MACIERZ

Niech D={(i,k):i=1,2..m ᴧ k=-1,2..n}. Każdą funkcję f odwzorowującą zbiór D w zbiór liczb rzeczywistych(lub zespolonych) nazywamy macierzą prostokątną o wymiarach mxn,przy czym liczby f(i,k)=a_ik gdzie i=1,2..m, k=1,2..n nazywamy elementami tej macierzy.Macierze oznaczamy dużymi pojedynczymi literami i zapisywać A=[a_ik]_mxn

WYZNACZNIK MACIERZY

Wyzn. det A macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę przyporządkowaną macierzy A w nast. Sposób:1) jeżeli n=1 to det A=|a₁₁|=a₁₁ 2) Jeżeli n>1 to

detA=$\begin{matrix} a11 & a12..a1k.. & a1n \\ ak1 & ak2..akk.. & \text{akn} \\ an1 & an2..ank.. & \text{ann} \\ \end{matrix}$ =$\sum_{k = 1}^{n}{( - 1)}$^1+ka_1k*W_1k,, gdzie W_1k,dla k=1,2..n oznacza wyznacznik macierzy powstały z macierzy A przez pominięcie pierwszego wiersza i k-tej kolumny.

MACIERZ ODWROTNA

Macierzą odwr. do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz A^-1 (o ile istnieje) dla której zachodzą równości: A*A^-1=A^-1*A=I, gdzie I oznacza macierz jednostkową.

RZĄD MACIERZY

Rozważmy macierz:A=[a_ij]_mxn.Rzędem macierzy A nazywamy najwyższy ze stopni tych minorów macierzy A które są różne od zera.Dodatkowo przyjmujemy że rząd macierzy zerowej jest równy zeru.Rząd macierzy A będziemy oznaczać R(A).

TWIERDZENIE CRAMERA

Układ Cramera posiada dokładnie jedno rozwązanie i jest ono określone wzorami:x₁=$\frac{W_{1}}{W}$, x₂=$\frac{W_{2}}{W}$,… x_n=$\frac{W_{n}}{W}$ gdzie W_k dla k=1,2..n oznacza wyznacznik otrzymany z wyznacznika W=det A przez zastąpienie k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Wzory te to wzory Cramera.

TW.CRONECK_CAPELLIEGO:

Układ równań liniowych ma rozw. Wtedy i tylko wtedy gdy R(A)=R(C)=r i przy tym:1) jeżeli r=n to układ ma jedno rozwiązanie 2)jeżeli r<n to układ ma nieskonczenie wiele rozwiązań zależnych od n-r parametrów

ILOCZYN SKALARNY

Iloczynem skal. Dwóch niezerowych wektorów $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ nazywamy liczbę $\overrightarrow{a}o\overrightarrow{b}$ okresloną wzorem $\overrightarrow{a}o\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a|}$*|$\overrightarrow{b}|$*cos<($\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$

Tw.podstawowe o iloczynie skalarnym.

Jeżeli $\overrightarrow{a}$=[a_x,a_y,a_z], $\overrightarrow{b} = \lbrack$b_x,b_y,b_z], to $\overrightarrow{a}o\overrightarrow{b}$=a_x*b_x+a_y*b_y+a_z*b_z

ILOCZYN WEKTOROWY WEKTORÓW

Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary niezerowych i nierównoległych wektorów $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ nazywamy taki wektor $\overrightarrow{w}$=$\overrightarrow{a}x\overrightarrow{b}$ , że 1) |$\overrightarrow{w}|$=|$\overrightarrow{a|}$*|$\overrightarrow{b}|$*sin<($\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b})$ (dł. w) , 2)$\ \overrightarrow{w}$﬩$\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{w}$﬩$\overrightarrow{b}$ (kierunek w) 3) zwrot wektora w jest taki, że uporządk.trójka wektorów(a,b,w) ma tę samą orientację co uporządk.trójka wersorów (i,j,k).

Tw.podstawowe o iloczynie wektorowym

Jeżeli $\overrightarrow{a}$=[a_x,a_y,a_z], $\overrightarrow{b} = \lbrack$b_x,b_y,b_z], to $\overrightarrow{a}x\overrightarrow{b}$=$\begin{matrix} i & j & k \\ \text{ax} & \text{ay} & \text{az} \\ \text{bx} & \text{by} & \text{bz} \\ \end{matrix}$=$\begin{matrix} \text{ay} & \text{az} \\ \text{by} & \text{bz} \\ \end{matrix}$ - $\begin{matrix} \text{ax} & \text{az} \\ \text{bx} & \text{bz} \\ \end{matrix}$,$\begin{matrix} \text{ax} & \text{ay} \\ \text{bx} & \text{by} \\ \end{matrix}$

