Dywergencja: F(x,y,z) w DcR^3 nazywamy liczbę divF(Ao)=Px(Ao)+Qy(Ao)+Rz(Ao);

divF(A)=0 pole bezźródłowe

Rotacja: rotF(Ao)=[Ry-Qz, Pz-Rx, Qx-Py

rotF(A)=0 pole bezwirowe

Niezależność całki od drogi

Jeśli F jest potencjalne w DcR^3 i F=grad f, wówczas: S F o dr = f(B) - f(A), gdzie AB jest dowolnym zorientowanym kawałkiem łuku w D.

T - wektor styczny

B - wektor binormalny

N - wektor normalny

n(to) = N(to) / | N(to) | - wersor normalny

OS = r(t) + R(t)*n(t) - środek krzywizny

Okrąg ściśle styczny:

- równanie płaszcz. ściś. stycz.

(x-x(o))^2 + (y-y(o))^2 + z(z-z(0))^2 = R^2.

Prosta styczna(T), binormalna(B), normalna(N):

- x=x(to)+sT1, y=y(to)+sT2, z=z(to)+sT3,

Płaszczyzna ściśle styczna:

r=r(to) + s1T(to) + s2T(to) + s3T(to)

B1(x-x(to)) + B2(y-y(yo)) + B3(z-z(to))=0

Płaszczyzna normalna:

r=r(to) + s1B(to) + s2B(to) + s3B(to)

T1(x-x(to)) + T2(y-y(yo)) + T3(z-z(to))=0

Płaszczyzna prostująca:

r=r(to) + s1T(to) + s2T(to) + s3B(to)

N1(x-x(to)) + N2(y-y(yo)) + N3(z-z(to))=0

Punkty wyprostowania:

Punkty krzywej L:r=r(t) dla, których 'kappa'(t)=0 nazywamy pkt. wyprostowania krzywej. R(t)= 1 / 'kappa'(t) promień krzywizny

Punkty spłaszczenia:

Punkty krzywej L:r=r(t) dla, których 6(t)=0 nazywamy pkt. spłaszczenia krzywej. 6(t)=0 zawsze krzywa płaska

Kryterium pierwiastkowe - Cauchy’ego

Niech dany będzie szereg o wyrazach dowolnych $\sum_{n = 1}^{}{an}$_. Jeżeli lim $\sqrt[n]{|\text{an}|}$ = g <1, to sz. bezwzględnie zbieżny. Jeżeli lim $\sqrt[n]{|\text{an}|}$ = g >1, to sz. rozbieżny.

Cauchy’ego - Hadamarda o promieniu zbieznosci

Jeżeli dla szeregu potęgowego $\sum_{n = 0}^{}{a_{n}x^{n}}$ istnieje granica (skończona lub nieskończona): lim $\sqrt[n]{|\text{an}|}$ = Λ lub lim |$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$| = Λ to promień zbieżności tego szeregu wynosi:

R={1/ Λ dla 0<Λ<∞; 0 dla Λ=∞; ∞ dla Λ=0}

Podst. włas. dystrybuanty zm. los. dowolnego typu

Funkcja F:R → [0, 1] jest dystrybuanta pewnej zm. los. wtedy i tylko wtedy, gdy: - F jest f niemalejącą ($\bigvee_{x1,\ x2 \in R}^{}{x1 < x2\ \rightarrow \ F(x1) \leq \ F(x2)}$); - F jest f ciągła/lewostronnie ciągłą ($\bigvee_{x0 \in R}^{}{\operatorname{}{F(x) = F(x0)}}$; -F(x)  =  F(∞)=1; -F(x)  =  F(−∞) = 0.

Twierdzenie Greena

Załóżmy że: - obszar domknięty D ∈ R² jest normalny wzg obu osi układu; -brzeg L obszaru D jest łukiem zorientowanym dodatnio; -pole wekt F=[P,Q] jest różczniczkowalne w sposób ciągły na D. Wówczas: $\int_{L}^{}{\text{Pdx}\ + \ \text{Qdy}\ = \ \int_{D}^{}{\int_{}^{}{(\frac{\partial Q}{\partial x}}}} - \frac{\partial P}{\partial y})\ \text{dxdy}$.

O różniczkowaniu szeregu potęgowego

Jeżeli sz potęgowy $\sum_{n = 0}^{}{a_{n}x^{n}}$ ma niezerowy promień zbieżności R, to jego suma S(x) jest f różniczkowalną oraz: S^′(x) = ∑(a_nxⁿ)' = ∑n a_nx^n-1.

Własności wartości oczekiwanej (EX)

1. Jeżeli P(X=c)=1 to EX=c; 2. Jeżeli istnieje EX to dla dowolnych a,b∈R to E(aX+b) = aEX +b; 3. Jeżeli zm. los. X i Y sa niezależne i istnieją EX i EY , to istnieje E(X · Y ) oraz E(X · Y )= EX * EY.

Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Niech dany bd sz ∑a_n. o wyrazach dowolnych oraz szereg wart bezwg $\sum_{n = 1}^{}{|an|}$. - Jeżeli sz wart bezwg jest zb to i sz an jest zb. Szereg an nazywamy wowczas szeregiem bezwg zbieznym. - Sz który jest zb, ale nie jest bezwg zb nazywamy sz. zbieznym warunkowo.

Określenie punktu wyprostowania krzywej

Punkty krzywej L: r=r(t), dla których (t)=0 nazywamy punktami wyprostowania krzywej L.

Łuk gładki

Łukiem gładkim w przestrzeni R³ nazywamy zbiór L={(x,y,z) ∈ R³: x=x(t), y=y(t), z=z(t); α ≤ t ≤ β}, gdzie: -różnym wartościom parametru t∈(α, β) odpowiadają rózne pkt łuku L; -funkcje x=x(t), y=y(t), z=z(t) są klasy C¹([α,  β)]; -dla każdego t∈(α, β) (x'(t))²+(y'(t))²+(z'(t))² >0.

Kryterium Leibnitza

Jeżeli w szeregu naprzemiennym ciąg {an} jest ciągiem malejącym,

zbieżnym do 0 , to szereg ten ($\sum_{n = 1}^{}{{( - 1)}^{n}a_{n}}$) jest zbieżny.

Potencjał pola wektorowego

Pole wekt F określone w obszarze D ∈ R³ nazywamy polem potencjalnym, jeżeli istnieje pole skalarne f określone w D, takie że: F=grad f. Pole skalarne f nazywamy wówczas potencjałem pola F.

Wariancja zmiennej losowej X dowolnego typu

Wariancją zm. los. X dowolnego typu nazywamy wartość oczekiwana kwadratu odchylenia X − EX od wartości oczekiwanej EX tj.

E(X-EX)² = E(X-m)² = D²X, gdzie m=EX.

Zbieżność szeregu liczbowego

Szereg $\sum_{n = 1}^{}{an}$ nazywamy zbieżnym, jeżeli zbieżny jest ciąg sum częściowych Sn. Granicę ciągu sum częściowych S = lim Sn nazywamy sumą szeregu i piszemy: S= a1+a2+a3+...+an= $\sum_{n = 1}^{}{an}$

Kryterium całkowe

Niech n₀ ∈ N. Jeżeli funkcja, określona w przedziale [n₀,  ∞), jest nieujemna, ciągła i rosnąca to: całka ∫_n0^∞f(x) dx oraz szereg $\sum_{n = n0}^{}{\ f(n)\ }$są jednocześnie zb/rozb.