Wydział Inżynierii Lądowej	Dawid Zuber	Zespół: 9	22.10.2011
Grupa: gć 22	Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.	Ćw. nr 1	Ocena:

1.Wprowadzenie

Przyspieszenie ziemskie oznaczamy literą ”g” i jest to przyspieszenie ciał, które spadają swobodnie w polu grawitacyjnym Ziemi, przy uwzględnieniu braku oporów ruchu. Na podstawie prawa powszechnej grawitacji Newtona można wyliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego wyrażoną wzorem:

g = G $\frac{\mathbf{M}_{\mathbf{z}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}}$

G – stała grawitacji

Mz – masa Ziemi

Rz – promień Ziemi

Największą wartość przyspieszenie ziemskie będzie miało na biegunach, ponieważ wtedy promień naszej planety będzie najmniejszy. Na efektywną wartość ”g” wpływa kształt Ziemi oraz jej ruch obrotowy. Warto zwrócić uwagę na przyspieszenie odśrodkowe, które powoduje zmniejszenie mierzonego przyspieszenia ziemskiego występującego na wszystkich szerokościach geograficznych z pominięciem biegunów. Wartość przyspieszenia ziemskiego wraz z wysokością powierzchniową Ziemi ulega pomniejszeniu.

W celu wyznaczenia wartości przyspieszenia ziemskiego można wykorzystać prawo ruchu wahadła prostego. Wahadło proste tworzy mała kulka(przeważnie metalowa), która jest zawieszona na nierozciągliwej, lekkiej nici, której ciężar możemy zaniedbać (Rysunek1). Swobodnie puszczona kulka wykonuje ruch drgający prosty. Wahadło proste jest najlepszą praktyczną realizacją wahadła matematycznego. Za ruch kulki o masie ”m” odpowiedzialna jest składowa jej ciężaru, która jest styczna do toru: F = mg*sinϕ ; druga składowa, która jest zgodna z kierunkiem napiętej nici jest równoważona przez siłę napięcia sprężystego nici. Gdy ϕ < 5^o to sin ϕ ≈ ϕ, a wówczas siłę można wyrazić wzorem:

F = -mg*sin ϕ ≈ -mg ϕ

znak ”- ” oznacza przeciwne skierowanie siły do wychylenia ϕ.

Rysunek 1.Wahadło proste

Kątowe wychylenie kulki ϕ jest funkcją okresową czasu o okresie danym wzorem:

T = 2$\mathbf{\pi}\sqrt{\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{g}}}$

 l – długość wahadła

Gdy znamy długość wahadła l i okres jego drgań T to przyspieszenie ziemskie ”g” możemy wyznaczyć stosując wzór:

g = $\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}$

Należy zauważyć, że okres drgań wahadła prostego nie zależy od masy kulki oraz amplitudy wahań.

Błędy pomiarów ogólnie dzielimy na pośrednie oraz bezpośrednie. Do błędów pomiarów bezpośrednich zaliczamy błędy grube (wynikające z obliczeń), systematyczne (spowodowane wadliwym urządzeniem) oraz przypadkowe (wynikające z niezdolności wykonującego pomiar).

2.Wykonanie ćwiczenia i opracowanie wyników

W celu wykonania ćwiczenia wykonujemy serię pomiarów długości nici ” l ₁”, licząc od punktu zawieszenia do punktu jej zamocowania na powierzchni kulki. Następnie suwmiarką mierzymy średnicę kulki ”2r”. Wyniki wpisujemy do tabeli (Tabela 1).

Tabela 1. Wyniki pomiarów długości nici oraz średnicy kulki.

Lp.	l 1 [m]	2r [m]
1	0,622	0,0146
2	0,622	0,0146
3	0,623	0,0146
4	0,661	0,0148
5	0,662	0,0144

Aby obliczyć długość wahadła ”l” należy zsumować średnią wartość długości nici oraz promienia kuli.

l = l _1śr + r_śr

W naszym wypadku to będzie:

l = (0,638 + 0,0073) = 0,711[m],

skoro Δl = 0,002[m] to l = (0,711±0,002)m.

Następnie wychylamy kulkę wahadła z położenia równowagi. Skala umieszczona za wahadłem pozwala nam monitorować maksymalną wielkość wychylenia kątowego. Aby ruch wahadła można było traktować jako ruch harmoniczny nie powinno ono przekraczać 5^o. Stoperem należy zmierzyć czas trwania 10 okresów (10T), a w dalszej części wykonać obliczenia pomocnicze (Tabela 2).

Tabela 2. Wyniki pomiarów oraz obliczenia pomocnicze

Lp.	10Ti [s]	Ti	Ti-T	(Ti-Tśr)^2 [s^2]
1	15,9	1,59	-0,05	0,0025
2	16,2	1,62	-0,02	0,0004
3	16,8	1,68	0,04	0,0016
4	16,8	1,68	0,04	0,0016
5	15,9	1,59	-0,05	0,0025
6	16,7	1,67	0,03	0,0009
7	15,9	1,59	-0,05	0,0025
8	16,3	1,63	-0,01	0,0001
9	16,7	1,67	0,03	0,0009
10	16,8	1,68	0,04	0,0016

W celu opracowania wyników należy wyznaczyć średnią arytmetyczną okresu Tśr,
a następnie odchylenie standardowe średniej S_Tśr. Porównując niepewność systematyczną pomiaru Δ_dT, równą dokładności stopera z maksymalną niepewnością przypadkową Δ_pT, wyznaczamy maksymalną niepewność pomiaru okresu ΔT.

Tśr = 1,64s

ΔT = $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{10}{(Ti - Tsr)}^{2}}{10(10 - 1)}}$ = $\sqrt{\frac{0,0146}{90}}$ = 0,04[s]

Następnie wyznaczamy wartość przyspieszenia ziemskiego ”g”.

g = $\frac{4\pi^{2}*l}{T^{2}}$ = 10,425603 $\lbrack\frac{m}{s^{2}}$]

W przypadku dominacji niepewności systematycznych wyznaczamy maksymalną niepewność względną pomiaru pośredniego ”g” oraz niepewność maksymalną korzystając ze wzorów:

$\left( \frac{g}{g} \right)\max{= \ \frac{l}{l} + 2\frac{T}{T}}$ = 0,05159

Δg_max = 0,05159*10,425603 [$\frac{m}{s^{2}}$] = 0,54[$\frac{m}{s^{2}}$]

g = (10,425603 ±0,54) $\frac{m}{s^{2}}$

Podsumowując uzyskane wyniki przeprowadzonych obliczeń otrzymaliśmy wartość przyspieszenia ziemskiego wynoszącą: g = (10,43±0,54) $\frac{m}{s^{2}}$.

3.Wnioski

Porównując uzyskany wynik końcowy do przyspieszenia ziemskiego odpowiadającego miastu Kraków, możemy dostrzec pewną różnicę. Otrzymany przez nas wynik jest obarczony błędem systematycznym, który nie uwzględnił momentu bezwładności:

* kulki, która nie jest punktem materialnym oraz ma skończone wymiary,

* nici, która jest nieważka(zakładaliśmy, że jest),

*parcia powietrza.