Podstawy Mechaniki

Zadanie domowe

Tomasz Tomczak

Gr.2 Sem. III

NZG Elektrotechnika.

1. Wyznaczenie wartości reakcji podpór (składowych i wypadkowych oraz kąta nachylenia względem osi Y)

a[m]	L1[m]	L2[m]	L3[m]	L[m]	P[kN]	P1[kN]	P2[kN]	q[kN/m]
0,3	0,5	0,6	1	4	3	30	7	15

Wprowadziłem oznaczenia pomocniczne L4 i P₃ które wyliczyłem

L₄ = L − (L₁+L₂+L₃)

P₃ = q × L₄

L₄ = 1, 9 m

P₃ = 15 × 1, 9 = 28, 5 kN

1. Warunki równowagi

• Warunek równowagi sił $\sum_{}^{}\mathbf{P}_{\mathbf{\text{iX}}\mathbf{\ }}\mathbf{=}\mathbf{0}$

P  R_AX  = 0

R_AX =   − 3

• Warunek równowagi sił $\sum_{}^{}\mathbf{P}_{\mathbf{\text{iY}}}\mathbf{\ =}\mathbf{0}$

R_AY  +  P₂  +  R_BY  P₁  P₃  = 0

R_BY wyliczamy z sumy momentów $\sum_{}^{}\mathbf{M}_{\mathbf{A}}\mathbf{\ =}\mathbf{0}$

$P \times a\ + \ P_{1\ } \times L_{2\ } - \ P_{2\ }\left( L_{2} + L_{3} \right) + P_{3\ }\left( L_{2} + L_{3} + \frac{L_{4}}{2} \right) - R_{\text{BY}} \times \left( L - L_{1} \right) = 0$

Po podstawieniu danych R_BY = 22,964 kN

A po wstawienu R_BY do warunku równowagi$\sum_{}^{}\mathbf{P}_{\mathbf{\text{iY}}}\mathbf{\ =}\mathbf{0}$

do R_AY = 28,536 kN

Wypadkowej R_A :

$$\mathbf{R}_{\mathbf{A}\mathbf{\text{\ \ }}}\mathbf{=}\sqrt{R_{\text{AX}}^{2} + R_{\text{AY}}^{2}}\mathbf{=}\sqrt{{( - 3)}^{2} + {28,536}^{2}} = 28,378\ kN$$

1. Kąt nachylenia w punkcie A osi Y

$$\cos \propto = \frac{R_{\text{AY}}}{R_{A}}\mathbf{=}\frac{28,536}{28,378} = 1,0055$$

1. Rozkład momentów gnących na długości belki.

Przedział I

M_I = a × P;

M_I = 0,9 kNm

Przedział II

M_II = a × P + (x−L₁) × R_AY;         L₁ ≪ x ≪ L₁ + L₂

dla x = L₁ ; M_II = 0,9 kNm

dla x = L₁ + L₂ ; M_II = P × a + R_AY × L₂ = 18,021 kNm

Przedział III

M_III = a × P + (x−L₁) × R_AY − (x − L₁ − L₂)×P₁;         L₁ + L₂ ≪ x ≪ L₁ + L₂ + L₃

dla x = L₁ + L₂ ; M_III = P × a + R_AY × L₂ = 18,021 kNm

dla x = L₁ + L₂ + L₃ ; M_III = P × a + (L₂+L₃) × R_AY − L₃ × P₁ = 16,558 kNm

Przedział IV

$$M_{\text{IV}} = a \bullet P + \left( x - L_{1} \right)R_{\text{Ay}} - \left( x - L_{1}{- L}_{2} \right)P_{1} + \left( x - L_{1} - L_{2} - L_{3} \right)P_{2} - \frac{\left( x - L_{1} - L_{2} - L_{3} \right)^{2}}{2} \bullet q\ $$

L₁ + L₂ + L₃ ≪ x ≪ L

dla x = L₁ + L₂ + L₃ M_IV = a • P + (L₂+L₃) • R_Ay − L • P₁ = 16,558 kNm

dla x = L ; $M_{\text{IV}} = a \bullet P + \left( L - L_{1} \right) \bullet R_{\text{Ay}} - \left( L - L_{1}{- L}_{2} \right) \bullet P_{1} + \left( L - L_{1} - L_{2} - L_{3} \right) \bullet P_{2} - \frac{\left( L - L_{1} - L_{2} - L \right)^{2}}{2}q = \mathbf{0}\ \text{kNm}$

Przedział
I	x = a
II	L1 ≤ x ≤ L1 + L2
III	L1 + L2 ≤ x ≤ L1 + L2 + L3
IV	L1 + L2 + L3 ≤ x ≤ L

Zestawienie momentów gnących na długości belki

Przedział	Długość	Momenty gnące
-	m	kNm
I	0	0,9
	0,2	0,9
	0,3	0,9
	0,5	0,9
II	0,5	0,9
	0,7	6,607
	0,9	12,314
	1,1	18,021
III	1,1	18,021
	1,3	17,729
	1,5	17,436
	1,7	17,143
	1,9	16,85
	2,1	16,558
IV	2,1	16,558
	2,4	17,543
	2,7	17,179
	3	15,465
	3,3	12,401
	3,6	7,987
	4	0

1. Średnice teoretyczne belki dla obciążeń stałych

• Wzory potrzebne do obliczenia średnicy belki:

Wzór na naprężenia gnące:

$$\sigma_{g} = \frac{M_{g}}{W_{g}} \leq k_{g}$$

W_g – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie;

M_g – moment gnący występujący w danym przekroju belki wywołujący naprężenia zginające

k_g – naprężenie dopuszczalne dla materiału belki.

Naprężenie dopuszczalne wynosi:

k_g = 0, 52R_e

Wzór na przekrój kołowy projektowanej belki wskaźnik zginania Wg:

$$W_{g} = \frac{\pi d^{3}}{32}$$

Obliczenia średnicy projektowanej belki z wzoru powyżej

$$d = \sqrt[3]{\frac{32W_{g}}{\pi}}$$

Przyjmujemy że $A = \frac{32}{\pi k_{g}},$

$$d \geq \sqrt[3]{A \bullet M_{g}}$$

R_e = 400 MPa = 4 • 10⁵kPa

$$k_{g} = 0,52 \bullet 4 \bullet 10^{5}kPa = 208 \bullet 10^{3}\text{kPa} = 208 \bullet 10^{3}\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$A = \frac{32}{3,14 \bullet 208 \bullet 10^{3}} \cong 5 \bullet 10^{- 5}\frac{m^{2}}{\text{kN}}$$

Zestawienie średnicy belki na jej długości

Przedział	Długość	Momenty gnące	Średnica
-	m	kNm	m
I	0	0,9	0,035
	0,2	0,9	0,035
	0,3	0,9	0,035
	0,5	0,9	0,035
II	0,5	0,9	0,035
	0,7	6,607	0,069
	0,9	12,314	0,085
	1,1	18,021	0,096
III	1,1	18,021	0,096
	1,3	17,729	0,096
	1,5	17,436	0,095
	1,7	17,143	0,094
	1,9	16,85	0,094
	2,1	16,558	0,93
IV	2,1	16,558	0,093
	2,4	17,543	0,095
	2,7	17,179	0,095
	3	15,465	0,092
	3,3	12,401	0,085
	3,6	7,987	0,073
	4	0	0