Knut Mateusz data: 17.11.2011
Kolasiński Michał

Nr 25
Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego
metodą wahadła rewersyjnego.

1. Cel ćwiczenia:
   Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego metodą wahadła rewersyjnego.

2. Treść teoretyczna ćwiczenia:
   a) wahadło fizyczne – bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej przez dowolny punkt tej bryły poza jego środkiem ciężkości.
   Odległość środka ciężkości wahadła od osi obrotu równa się długości wektora wodzącego środka ciężkości.

Gdy wahadło wychylimy o kąt α, zadziała na nie moment ciężkości względem
osi obrotu O:

$\overrightarrow{M} = \ \overrightarrow{r}\ \times \ \overrightarrow{F} = m\overrightarrow{r}\ \times \ \overrightarrow{g}$

b) przyspieszenie ziemskie – przyspieszenie grawitacyjne ciał swobodnie spadających na Ziemię, bez oporów ruchu. Przyjmuje się, że jest ono równe natężeniu pola grawitacyjnego Ziemi. Za jednostki przyspieszenia ziemskiego przyjmuje się jednostki przyspieszenia:
[ g ] = [ γ] =[ $\frac{N}{\text{kg\ }}$] = [ $\frac{m}{s}$]

Dla obliczeń nie wymagających bardzo wysokiej precyzji przyjmuje się, że wartość przyspieszenia ziemskiego to:
g=9,80665 $\frac{m}{s}$

1. Wyprowadzenie wzoru służącego do obliczenia wartości przyspieszenia ziemskiego:

- Zewnętrzny moment siły $\overrightarrow{M}$ nadaje bryle sztywnej przyspieszenie kątowe proporcjonalne do zewnętrznego momentu siły, zgodnie z nim skierowane lecz odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności:
I = $\frac{d^{2}\alpha}{\text{dt}^{2}}$= m$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{g}$ I – moment bezwładności

- Moment siły ciężkości $\overrightarrow{M}$ ma przeciwny zwrot do drogi kątowej α. Wektor drogi kątowej $\overrightarrow{\alpha}$ ma wartość kąta α, a kierunek i zwrot jest określony regułą śruby prawoskrętnej:

I$\frac{d^{2}\alpha}{\text{dt}^{2}}$=-mgdsinα , ω₀²=$\frac{\text{mgd}}{I}$

$\frac{d^{2}\alpha}{\text{dt}^{2}}$+ω₀²sinα=0 dla małych kątów przyjmujemy, że sinα=α

$\frac{d^{2}\alpha}{\text{dt}^{2}}$+ω₀²α=0 jeśli w czasie t=0, kąt wychylenia wahadła = α₀

α = α₀cosω₀t

T₀=$\frac{2\pi}{\omega_{0}}$=2$\pi\sqrt{\frac{I}{\text{mgd}}}$

$T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{l_{f}}{g}}$

l_f=$\frac{I}{\text{md}}$

- Zgodnie z twierdzeniem Steinera: I=I_s+md² m-masa wahadła
wynika, że: I_s- moment bezwładności
$l_{f} = \frac{I_{s} + md^{2}}{\text{md}}$ , równanie kwadratowe ze względu na d:

d²-l_f+$\frac{I_{s}}{m}$=0

d₁=$\frac{l_{f}}{2} + \sqrt{\frac{{l_{f}}^{2}}{4} - \frac{I_{s}}{m}}$

d₁= $\frac{l_{f}}{2} - \sqrt{\frac{{l_{f}}^{2}}{4} - \frac{I_{s}}{m}}$

- Znając wartości długości zredukowanej l_f i okres wahań T₀ można wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g przekształcając wzór: $T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{l_{f}}{g}}$ , otrzymamy:
g= $\frac{4\pi^{2}}{{T_{0}}^{2}}$

