_{POLITECHNIKA LUB}

_{WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I ARCHITEKTURY}

_{Fizyka - laboratorium}

_{Sprawozdanie Nr 2:}

_{„Wyznaczenie przyspieszenia grawitacyjnego za pomocą wahadła prostego”}

Autor: Powęzka Jan

Grupa: IBN 1/5

Godz. 18:00

Dzień: 26.10.2013 r.

1. Nazwisko i imię, grupa, godzina oraz dzień.

Nazwisko i imię:	Grupa:	Godz.:	Data:
Powęzka Jan	IBN 1/5	18:00:00	26.10.2013 r.

1. Tytuł zadania

Celem ćwiczenia było: „Wyznaczenie przyspieszenia grawitacyjnego za pomocą wahadła prostego”.

1. Definicje, prawa, wzory wykorzystane w realizacji zadania

Ruch drgający

Ruchem drgającym nazywa się każdy ruch lub zmianę stanu, jeżeli charakteryzuje je powtarzalność w czasie dowolnych wartości dowolnych wielkości opisujących ten ruch lub stan. Jeżeli wartości wielkości fizycznych powtarzają się w równych odstępach czasu, to taki ruch drgający nazywa się okresowym.

Najprostszym przykładem ruchu drgającego okresowego są drgania harmoniczne. Mamy z nimi do czynienia wtedy gdy powtarzające się okresowo wielkości fizyczne są opisane funkcjami sinus lub cosinus.

Równanie oscylatora harmonicznego ma postać:

gdzie:

- częstość kołowa drgań,

T- okres drgań,

x- wielkość określająca wychylenie z położenia równowagi.

Rozwiązaniami tego równania są funkcje:

gdzie:

A- amplituda drgań,

δ i φ- fazy początkowe drgań.

Wahadło proste

Wahadło proste to niewielka, ciężka kulka zawieszona na cienkim druciku o długości wielokrotnie większej od średnicy kulki. Wahadło takie jest dość dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego (niewielką, w porównaniu z długością drucika, kulkę można uważać za punkt materialny).

Rys. 1. Siły działające na wahadło proste.

Rysunek przedstawia siły działające na wahadło proste gdzie: - siła ciężkości i jej składowe radialna i styczna do toru ruchu, - siła napięcia nici, l- długość nici, s- długość łuku, α- kąt o jaki wychylone jest wahadło.

Z rysunku wynika, że:

gdzie: m- masa kulki, g- przyspieszenie ziemskie. Dla małych wychyleń można przyjąć:

a ponieważ długość łuku wyraża się zależnością:

można zapisać:

Z ostatniego wzoru wynika, że dla małych wychyleń siła przywracająca układowi równowagę jest wprost proporcjonalna do wychylenia, co oznacza, że drgania są harmoniczne. Dynamiczne równanie ruchu ma w tym przypadku postać:

gdzie

a po podstawieniu:

porównując to równanie z równaniem oscylatora harmonicznego

i uwzględniając, że

otrzymujemy:

Na podstawie tego wzoru można stwierdzić, że okres drgań (o małej amplitudzie) wahadła matematycznego nie zależy ani od masy wahadła ani od amplitudy drań. Zależy natomiast od długości wahadła. Tak więc znając T i l można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie.

4. Wyniki pomiarów

4.1. Opis zestawu pomiarowego

Zestaw pomiarowy składa się z:

- stopera,

- miarki,

- wahadła prostego: stalowej nitki oraz ciężarka w postaci kulki.

Rys. 2. Wahadło proste..

Do przeprowadzenia doświadczenia użyłem wahadła prostego składającego się z: nitki, zawieszonego na niej ciężarka oraz miarki i stopera.

Doświadczenie przeprowadziłem ustalając długość nitki, a następnie odchylając
zawieszony na nitce ciężarek o niewielki kąt i puszczając go, mierzyłem czas potrzebny na wykonanie 15 pełnych wahnięć ( 15, a nie 1, w celu zmniejszenia wpływu błędu
wynikającego z opóźnienia czasu reakcji organizmu człowieka). Czynność tę
wykonywałem 15 razy. Wyniki zanotowałem w tabeli.

4.2. Wyniki pomiarów

Tab. 1. Tabela pomiarowa

L.p.	l [m]	n	t [s]	tsr [s]	T [s]	Tsr [s]	$$\mathbf{g}_{}\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$	$$\mathbf{g}_{\mathbf{sr}}\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$
1.	0,98	15	27,31	29, 22	1,82	1,94	11,68	10,28
2.	0,98	15	29,09		1,93		10,39
3.	0,98	15	29,78		1,95		10,17
4.	0,98	15	29,50		1,97		9,97
5.	0,98	15	29,50		1,97		9,97
6.	0,98	15	29,41		1,96		10,07
7.	0,98	15	29,72		1,98		9,86
8.	0,98	15	29,57		1,97		9,97
9.	0,98	15	28,53		1,90		10,72
10.	0,98	15	29,72		1,98		9,86
11.	0,98	15	29,18		1,95		10,17
12.	0,98	15	29,38		1,96		10,07
13.	0,98	15	29,68		1,98		9,86
14.	0,98	15	28,47		1,89		10,83
15.	0,98	15	29,53		1,97		9,97

