KAPITALIZACJA - wzory

(k=n m)

(> r dla m>1) ( dla m>1)

( dla m>1) ( dla m>1)

. .

OPROCENTOWANIE PROSTE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH

WKŁADY ZGODNE

. .

WKŁADY NIEZGODNE

OPROCENTOWANIE ZŁOŻONE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH

WKŁADY ZGODNE

WKŁADY NIEZGODNE

OKRES WKŁADÓW RÓWNY OKRESOWI KAPITALIZACJI

OKRES WKŁADÓW WIĘKSZY OD OKRESU KAPITALIZACJI

(KAPITALIZACJA CZĘSTSZA NIŻ WKŁADY)

OKRES WKŁADÓW MNIEJSZY OD OKRESU KAPITALIZACJI

(WKŁADY CZĘSTSZE NIŻ KAPITALIZACJA)

• MODEL KAPITALIZACJI ZŁOŻONEJ Z DOŁU

• MODEL KAPITALIZACJI MIESZANEJ

OPROCENTOWANIE WKŁADÓW OSZCZĘDNOŚCIOWYCH Z UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI

RENTA STAŁA ZGODNA

RENTA STAŁA NIEZGODNA

OKRES WYPŁAT JEST RÓWNY OKRESOWI KAPITALIZACJI

OKRES WYPŁAT JEST WIĘKSZY OD OKRESU KAPITALIZACJI

OKRES WYPŁAT JEST MNIEJSZY OD OKRESU KAPITALIZACJI

(MODEL KAPITALIZACJI ZŁOŻONEJ Z DOŁU)

(MODEL KAPITALIZACJI MIESZANEJ)

.

RENTA ARYTMETYCZNA ZGODNA

RENTA GEOMETRYCZNA ZGODNA

Gdy

RENTA KAPITAŁOWA Z UWZGLĘDNIENIEM INFLACJI

gdy

PLAN SPŁATY DŁUGU KRÓTKOTERMINOWEGO

• dla dyskonta matematycznego

• dla dyskonta handlowego

Wartość zadłużenia po spłaceniu n rat:

• dla dyskonta matematycznego prostego:

, gdy

oraz

, gdy n>k

• dla dyskonta handlowego:

.

Wartość pozostałego długu

• dla dyskonta matematycznego prostego:

• dla dyskonta handlowego:

.

Zatem

Dług bieżący S_n po spłaceniu n rat definiujemy jako zaktualizowany na moment n dług . Zatem

. Z kolei .

SPŁATA DŁUGU KRÓTKOTERMINOWEGO W RÓWNYCH RATACH ŁĄCZNYCH

• dyskonto matematyczne proste

• dyskonto handlowe

PLAN SPŁATY DŁUGÓW ŚREDNIO- I DŁUGOTERMINOWYCH

t= k:

t= N:

t=0:

Dług bieżący S_n:

.

SPŁATA DŁUGU O ZADANYCH RATACH ŁĄCZNYCH ZGODNA

, n=1, 2, …, N Z_n=S_n-1r; n=1, 2, …,N

T_n=A_n–Z_n=S_n-1–S_n; n=1, 2, …,N Z=Z₁+…Z_N=(A₁+…+A_N) –S

RATY ŁĄCZNE O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH

SPŁATA DŁUGU O ZADANYCH RATACH KAPITAŁOWYCH ZGODNA

Z_n=S_n-1r

A_n= T_n +Z_n Z=Z₁+…Z_N=(A₁+…+A_N) –S

RATY KAPITAŁOWE O RÓWNYCH WYSOKOŚCIACH

OBLIGACJE

Obligacja o stałym oprocentowaniu

Wartość obligacji zero-kuponowej (z kuponem zerowym)

Wartość obligacji wieczystej (konsola)

Stopa przychodu bieżącego obligacji (I):

Wartość obligacji indeksowanej

AKCJE

1. Model stałej wartości dywidendy

2. Model stałego wzrostu dywidendy (tzw. model Gordona)

3. Model zmiennego wzrostu dywidendy – model dwóch faz

WEKSLE

dyskonto handlowe:

dyskonto matematyczne:

Stopa zwrotu w okresie t:

R_t – stopa zwrotu akcji osiągnięta w t-tym okresie,

P_t – cena akcji w t-tym okresie,

D_t – dywidenda wypłacana w t-tym okresie.

oczekiwana stopa zwrotu (expected return):

Wariancja stopy zwrotu akcji:

Odchylenie standardowe stopy zwrotu

Współczynnik korelacji stóp zwrotu:

Oczekiwana stopa zwrotu portfela:

Wariancja stopy zwrotu portfela

Udziały akcji w portfelu o minimalnej wariancji

– oczekiwana stopa zwrotu z portfela

– wariancja portfela

– odchylenie standardowe portfela

WYZNACZANIE PORTFELA AKCJI O MINIMALNYM RYZYKU

Udział akcji poszczególnych spółek w poszukiwanym portfelu:

w*=C^-1I

w* – wektor (n+1)-elementowy, przy czym pierwsze n elementów to udziały spółek w portfelu, a ostatni element to mnożnik Lagrange’a

C – macierz o wymiarach (n+1) × (n+1) o elementach:

cii=2si^2	i=1, …, n
cij=2 sisjρij	i,j=1, …, n
ci,n+1=cn+1,i=1	i=1, …, n
cn+1,n+1=0

C^-1 – macierz odwrotna do macierzy C

I – wektor (n+1)-elementowy, przy czym pierwsze n elementów jest równe 0, a ostatni 1.

WYZNACZANIE PORTFELA AKCJI O MINIMALNYM RYZYKU PRZY ZADANYM POZIOMIE OCZEKIWANEJ STOPY ZWROTU

Udział akcji poszczególnych spółek w poszukiwanym portfelu:

w**=D^-1I₀

w** - wektor (n+2) – elementowy, przy czym pierwsze n elementów to udziały spółek w portfelu, a dwa ostatnie elementy to mnożniki Lagrange’a λ oraz μ

D – macierz o wymiarach (n+2) × (n+2) o elementach:

dii=2si^2	i=1, …, n
dij=2 sisjρij	i,j=1, …, n
di,n+1=dn+1,i=1	i=1, …, n
di,n+2=dn+2,i=Ri
dn+1,n+1=dn+1,n+2=dn+2,n+1=dn+2,n+2=0

D^-1 – macierz odwrotna do macierzy D

I₀ – wektor (n+2)-elementowy, przy czym pierwsze n elementów jest równe 0, przedostatni 1, a ostatni element jest równy zadanej oczekiwanej stopie zwrotu portfela.