LOGIKA

1. (Koniunkcja, iloczyn logiczny) ᴧ

(p ᴧ q)=1 p=1 i q=1

Np. („2+3=4” i „7+8=15”)=0

2. (Alternatywa, suma logiczna) v

(p v q)=0 p=0 i q=0

3. (Negacja, zaprzeczenie) ~

(~p)=0 p=1

(~p)=1 p=0

4. (Implikacja) =>, <=

(p => q) = 0 p=1 i q=0

Np. „kot ma 1 ogon” => „kobiety mają dwie nogi” (1=>1)=1

5. (Równoważność)

(p q) = 1 p=q

PRAWA :

a) Prawo podwójnego zaprzeczenia

~(~p) p

b)Prawo wyłącznego środka – zawsze prawdziwe jest zdanie logiczne lub jego zaprzeczenie

~p v p = 1

c) I Prawo d’Morgana – zaprzeczenie alternatywy jest koniunkcją zaprzeczeń

~(p v q) ~p ᴧ ~q

d) II Prawo d’Morgana – zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń

~(p ᴧ q) = ~p v ~q

e) Przemienność alternatywy

p v q = q v p

f) Przemienność koniunkcji

p ᴧ q = q ᴧ p

DOWODZENIE : ~(~p) p

p ~p ~(~p) p LP

0 1 0 0 1

1 0 1 1 1

KWANTYFIKATORY

Ậ - Kwantyfikator duży, „dla każdego”

Ǝ - Kwantyfikator mały, „istnieje”

Ậ_(xЄX)= dla każdego x należącego do X

Ǝ_(xЄX)=istnieje x należące do X

Np. Ậ_(xЄX){f(x)}= dla każdego xЄX zachodzi f(x)

Ǝ_(nЄN)Ậ_(xЄR) xⁿ >=0 – istnieje liczba naturalna n, taka, że dla każdej liczby rzeczywistej x x_­­­­­ⁿ>=0

ZBIORY

A, B, C – zbiory

xЄA – x jest elementem zbioru A(należy)

xЄ(przekreślone)A – x nie jest elementem zbioru A(nie należy)

A={a, b, c, ….} – a, b, c … są elementami zbioru A

Ø – zbiór pusty, nie zawiera żadnego elementu

Def. A=B xЄAxЄB np. {1,2,3} = {3,1,2}

Inkluzja – zawieranie :

A c B xЄA => xЄB

Działania na zbiorach :

1. Suma zbiorów A u B

xЄAuB xЄA v xЄB

2. Iloczyn zbiorów A ᴧ B

xЄAᴧB xЄA ᴧ xЄB

3. Różnica zbiorów A/B

xЄA/B xЄA ᴧ xЄ(nie)B

FUNKCJE

Jeżeli każdemu elementowi xЄX przypiszemy dokładnie jeden element yЄY, to mówimy, że na zbiorze X jest określona funkcja o wartościach w zbiorze Y, co zapisujemy w ten sposób :

f :XY

Przykład

Funkcja różnowartościowa(iniekcja)- przekształca zbiór X w Y

Def. Mówimy, że funkcja f: X Y jest różnowartościowa, jeżeli różnym argumentom przypisuje różne wartości funkcji.

Przykład

Odwzorowanie typu „na” (suriekcja)

(na cały zbiór Y) =

F : X ^NAY jeżeli

Ậ_(yЄY)Ẻ_(xЄX){y=f(x)}

Przykład

Złożenie odwzorowań (superpozycja)

Mamy dwa odwzorowania : f :XY odwzorowanie (g o f) : XZ

g : YZ

Ậ_(xЄX){g o f} (x) = z1

Przykład : f(x) = 2^x, g(x) = -x, h(x) = x-2

f o g = f(g(x)) = f(-x) = 2^-x

h o f o g = h(f(g(x))) = h(f(-x)) = h(2^-x)= 2^-x-2