- Bardzo ważną poprawką w wyznaczeniu przyspieszenie ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego jest zależność okresu drgań T wahadła od amplitudy wychylenia α₀. Dla dużych kątów wychylenia ruch wahadła jest ruchem okresowym, ale nie harmonicznym. Dla dowolnych kątów wychylenia α okres drgań jest dłuższy niż dla małych wychyleń i wynosi:

T =T₀ $\left\lbrack 1 + \left( \frac{1}{2} \right)^{2}K^{2} + \left( \frac{1 \bullet 3}{2 \bullet 4} \right)^{2}K^{4} + \left( \frac{1 \bullet 3 \bullet 5}{2 \bullet 4 \bullet 6} \right)^{2}K^{6} + \ \ldots \right\rbrack$, gdzie: K = sin$\frac{\alpha_{0}}{2}$

α₀= amplituda kąta wychylenia

Jeżeli we wzorze powyżej na okres T uwzględnimy przybliżenie do drugiego wyrazu sumy,
to po uwzględnieniu zależności K=sin$\frac{\alpha_{0}}{2}$ otrzymamy:
$T_{0} = \ \frac{T}{1 + \ \frac{1}{4}\sin^{2}\frac{\alpha_{0}}{2}}$

4. Jednostka przyspieszenia ziemskiego:

[ g ] = $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

5. Wykonanie pomiaru zgodnie z rysunkiem obok:

1. Zawiesić wahadło na osi O₁ ( w pobliżu małej soczewki A) i soczewki C należy ustawić odległości x=O₂C=3cm od pryzmatu O₂ ( w pobliżu dużej soczewki B).
2. Zmierzyć czas 10 wahnięć i obliczyć okres T₁.
3. Ostrożnie zdjąć wahadło, odwrócić je i zawiesić na pryzmacie O₂.
4. Zmierzyć czas dla 10 wahnięć i obliczyć okres T₂.
5. Czynności powtórzyć, zwiększając kolejno odległości x soczewki C od osi obrotu O₂ o 0,5cm
i wyznaczyć okresy T₁ i T₂.
6. Wykreślić na papierze milimetrowym dwie krzywe przedstawiające zależności okresu wahań od położenia soczewki C. Jedna krzywa przedstawia zależność T₁ od x, druga T₂ od x.
Punkt przecięcia się tych krzywych wyznacza okres T wahadła rewersyjnego, przy którym odległość pomiędzy pryzmatami jest jego długością zredukowaną l_f.
7. Okres drgań T₀ należy obliczyć ze wzoru: $\mathbf{T}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{T}}{\mathbf{1 + \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{\sin}^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{\alpha}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{2}}}$

8. Obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego.
9. Wartości zapisać w tabel.

6. Tabele z pomiarami:
   

x
T1
T2

T [ s ]	α0 [ rad ]	T0 [ s ]	lf [ m ]	g [$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{\ m}}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ }$]

6. Przyrządy do pomiaru i ich dokładności:
   - wahadło rewersyjne,
   - przymiar wstęgowy,

7. Wzór na niepewność standardową wraz z obliczeniem:

$$u\left( g \right) = \sqrt{\left( - \frac{{4\pi}^{2}}{{T_{0}}^{4}} \right)^{2}u_{T}^{2}} =$$

$$u\left( T_{0} \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial T_{0}}{\partial T} \right)^{2}u_{T}^{2} + \left( \frac{\partial T_{0}}{\partial\alpha_{0}} \right)^{2}u_{\alpha_{0}}^{2}} =$$

$$\frac{\partial T_{0}}{\partial T} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}\left( \sin\frac{\alpha}{2} \right)^{2}} =$$

$$\frac{\partial T_{0}}{\partial\alpha_{0}} = \frac{1 + \frac{1}{4}\left( \sin\frac{\alpha}{2} \right)^{2} - T\left( \frac{1}{2}\sin\frac{\alpha}{2} \right)\frac{1}{2}}{\left( 1 + \frac{1}{4}\left( \sin\frac{\alpha}{2} \right)^{2} \right)^{2}} = \ $$

6. Wnioski: