I WM		24.03.2012
ĆW. 19	Pomiar pojemności kondensatora metodą mostka Wheatstone’a

Wstęp teoretyczny

Stan elektryczny przewodnika jest scharakteryzowany przez jego ładunek i potencjał. W miarę wzrostu ładunku przewodnika naładowanego jego potencjał wzrasta liniowo, a więc:

Gdzie:

kolejne coraz wyższe ładunki jakimi naładowany został badany przewodnik.

kolejne coraz wyższe wartości potencjału będące odpowiedzią na przyłożone ładunki do badanego przewodnika.

Wartość C charakteryzuje dany przewodnik. Im ta stała jest większa, tym więcej ładunków możemy nagromadzić na danym przewodniku przy jednakowej zmianie potencjału.

Jednostką potencjału jest farad

Kondensatory możemy łączyć w baterie:

Szeregowo – wyznaczamy pojemność zastępczą za wzory:

Równolegle – wyznaczamy pojemność zastępczą ze wzoru:

Mostek Wheatstone`a.

Schemat zestawu do pomiaru pojemności.

G – generator akustyczny, T – słuchawki, C – kondensator dekadowy,

Cx – kondensator badany.

Mostek Wheatstone`a służy do wyznaczania pojemności kondensatora. Mostek ten jest zasilany prądem zmiennym podawanym z generatora. Pomiar pojemności sprowadza się do tzw. zrównoważenia mostka tzn. do takiego dobrania wartości pojemności dekadowej C, aby przez słuchawki nie płynął prąd.

Pojemność kondensatora mierzonego będzie równa pojemności nastawionej na kondensatorze dekadowym.

Tabela pomiarowa

Nr. kondensatora	Pomiar 1 C[µF]	Pomiar 2 C[µF]	Pomiar 3 C[µF]	Pomiar 4 C[µF]	Pomiar 5 C[µF]	Wartość średnia C[µF]
C1	630	645	635	640	635	637
C2	996	995	1000	1000	1100	1018
C3	100	92	90	100	110	98
C4	340	338	331	335	336	336
C5	2100	2120	2115	2105	2100	2108
Połączenie szeregowe C1 i C3	85	85	85	85	85	85
Połączenie równoległe C1 i C3	730	730	730	730	730	730

Obliczenia

• Niepewność standardowa u(C_{x śr})

C1	$$\mathbf{C}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{1}}}$$	$$\left( \mathbf{C}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}$$
630	-7	49
645	8	64
635	-2	4
640	-3	9
635	-2	4
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{1}}}\mathbf{= 637}$$		$$\sum_{\mathbf{1}}^{\mathbf{5}}{\left( \mathbf{C}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{= 130}}$$

C2	$$\mathbf{C}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{2}}}$$	$$\left( \mathbf{C}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}$$
996	-22	484
995	-23	529
1000	-18	324
1000	-18	324
1100	-118	13924
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{2}}}\mathbf{= 1018}$$		$$\sum_{\mathbf{1}}^{\mathbf{5}}{\left( \mathbf{C}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{2}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{= 15585}}$$

C3	$$\mathbf{C}_{\mathbf{3}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{3}}}$$	$$\left( \mathbf{C}_{\mathbf{3}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{3}}} \right)^{\mathbf{2}}$$
100	2	4
92	-6	36
90	-8	64
100	2	4
110	12	144
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{3}}}\mathbf{= 98}$$		$$\sum_{\mathbf{1}}^{\mathbf{5}}{\left( \mathbf{C}_{\mathbf{3}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{1}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{= 252}}$$

C4	$$\mathbf{C}_{\mathbf{4}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{4}}}$$	$$\left( \mathbf{C}_{\mathbf{4}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{4}}} \right)^{\mathbf{2}}$$
340	4	16
338	2	4
331	5	25
335	1	1
336	0	0
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{4}}}\mathbf{= 336}$$		$$\sum_{\mathbf{1}}^{\mathbf{5}}{\left( \mathbf{C}_{\mathbf{4}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{4}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{= 46}}$$

