METRODY NUMERYCZNE
WYKŁAD I
Przybliżone rozwiązywanie równań algebraicznych składa się dwóch etapów:
Lokalizacja pierwiastków- to znaczy wyznaczanie możliwych wąskich przedziałów w których znajduje się dokładnie jeden pierwistek równania.
Ustalenie pierwiastków przybliżonych, tzn. obliczanie ich zadane z góry dokładnościa.
Lokalizacja pierwistków
Metoda graficzna.
Rozważmy równanie f(x)=0
Jeżeli monżna narysować wykres funkcji y=f(x) to szukanymi pierwiastakmi równania są pkt przeciecia się wykresu z osią O(x) w przypadku gdy nie potrafimy narysować wykresu funcki f to równanie f(x)=0 można przekształcic do rownowaznej postaci g(x)=h(x) gdzie wykresy funkcji g,h są prostrze do narysownia, wówczas pierwiastki równania zanjdujemy jako pierwsze wspołrzedne pkt przeciecia tego równania .
Przykład zlokalizowac pierwiastki równania:
X3+x-1=0
Przekształcamy równanie do postaci: (Rys I)
X3=-x+1
Wtedy:
g(x)=x3 h(x)=-x+1
Spr czy pierwisatek jest dobrze zlokalizowany. (Rys II)
f(0)<0
f(1)>0
Zastosowanie monotoniczności funkcji :
W przypadku gdy , potrafimy rozwiązać równanie f’(x)= 0 lokalizacja pierwiastków może być dokonana w oparciu o silną monotoniczność funkcji. Załóżmy ze aby jest przedziałem silnym monotoniczności funkcji, wówczas istnieje jeden pierwiastek równania f(x)=0 w tym przedziale jeżeli f(a) * f(b)<0
Inaczej:
F(x) ma dokładnie jeden pierwiastek w przedziale (a,b) jeżeli ∀ f′(x) > 0 i f(a) * f(b) < 0 albo kwantyfikator f′(x) i f(a) * f(b) < 0
Przykład
Zlokalizować pierwiastki równania x3+x-1=0 w oparciu na monotoniczność: (rys III)
Oznacza to że w przedziale od – nieskończoności do + nieskończoności istnieje co najwyżej jeden pierwiastek.
Wyznaczamy wartości funkcji „f” na końcach przedziału.
W celu zawężenia przedziału w którym znajdują się wszystkie pierwiastki równania anxna
Korzystamy z następującego twierdzenia :
Niech „A” równa się maksimum (Rys IV)
Wówczas pierwiastki równania spełniają nierówność, |xk| <= 1+A/|an| =R (Rys V)
Wyznaczamy przedział w którym znajduje się szukany pierwiastek (Rys VI)