RÓWNANIA PROSTEJ:
Niech będzie dany niezerowy wektor r=[a,b,c], (a²+b²+c²>0), równoległy do prostej l i punkt P₀(x₀,y₀,z₀) należący do tej prostej.Wówczas punkt P(x,y,z) należy do prostej l wtedy i tylko wtedy gdy współrzędne pktu P spełniają układ równań:

x=x₀+a*t
y=y₀+b*t , teR są to równ PARAMETR.
z=z₀+c*t

gdzie t-parametr,a,c,b-wpółczynniki kierunkowe prostej. Jeżeli a*b*c ≠0 to równania można zapisać w postaci
l: $\frac{x - x_{0}}{a}$=$\frac{y - y_{0}}{b}$=$\frac{z - z}{c}$ równ KIERUNKOWE

CIĄG FUNKCYJNY
Ciągiem funkcyjnym nazywamy ciąg, którego wyrazami są funkcje określone na pewnym wspólnym zbiorze. Jeżeli f_n oznacza funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n to ciąg funkcyjny oznaczamy symbolem (f_n)

SZEREG POTĘGOWY
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 nazywamy szereg funkcyjny postaci $\sum_{n = 1}^{\infty}\text{an}$(x-x₀)ⁿ natomiast liczby a₁,a₂,a₃..nazywamy wpółcz. liczbowymi tego szeregu.

TWIERDZENIE ABELA
Jeżeli szereg potęgowy$\sum_{n = 1}^{\infty}a$_nxⁿ jest zbieżny w pkcie x₀≠0, to jest:1)bezwzględnie zbieżny dla xe(-|x₀|,|x₀|) , 2) jednostajnie zbieżny na każdym przedziale <-p,p>, gdzie p jest dowolną liczbą spełniającą warunek 0<p<|x₀|

TWIERDZ.CAUCHYEGO-HAMB..
Jeżeli dla szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty}a$_nx istnieje granica $\operatorname{}\sqrt[n]{|an|}$=g to promień zbieżności tego szeregu jest równy:
1/g gdy 0<g<∞
r= niesk. gdy g=0
0 gdy g=niesk.

TW.D ALAMBERTA
Jeżeli dla szeregu $\sum_{n = 1}^{\infty}a$_nx istnieje granica $\operatorname{}\frac{|an + 1|}{|an|}$=g, to promień zbieżn.szeregu =

1/g gdy 0<g<∞
r= niesk. gdy g=0
0 gdy g=niesk

POCH.CZĄST I RZĘDU. Wzgl x
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu (x₀,y₀).Pochodną cząstkową I rzędu względem x w pkcie (x₀,y₀) określamy wz:
$\frac{\partial f}{\partial x}$(x₀,y₀)=limΔx->0 $\frac{f\left( x0 + x,yo \right) - f(xo,yo)}{x}$.

POCH CZĄST I RZĘDU WZGL. Y
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu (x₀,y₀).Pochodną cząstkową I rzędu względem y w pkcie (x₀,y₀) określamy wz:
$\frac{\partial f}{\partial y}$(x₀,y₀)=limΔx->0 $\frac{f\left( x0,yo + y \right) - f(xo,yo)}{y}$

TW.SCHWARZA
Jeżeli pochodne cząstkowe $\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}$,$\ \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}$ są ciągłe w
pkcie (x₀,y₀) to są równe tj:
$\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}$(x₀,y₀)=$\ \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}$(x₀,y₀)

RÓŻNICZKA FUNKCJI
Niech funkcja f ma pochodne cząstk.I rzędu w pkcie (x₀,y₀).Różniczką funkcji f w pkcie (x₀,y₀) nazywamy funkcję df(x₀,y₀) zmiennych Δx,Δy określoną wzorem
df(x₀,y₀)( Δx,Δy)=$\frac{\partial f}{\partial x}\left( x0,y0 \right)\Delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\left( x0,y0 \right)\text{Δy}$

MAKSIMUM LOKALNE
Niech f:DR, gdzie DcR²
Funkcja f ma maks.lokalne w pkcie P₀eD,jeśli
˅ _U(Po)cD ˄_PeU(Po) f(P)<=f(P₀)

MINIMUM LOKALNE
Niech f:DR, gdzie DcR²
Funkcja f ma min.lokalne w pkcie P₀eD,jeśli
˅ _U(Po)cD ˄_PeU(Po) f(P)>=f(P₀)

