wyniosły kolejno : σred3 = 90, 1[MPa] i σred4 = 80, 6[MPa]. Wartości te określone numerycznie to odpowiednio 103,0 i 114,0 [MPa]. Błąd pomiarowy wyniósł 13% dla punktu 3, dla 4 natomiast 30%.
Wyznaczone naprężenia obwodowe i wzdłużne w punkcie 2, dla ciśnienia p1, wynoszą σ1(p1) = 15, 8[MPa], σ2(p1) = 10, 2[MPa], a wartości ta obliczone analitycznie odpowiednio 14,25[MPa] oraz 7,125[MPa]. Błąd w tych przypadkach wynosi ok. 11 oraz 44%.
Dla ciśnienia p2: σ1(p2) = 32, 1[MPa], σ2(p1) = 21, 1[MPa], a wartości ta obliczone analitycznie odpowiednio 28,5[MPa] oraz 14,25[MPa]. Błędy wynoszą kolejno: 13 i 48%.
Można zauważyć, że wartości naprężeń zredukowanych w punkcie 2 są w przybliżeniu równe wartościom naprężeń obwodowych w tym punkcie. Wartość ta, dla ciśnienia p2=1,5[MPa] wyniosła 28,2[MPa], a z obliczeń numerycznych wynika, że wynosi ona 23,5[MPa]. Błąd wynosi ok. 20%.
Rozwiązania analityczne dla płyty zamykającej zbiornik (punktu 1) są następujące:
-dla płyty utwierdzonej na obwodzie: σr(p1) = 47, 5[MPa]
σr(p2) = 95, 0[MPa]
σr(p1) = 120, 6[MPa]∖n
σr(p2) = 241, 2[MPa]