Metody numeryczne wyk I

METRODY NUMERYCZNE

WYKŁAD I

Przybliżone rozwiązywanie równań algebraicznych składa się dwóch etapów:

  1. Lokalizacja pierwiastków- to znaczy wyznaczanie możliwych wąskich przedziałów w których znajduje się dokładnie jeden pierwistek równania.

  2. Ustalenie pierwiastków przybliżonych, tzn. obliczanie ich zadane z góry dokładnościa.

Lokalizacja pierwistków

  1. Metoda graficzna.

Rozważmy równanie f(x)=0

Jeżeli monżna narysować wykres funkcji y=f(x) to szukanymi pierwiastakmi równania są pkt przeciecia się wykresu z osią O(x) w przypadku gdy nie potrafimy narysować wykresu funcki f to równanie f(x)=0 można przekształcic do rownowaznej postaci g(x)=h(x) gdzie wykresy funkcji g,h są prostrze do narysownia, wówczas pierwiastki równania zanjdujemy jako pierwsze wspołrzedne pkt przeciecia tego równania .

Przykład zlokalizowac pierwiastki równania:

X3+x-1=0

Przekształcamy równanie do postaci: (Rys I)

X3=-x+1

Wtedy:

g(x)=x3 h(x)=-x+1

Spr czy pierwisatek jest dobrze zlokalizowany. (Rys II)

f(0)<0

f(1)>0

  1. Zastosowanie monotoniczności funkcji :

W przypadku gdy , potrafimy rozwiązać równanie f’(x)= 0 lokalizacja pierwiastków może być dokonana w oparciu o silną monotoniczność funkcji. Załóżmy ze aby jest przedziałem silnym monotoniczności funkcji, wówczas istnieje jeden pierwiastek równania f(x)=0 w tym przedziale jeżeli f(a) * f(b)<0

Inaczej:

F(x) ma dokładnie jeden pierwiastek w przedziale (a,b) jeżeli ∀ f(x) > 0  i  f(a) * f(b) < 0  albo kwantyfikator f(x) i f(a) * f(b) < 0 

Przykład

Zlokalizować pierwiastki równania x3+x-1=0 w oparciu na monotoniczność: (rys III)

Oznacza to że w przedziale od – nieskończoności do + nieskończoności istnieje co najwyżej jeden pierwiastek.

Wyznaczamy wartości funkcji „f” na końcach przedziału.

W celu zawężenia przedziału w którym znajdują się wszystkie pierwiastki równania anxna

Korzystamy z następującego twierdzenia :

Niech „A” równa się maksimum (Rys IV)

Wówczas pierwiastki równania spełniają nierówność, |xk| <= 1+A/|an| =R (Rys V)

Wyznaczamy przedział w którym znajduje się szukany pierwiastek (Rys VI)


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Metody numeryczne Wyk 1 Elementy metod numerycznych, Elementy metod numerycznych
wyniki ED3s, aaa, studia 22.10.2014, całe sttudia, III semestr, metody numeryczne wyk
01. WYK AD - I +II - UklRowLin, Materiały, II Semestr, Metody numeryczne
Metody numeryczne w6
metoda siecznych, Elektrotechnika, SEM3, Metody numeryczne, egzamin metody numeryczn
MN energetyka zadania od wykładowcy 09-05-14, STARE, Metody Numeryczne, Część wykładowa Sem IV
METODA BAIRSTOWA, Politechnika, Lab. Metody numeryczne
testMNłatwy0708, WI ZUT studia, Metody numeryczne, Metody Numeryczne - Ćwiczenia
Metody numeryczne Metoda węzłowa
Metody numeryczne, wstep
metody numeryczne w4
Metody numeryczne PDF, MN macierze 01 1
Metody numeryczne w11
metody numeryczne i w9
Metody numeryczne PDF, MN raphson 11
metody numeryczne w9

więcej podobnych podstron