WARUNEK KONIECZNY ISNIENIA EKST.
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1)ma ekstra lok w pkcie (x₀,y₀)
2)istnieją poch cząst $\frac{\partial f}{\partial x}\left( x0,y0 \right)$,$\ \frac{\partial f}{\partial y}\left( x0,y0 \right)$
to $\frac{\partial f}{\partial x}\left( x0,y0 \right) = 0$ i $\frac{\partial f}{\partial y}\left( x0,y0 \right) = 0$

WARUNEK WYSTARCZAJĄCY EKSTR.
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1) ma ciągłe poch.cząstk.II rzędu w otoczeniu pktu (x0,y0)
2) $\frac{\partial f}{\partial x}\left( x0,y0 \right) = 0$ i $\frac{\partial f}{\partial y}\left( x0,y0 \right) = 0$
$\frac{\partial^{2}f}{\partial x\hat{}2}$(x₀,y₀) $\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}$(x₀,y₀)
3)W(x₀,y₀)=det >0
$\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}$(x₀,y₀) $\frac{\partial^{2}f}{\partial y\hat{}2}$(x₀,y₀)

To fukcja f ma w punkcie (x₀,y₀) ekstra.lokalne właściwe i jest to minimum gdy $\frac{\partial^{2}f}{\partial x\hat{}2}$(x₀,y₀)>0 albo maksimum gdy $\frac{\partial^{2}f}{\partial x\hat{}2}$(x₀,y₀)<0.

RÓWNANIE RÓŻN, I rzędu
Równ.różn.zwyczajnym I rzędu nazywamy równ.postaci F(x,y,y’)=0 gdzie F jest fukcja ciągłą trzech zmiennych na pewnym obszarze zawartym w R³, y oznacza niewiadomą funkcję zmiennej x określoną na pewnym przedziale , natomiast y’ pochodna tej niewiadomej przy czym y’występuje w sposób wyraźny.

ROZW.OGÓLNE RÓWN. RÓŻN. I RZĘDU
Rozw. Ogólnym(całką ogólną) równiania y’=f(x,y) nazywamy jednoparametrową rodzinę funkcji y=y(x,C) takich,że dla każdej dopuszczalnej wart.C każda z funkcji tej rodziny jest rozwiązaniem równania y’=f(x,y) na pewnym przedziale.

ROZW. SZCZEGÓLNE RÓWN,RÓŻN.I RZĘDU
Rozw.szczeg.(całką szczególną) równiania różniczk. y’=f(x,y) na pewnym przedziale zmiennej niezależnej x nazywamy kazdą funkcję y=y(x) różniczkowalną na przedziale I, o wykresie zawartym w obszarze D (tzn.(x,y)x))Ed dla xeI) i taką że $\hat{}$xeI y’(x)=f(x,y(x))

TW.PEANO
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze DcR², to przez każdy punkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa całkowa równania y’=f(x,y)

TW CAUCHYEGO O JEDNOZNACZNOSCI
Jeżeli funkcja f jest ciągła i ma ciągłą pochodną f’_y na obszarze DcR²,to przez każdy punkt tego obszaru przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania y’=f(x,y)

RÓWNANIE RÓŻN ZWYCZ II RZĘDU
Równ.różn.zwycz.II rzędu nazywamy równanie postaci: F(x,y,y’,y’’)=0, gdzie F jest funkcją ciągłą czterech zmiennych na pewnym obszarze Δ zawartym w R⁴, y oznacza niewiadomą funkcję zmiennej x określ.na pewnym przedziale,przy czym y’’ wsytępuje w sposób wyraźny.

ROZW.OGÓLNE ROWN ROZN. II RZĘDU
Rozw.ogólnym (całka ogólną) równania y’’=f(x,y,y’) nazywamy dwuparametrową rodzinę funkcji y=y(x,C₁,C₂) takich, że dla każdego układu stałych C₁⁰,C₂⁰ z pewnego obszaru zawartego w R² funkcja y=y(x, C₁⁰,C₂⁰) jest rozw. Równania y’’=f(x,y,y’) na pewnym przedziale.

ZAGADNIENIE POCZĄTKOWE CAUCHYEGO
Zagadnienie polegające na wyznaczeniu rozwiązania y=y(x) równania y’’=f(x,y,y’) spełniającego tzw. Warunki początkowe
y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y₀ z falą , gdie (x₀,y₀,y₀ z falką) eD nazywamy zagadnieniem początkowym(Cauchyego

ZAGADNIENIE BRZEGOWE
zagadnienie polegające na wyznaczeniu takiego rozwiązania y=y(x) równania y’’=f(x,y,y’), które w zadanych pktach x₁,x₂, przyjmuje zadane wartości y₁,y₂ tzn. y(x₁)=y₁ i y(x₂)=y₂ nazywamy zagadnieniem brzegowym.