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{C}_{\mathbf{xsr}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\frac{\sum_{\mathbf{1}}^{\mathbf{5}}\left( \mathbf{C}_{\mathbf{x}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{x}}} \right)^{\mathbf{2}}}{\mathbf{5*4}}}$$

$$u\left( C_{1} \right) = \sqrt{\frac{130}{20}} = 2,55\mu F$$

$u\left( C_{2} \right) = \sqrt{\frac{15585}{20}} = 27,92\mu F$

$$u\left( C_{3} \right) = \sqrt{\frac{252}{20}} = 3,55\mu F$$

$$u\left( C_{4} \right) = \sqrt{\frac{46}{20}} = 1,52\mu F$$

C5	$$\mathbf{C}_{\mathbf{5}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{5}}}$$	$$\left( \mathbf{C}_{\mathbf{5}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{5}}} \right)^{\mathbf{2}}$$
2100	8	64
2120	12	144
2115	7	49
2105	-3	9
2100	-8	64
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{5}}}\mathbf{= 2108}$$		$$\sum_{\mathbf{1}}^{\mathbf{5}}{\left( \mathbf{C}_{\mathbf{5}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{C}_{\mathbf{5}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{=}}\mathbf{330}$$

• Pojemność zastępcza

Dla połączenia szeregowego:

$$\frac{1}{C_{\text{sz}}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{3}} = \frac{C_{1} + C_{3}}{C_{1}*C_{3}}$$

$$C_{\text{sz}} = \frac{C_{1}*C_{3}}{C_{1} + C_{3}} = \frac{637*98}{637 + 98} = 84,93\mu F$$

• Niepewność złożona

Dla połączenia szeregowego:

$$u\left( C_{\text{sz}} \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial C_{\text{sz}}}{\partial C_{1}} \right)^{2}*u^{2}\left( C_{1} \right) + \left( \frac{\partial C_{\text{sz}}}{\partial C_{3}} \right)^{2}*u^{2}\left( C_{3} \right)}$$

$$u\left( C_{\text{sz}} \right) = \sqrt{\left( \frac{C_{3}}{C_{1} + C_{3}} \right)^{2}*u^{2}\left( C_{1} \right) + \left( \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{3}} \right)^{2}*u^{2}\left( C_{3} \right)}$$

u(C_sz) = 3, 095μF

Dla połączenia równoległego:

u(C_r) = u(C₁) + u(C₃)

u(C_r) = 6, 1μF

Dla połączenia równoległego:

C_r = C₁ + C₃

C_r = 735μF

Wnioski

Doświadczenie polegające na wyznaczeniu doświadczalnie pojemności kondensatorów metodą mostka Wheatstone’a sprawdziło się. Dzięki regulacji pojemności kondensatora dekadowego doprowadziliśmy do sytuacji, podczas której przez słuchawki ni popłynął prąd. Wartość pojemności kondensatora dekadowego jest równa pojemności kondensatora. Błędy pomiarowe wynikają głównie z niedokładności słuchu ludzkiego ucha. Niepewności dla poszczególnych pomiarów wynoszą:

C₁=637±(2,55µF)

_­C₂=1018±(27,92µF)

C­­₃=98±(3,55µF)

C₄=336±(1,52µF)

C₅=2108±(4,06µF)

Przy pomiarze baterii kondensatorów wyniki otrzymane bezpośrednio z pomiaru są bardzo zbliżone do obliczonych wyników.

C_szeregowe=84,93±(3,095µF)

C_równoległe=735±(6,1µF)

Dokładność z jaką wyznaczyliśmy układy kondensatorów sugeruje iż z podobną dokładnością zostały wyznaczone pojemności poszczególnych kondensatorów, a więc metoda ta jest bardzo czułą a co najważniejsze wyznaczenie pojemności kondensatora jest naprawdę proste i szybkie.