FUNKCJA

Funkcję liniową określa wzór

f(x)=ax+b

lub

y=ax+b

gdzie:

a – to współczynnik kierunkowy prostej (dzięki niemu wiemy czy funkcja jest rosnąca- dodatnia wartość, lub funkcja jest malejąca- ujemna wartość)
b - to wyraz wolny

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta.

Funkcja liniowa jest rosnąca jeżeli a>0.
Funkcja liniowa jest malejąca jeżeli a<0.
Funkcja liniowa jest stała jeżeli a=0.

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Funkcja liniowa ma niewiadomą-x podniesioną do pierwszego stopnia potęgi np. y=3x+2; y=x-6. Przykładowo:Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty, które do niego należą.
Przykład 1. Narysuj wykres funkcji y = 2x - 1.
Rozwiązanie:

Podstawiamy dwie dowolne liczby pod x:

• gdy x = 1 to y = 2⋅1 - 1 = 1
  Zatem do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (1, 1).

• gdy x = 0 to y = 2⋅0 - 1 = -1
  Zatem do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (0, -1). Teraz zaznaczamy w układzie współrzędnych wyznaczone punkty, a następnie rysujemy przez nie prostą.
  

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy przyrównując wzór funkcji do zera.
Przykład 1. Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x) = 5x - 15.
Rozwiązanie:

Przyrównujemy wzór funkcji do zera:

5x - 15 = 0
5x = 15
x = 3

Zatem miejscem zerowym podanej funkcji jest x = 3.

Miejsce zerowe funkcji liniowej można również szybko obliczyć ze wzoru:

przypominam, że jest to wzór ogólny, który można bezpośrednio powiązać z wzorem ogólnym na funkcję liniową: y=ax+b

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Gdy dane są punkty A = (x_A, y_A) i B = (x_B, y_B), to równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty wyraża się wzorem:Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty można wyznaczyć również inaczej (w związku z tym nie trzeba zapamiętywać powyższego wzoru).
Algorytm na wyznaczenia równania prostej jest następujący:

• Zapisujemy równanie szukanej prostej w postaci kierunkowej, czyli:W kolejnych krokach będziemy wyznaczyć współczynniki a i b.

• Podstawiamy współrzędne pierwszego punktu do równania prostej:

• Podstawiamy współrzędne drugiego punktu do równania prostej:

• Rozwiązujemy układ równańotrzymując szukane parametry a i b.

Proste równoległe i prostopadłe

Dwie proste są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe.
Zatem proste k i l dane wzoramisą równoległe jeżeli:Proste są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność:

Proste równoległe/prostopadłe przechodzące przez dany punkt

Często w zadaniach trzeba określić wzór funkcji liniowej na podstawie podanych informacji.
Kilkadziesiąt zadań tego typu zostało już rozwiązanych w rozdziale Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty oraz w rozdziale Proste równoległe i prostopadłe
Poniżej znajdują się zadania, w których trzeba wyznaczyć równania prostych równoległych/prostopadłych i przechodzących jednocześnie przez zadany punkt.