Nr ćw. 101	Data: 18.01.2014	Imię i Nazwisko: Marcin Szczukocki Marcin Szczechowicz	Wydział Elektryczny	Semestr I	Grupa EN-2 nr lab.
Prowadzący: mgr Elżbieta Robak	Przygotowanie: Szczukocki, Szczechowicz	Wykonanie: Szczukocki, Szczechowicz	Ocena ostat. :

1. Wstęp teoretyczny

Wahadło matematyczne wykonuje ruch drgający pod wpływem siły ciężkości. Jest ono punktem materialnym zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici. Dla małych wychyleń (do 5o), gdzie kąt wychylenia α ≈ sinα okres ruchu określa wzór:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Wahadło matematyczne jest idealizacją wahadła fizycznego. Wahadło fizyczne natomiast jest bryłą sztywną, który może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad jej środkiem ciężkości. Długość zredukowana wahadła fizycznego to taka, dla której okres drgań tego wahadła jest równy okresowi drgań wahadła matematycznego o tej samej długości :

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l_{r}}{g}}$$

Szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego jest wahadło rewersyjne, które zawiera dwie soczewki z czego jedna jest regulowana, co pozwala wyznaczyć

długość zredukowaną. Jeżeli okresy wahadła zawieszonego w dwóch punktach są sobie równe, oznacza to, że odległość między tymi punktami jest długością zredukowaną. Aby wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego, wystarczy zmierzyć jego długość i okres drgań i przekształcić wzór na okres:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l_{r}}{g}}$$

$$\left( \frac{T}{2\pi} \right)^{2} = \ \frac{l}{g}$$

$$\mathbf{g = \ }\mathbf{l}_{\mathbf{\ }}{\mathbf{(}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi}}{\mathbf{T}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$$

$$\mathbf{g = \ }\mathbf{l}_{\mathbf{\text{r\ }}}{\mathbf{(}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi}}{\mathbf{T}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$$

1. Pomiary i obliczenia dla wahadła rewersyjnego

1. Wahadło rewersyjne zawieszone na osi A, mierzono czas 10 wahnięć.

położenie soczewki [cm]	POMIAR 1[s]	POMIAR 2[s]	POMIAR 3[s]	ŚREDNIA[s]	OKRES TA[s]
20	19,819	19,819	19,819	19,819	1,982
30	19,445	19,443	19,443	19,444	1,944
40	19,170	19,171	19,171	19,171	1,917
50	19,062	19,062	19,063	19,062	1,906
60	19,072	19,071	19,071	19,071	1,907
70	19,193	19,194	19,193	19,193	1,919
80	19,401	19,402	19,401	19,401	1,940
90	19,672	19,673	19,673	19,673	1,967

1. Wahadło rewersyjne zawieszone na osi B, mierzono czas 10 wahnięć.

położenie soczewki [cm]	POMIAR 1[s]	POMIAR 2[s]	POMIAR 3[s]	ŚREDNIA[s]	OKRES TA[s]
20	22,022	22,022	22,024	22,023	2,202
30	19,401	19,399	19,400	19,400	1,940
40	18,825	18,826	18,827	18,826	1,883
50	18,306	18,305	18,307	18,306	1,831
60	18,053	18,049	18,050	18,051	1,805
70	18,267	18,273	18,270	18,270	1,827
80	19,279	19,276	19,276	19,277	1,928
90	22,034	22,008	22,016	22,019	2,202

1. Następnie uzyskane wyniki okresów przedstawiono na wykresie poniżej

Jak widać linie wykresów przecinają się w dwóch punktach, jednak jest to taka sama wartość na osi Y = 1,94[s]. Wartość ta oznacza okres jednakowy dla obu zawieszeń A i B. Według rysunku dołączonego do ćwiczenia, zauważono, że długość wahadła zredukowana l_r = 0,92m. Wówczas wartość przyspieszenia ziemskiego przedstawia się następująco:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l_{r}}{g}}$$

$$g = \ l_{\text{r\ }}{(\frac{2\pi}{T})}^{2}$$

$$g = 0,92m{*(\frac{2\pi}{1,94s})}^{2}\ $$

g = 9, 64 m/s²

Obliczanie błędu metodą różniczki logarytmicznej:

a =$\ {(\frac{2\pi}{T})}^{2}$= 9,68

b= l_r= 0,92

∆a = 0,001s

∆b = 0,01m

$$g = \left( \left| \frac{a}{a} \right| + \left| \frac{b}{b} \right| \right)*g$$

$$g = \left( \left| \frac{0,001}{9,68} \right| + \left| \frac{0,01}{0,92} \right| \right)*9,64$$

g = 0, 106

Zatem wartość przyspieszenia ziemskiego jest równa (9,64±0,106)m/s²

1. Pomiary i obliczenia dla wahadła matematycznego

Długość wahadła l [cm]	POMIAR 1[s]	POMIAR 2[s]	POMIAR 3[s]	ŚREDNIA[s]	OKRES T[s]	g[m/s2]
5	4,464	4,451	4,458	4,458	0,446	9,916
10	6,290	6,290	6,290	6,290	0,629	9,971
15	7,835	7,844	7,840	7,840	0,784	9,627
20	9,017	9,013	9,019	9,016	0,902	9,698

Przykładowe obliczenie przyspieszenia ziemskiego dla l=0,05cm

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

$$g = \ l_{\ }{(\frac{2\pi}{T})}^{2}$$

$$g = 0,05m{*(\frac{2\pi}{0,446s})}^{2}\ $$

g = 9,916 m/s²

Średnie przyspieszenie badane za pomocą wahadła matematycznego wyniosło zatem:

9,803 m/s²

Obliczanie niepewności pomiarowej metodą odchylenia standardowego średniej:

$$\partial = \ \frac{\left( 9,916 - 9,803 \right)^{2\ } + \ \left( 9,971 - 9,803 \right)^{2\ } + \ \left( 9,627 - 9,803 \right)^{2\ } + \left( 9,698 - 9,803 \right)^{2\ }}{4} = = 0,0197$$

$$\sqrt{\partial} = \sqrt{0,0197} = 0,1405\sim\mathbf{0,141}$$

Jak widać przyspieszenie ziemskie zbadane za pomocą wahadła matematycznego wynosi:

(9,803±0,141)m/s²

1. Wnioski

Na podstawie otrzymanych wyników wysnuć można wniosek, że z zastosowanych metod dokładniejsza jest ta przy użyciu wahadła matematycznego (otrzymaliśmy wartość zbliżoną do właściwej wartości przyspieszenia ziemskiego. Dość duże rozbieżności przy wahadle matematycznym wynikać mogły z niedokładnego wykonania pomiaru – za dużego kąta wychylenia kulki czy nadania kulce pewnej prędkości początkowej. W przypadku wahadła rewersyjnego trudność sprawiało dokładne odczytanie położenia soczewki, związane ze zużyciem używanego sprzętu – używana skala była niewyraźna.