1

Inżynieria Środowiska

Studia dzienne - Semestr II - 2012/13

Zagadnienia do egzaminu z teorii

Całki górna i dolna, całka oznaczona. Warunek konieczny całkowalności,

warunki wystarczające całkowalności. Miara przedziału na prostej rzeczywi-
stej. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. Twierdzenia: o liniowości
całki oznaczonej, o całce z funkcji nieujemnej, o zachowaniu nierówności dla
całki oznaczonej i o całkowaniu modułu. Podstawowe twierdzenie rachunku
różniczkowego i całkowego, twierdzenie o funkcji pierwotnej funkcji ciągłej,
wzór Newtona-Leibniza. Wzory na całkowanie przez podstawienie i przez
części dla całki oznaczonej. Pole figury płaskiej, długość łuku krzywej pła-
skiej, objętość bryły obrotowej i pole powierzchni obrotowej.

Szereg potęgowy (definicja, promień zbieżności, twierdzenie Cauchy’ego-

Hadamarda, przedział zbieżności, twierdzenie o zbieżności). Szeregi Taylora
i Maclaurina. Szereg trygonometryczny, szereg Fouriera. Twierdzenia o sze-
regu cosinusów i szeregu sinusów.

Zbiór liczb zespolonych. Jednostka urojona. Postać algebraiczna liczby

zespolonej. Część rzeczywista i część urojona liczby zespolonej. Liczba sprzę-
żona. Moduł liczby zespolonej. Argument liczby zespolonej. Postać trygono-
metryczna liczby zespolonej. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Wzór
de Moivre’a. Pierwiastek z liczby zespolonej. Twierdzenie o pierwiastkach
równania z

n

= w. Zasadnicze twierdzenie algebry. e

iϕ

, postać wykładnicza

liczby zespolonej, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci wykład-
niczej, wzory Eulera.

Macierz. Macierze: zerowa, kwadratowa, diagonalna i jednostkowa. Rów-

ność macierzy, mnożenie macierzy przez liczbę, dodawanie i odejmowanie
macierzy, iloczyn macierzy. Macierz transponowana. Definicja indukcyjna
wyznacznika macierzy kwadratowej. Minor macierzy kwadratowej, dopełnie-
nie algebraiczne. Rozwinięcie Laplace’a. Wyznacznik macierzy diagonalnej.
Własności wyznacznika. Twierdzenie Cauchy’ego o wyznaczniku iloczynu
macierzy. Macierz odwrotna. Twierdzenia o istnieniu i o postaci macierzy
odwrotnej. Równania macierzowe. Układ równań liniowych, macierze zwią-
zane z układem równań liniowych. Układ Cramera, wzory Cramera. Mi-
nor macierzy, rząd macierzy, operacje elementarne. Twierdzenie Kroneckera-
Capellego. Twierdzenie o układach liniowych jednorodnych.

2

Interpretacja geometryczna przestrzeni R

3

. Mnożenie wektora przez licz-

bę, dodawanie i odejmowanie wektorów. Norma wektora. Długość odcinka.
Równoległość wektorów. Iloczyn skalarny wektorów i jego obliczanie w R

3

.

Prostopadłość wektorów. Wektory jednostkowe na osiach układu współrzęd-
nych. Układy współrzędnych prawoskrętny i lewoskrętny. Iloczyn wektorowy
i jego obliczanie w R

3

. Iloczyn mieszany wktorów w R

3

.

Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych, pochodna funkcji dwóch

zmiennych. Pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji dwóch zmiennych,
druga pochodna funkcji dwóch zmiennych. Twierdzenie Schwarza o pochod-
nych mieszanych. Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funk-
cji dwóch zmiennych, warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego
funkcji dwóch zmiennych.

Zamiana całki podwójnej na całki iterowane. Obszary normalne, oblicza-

nie całek podwójnych po obszarach normalnych. Współrzędne biegunowe na
płaszczyźnie, obliczanie całki podwójnej we współrzędnych biegunowych.

Postacie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego. Roz-

wiązanie równania różniczkowego. Zagadnienie Cauchy’ego, rozwiązanie za-
gadnienia Cauchy’ego, twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania
zagadnienia Cauchy’ego. Równania różniczkowe: o zmiennych rozdzielonych,
jednorodne, zupełne i liniowe.