5. Obliczenia

Obliczenia t_sr [s]:

$$\frac{t_{1} + t_{2} + \ \ldots + t_{15}}{liczbe\ pomiarow} = \ \frac{438,37}{15} = 29,22\ \lbrack s\rbrack$$

t [s] = 29, 22 [s]

Obliczenia dla pomiaru 1:

$$\mathbf{T = 2}\mathbf{\pi}\sqrt{\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{g}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ }}\mathbf{/}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ }}$$

$$\mathbf{T}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{g}}\mathbf{\text{\ \ \ \ }}$$

$$\mathbf{g =}\frac{\mathbf{4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ \ }}$$

$$\mathbf{T =}\frac{\mathbf{t}}{\mathbf{n}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{27,31}}{\mathbf{15}}\mathbf{= 1,82\ \lbrack s\rbrack}$$

$$\mathbf{g =}\frac{\mathbf{4}\mathbf{*\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\text{\ \ }}$$

$$\mathbf{g =}\frac{\mathbf{4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*0,98}}{\mathbf{(1,82)}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*0,98}}{\mathbf{(1,82)}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{38,69}}{\mathbf{3,31}}\mathbf{= 11,68\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{T}_{\mathbf{sr}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{t}_{\mathbf{sr}}}{\mathbf{n}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{29,22}}{\mathbf{15}}\mathbf{= 1,94\ \lbrack s\rbrack}$$

$$\mathbf{g}_{\mathbf{sr}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*0,98}}{\mathbf{(1,94)}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ = \ }\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*0,98}}{\mathbf{(1,94)}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{38,69}}{\mathbf{3,76}}\mathbf{= 10,28\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$

6. Obliczenia błędów pomiarów

Δl=10⁻² [m] ∖ nΔt = 0, 5 [s] ∖ n

$$\mathbf{\Delta g =}\left| \frac{\mathbf{\text{δg}}}{\mathbf{\text{δl}}} \right|\mathbf{\Delta l +}\left| \frac{\mathbf{\text{δg}}}{\mathbf{\text{δt}}} \right|\mathbf{\text{Δt}}$$

$$\frac{\mathbf{\text{δg}}}{\mathbf{\text{δl}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}$$

$$\frac{\mathbf{\text{δg}}}{\mathbf{\text{δl}}}\mathbf{= - \ }\frac{\mathbf{2*4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*l*}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{t}^{\mathbf{3}}}$$

Względny błąd pomiaru_:

$$\mathbf{\delta g = \ }\frac{\mathbf{\delta g}}{\mathbf{g}}\mathbf{=}\frac{\frac{\mathbf{4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*l*}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}\mathbf{*l +}\frac{\mathbf{8*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*l*}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}\mathbf{t}}{\frac{\mathbf{4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*l*}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{t}^{\mathbf{2}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{l}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{2t}}{\mathbf{t}}$$

$$\mathbf{\delta g = \ }\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{l}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{2t}}{\mathbf{t}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0,01}}{\mathbf{0,98}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{2*0,5}}{\mathbf{29,78}}\mathbf{= 0,01 + 0,03 = 0,04}$$

∖n

g=10, 17  ± 0, 04

Rachunek błędów metodą Gausa:

$${\mathbf{b}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\sqrt{\left\lbrack \frac{\mathbf{4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}\mathbf{*}\mathbf{\delta}_{\mathbf{l}} \right\rbrack^{\mathbf{2}}}\backslash n}{\mathbf{b}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\sqrt{\left\lbrack \frac{\mathbf{4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}\mathbf{*}\mathbf{\delta}_{\mathbf{l}} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{*}{0,05}^{2}}}$$

$$\mathbf{b}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\sqrt{\left\lbrack \frac{\mathbf{4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{1,94}^{\mathbf{2}}}\mathbf{*0,01} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{0,5}^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{b}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\sqrt{\left\lbrack \frac{\mathbf{4*}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{3,76}}\mathbf{*0,01} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{0,5}^{\mathbf{2}}}$$

$$\mathbf{b}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\sqrt{\left\lbrack \mathbf{10,50}\mathbf{*0,01} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{*}\mathbf{0,5}^{\mathbf{2}}}$$

$${\mathbf{b}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\sqrt{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{400}}}\backslash n}{\mathbf{b}_{\mathbf{g}}\mathbf{\approx 0,05}}$$

7. Wynik końcowy

$$\mathbf{g}\mathbf{= (10,2}\mathbf{8}\mathbf{\pm 0,0}\mathbf{5}\mathbf{)\ }\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}} \right\rbrack$$

8. Wnioski

Można zauważyć, że pomiar nr 1 jest mniejszy niż pozostałe pomiary. Wynika to ze zmierzenia czasu trwania mniejszej liczby wahnięć niż w trakcie trwania pozostałych pomiarów. Należy zaznaczyć, że dokładność pomiaru długości wahadła była stała. Wyniki obliczeń pokazują zatem, że w tym doświadczeniu na dokładność pomiaru bardzo duży wpływ ma dokładność wyznaczania okresu drgań wahadła.