Wahadło Rewersyjne

WSTĘP TEORETYCZNY

Przyspieszenie ziemskie – przyspieszenie grawitacyjne ciał swobodnie spadających na Ziemię, bez oporów ruchu.

Pomijając przyspieszenie wywołane ruchem obrotowym ciała niebieskiego, przyjmuje się, że jest równe natężeniu pola grawitacyjnego Ziemi. Jednostkami przyspieszenia ziemskiego są jednostki przyspieszenia:

Do obliczeń nie wymagających bardzo wysokiej precyzji przyjmuje się tzw. przyspieszenie ziemskie normalne, oznaczane g_n:

$$g_{n} = 9,80665\ \frac{m}{s^{2}}$$

Zmienność przyspieszenia ziemskiego

Wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. Wraz z wysokością przyspieszenie maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości do środka Ziemi i jest wynikiem zmniejszania się siły grawitacji zgodnie z prawem powszechnego ciążenia. Zmniejszanie się przyspieszenia ziemskiego wraz z zmniejszaniem szerokości geograficznej jest spowodowane działaniem pozornej siły odśrodkowej, która powstaje na skutek ruchu obrotowego Ziemi. Ponieważ siła ta jest proporcjonalna do odległości od osi obrotu, stąd największą wartość osiąga na równiku. Ponieważ siła odśrodkowa ma tu zwrot przeciwny do siły grawitacji, przyspieszenie ziemskie na równiku osiąga najmniejszą wartość. Dodatkowe zmniejszenie przyspieszenia ziemskiego w okolicach równika spowodowane jest spłaszczeniem Ziemi (większą odległością od środka Ziemi).

Nie obserwuje się zależności przyspieszenia ziemskiego od długości geograficznej.

Poza ruchem obrotowym Ziemi i jej niesferycznym elipsoidalnym kształtem, również inne czynniki powodują zróżnicowanie przyspieszenia ziemskiego. Dokładne jego pomiary wykazują wahania wartości, w zależności od położenia. Jest to spowodowane między innymi różnicami w rzeźbie terenu, gęstości skał podłoża i rozkładzie tej gęstości w skorupie ziemskiej. Pewną zmienność przyspieszenia grawitacyjnego w czasie powoduje oddziaływanie innych ciał Układu Słonecznego, przede wszystkim Księżyca i Słońca.

Wahadło rewersyjne (odwracalne) to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego.

Składa się ono z metalowego pręta, dwóch ostrzy O i O`, na których można je zawieszać oraz z dwóch lub trzech metalowych brył w kształcie soczewki (by zmniejszyć opory powietrza), z których jedna może być przesuwana po pręcie, pozwala to na zmianę okresu drgań wahadła. Zastosowanie takiej konstrukcji pozwala na wyeliminowane ze wzorów wielkości trudno mierzalnych, takich jak moment bezwładności i odległość do środka masy. Przy odpowiednio dobranym położeniu masy ruchomej okres drgań wahadła dla obu zawieszeń jest jednakowy i odpowiada okresowi drgań wahadła matematycznego o długości równej odległości między osiami obrotu. Odległość ta jest nazywana długością zredukowaną wahadła. Wahadło pozwala wyznaczyć dokładnie wartość przyspieszenia ziemskiego:

$$g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$$

gdzie:

l - odległość między punktami zawieszenia wahadła (osiami),

T - okres drgań wahadła.

Długość zredukowana – jeden z parametrów wahadła fizycznego. Jest to taka długość wahadła matematycznego, które wykonuje drgania o takim samym okresie jak dane wahadło fizyczne. Wartość długości zredukowanej wyraża się równaniem:

$$l_{r} = \frac{I}{\text{ml}}$$

gdzie:

I – moment bezwładności wahadła względem osi obrotu (kg·m²),

m – masa wahadła (kg),

l – odległość od osi obrotu do środka ciężkości (m).

Znajomość długości zredukowanej wahadła fizycznego pozwala na obliczenie jego okresu ze wzoru na okres wahadła matematycznego

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l_{r}}{g}}$$

Aby wyznaczyć długość zredukowaną, wykorzystuje się właściwość wahadła fizycznego polegającą na tym, że jeśli wahadło zawieszone jest na osi przechodzącej przez punkt A, a następnie przez punkt B posiada ten sam okres, wówczas odległość między tymi punktami jest długością zredukowaną tego wahadła. Właściwość ta wykorzystywana jest w wahadle rewersyjnym.

CEL ĆWICZENIA

Celem wykonanego ćwiczenia było wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła rewersyjnego.

OPIS METODY POMIAROWEJ I UZYSKANE POMIARY

Schemat układu pomiarowego

Wahadło matematyczne
Pokrętło do zmiany długości wahadła matematycznego
Wspornik górny
Kolumna z dwoma wspornikami
Wahadło rewersyjne
Wspornik dolny

Opis wykonywanego ćwiczenia

zmierzono odległość l₀ między ostrzami wahadła
zawieszono wahadło na ostrzu zamocowanym na końcu pręta
wprowadzono w ruch i zmierzono czas 10 okresów (starano się, aby kąt wychylenia nie był większy od 20°)
następnie zawieszono wahadło na drugim ostrzu i ponownie mierzono czas 10 okresów
czynności opisane powyżej wykonywano dla położeń ciężarka, zmienianych co 2 cm
wyniki przedstawiono w poniższej tabeli:

Odległość między ostrzami l₀	46 cm
	0,46 m
Ilość okresów N	10
Lp.	x, cm	x, m	ostrze A
			t_A, s
1	4	0,04	13,587
2	6	0,06	13,410
3	8	0,08	13,205
4	10	0,1	13,091
5	12	0,12	13,011
6	14	0,14	12,945
7	16	0,16	12,901
8	18	0,18	12,879
9	20	0,2	12,866
10	22	0,22	12,876
11	24	0,24	12,902
12	26	0,26	12,936
13	28	0,28	12,983
14	30	0,3	13,049
15	32	0,32	13,117
16	34	0,34	13,194
17	36	0,36	13,287
18	38	0,38	13,386
19	40	0,4	13,487
20	42	0,42	13,595
21	44	0,44	13,711

sporządzono wykres zależności okresu wahań od odległości ciężarka od ostrza A (dla obydwu sposobów zawieszenia)
z wykresu określono położenia x₁ i x₂ ciężarka, przy których okresy drgań są najbardziej zbliżone:

x₁ = 0,04 m

x₂ = 0,44 m

pomiary powtórzono dla odległości odległych o 1cm od x₁ i x₂:

Odległość między ostrzami l₀	46 cm
	0,46 m
Ilość okresów N	10
Lp.	x, cm	x, m	ostrze A
			t_A, s
1	3	0,03	13,683
2	4	0,04	13,587
3	5	0,05	13,491
4	43	0,43	13,648
5	44	0,44	13,711
6	45	Pomiar nie możliwy, gdyż pręt ocierał się o pryzmaty na których został zawieszony.

z powyższej tabeli określono nowe, dokładniejsze, położenia x₁ i x₂ ciężarka, przy których okresy drgań są najbardziej zbliżone:

x₁ = 0,03 m

x₂ = 0,44 m

dla położeń x₁ i x₂ przeprowadzono pomiar czasu trwania 100 okresów:

Odległość między ostrzami l₀	46 cm
	0,46 m
Ilość okresów N	100
	x, cm	x, m	ostrze A
			t_A, s
x₁	3	0,03	135,899
x₂	44	0,44	137,153

stwierdzono, że dla położenia x₂ = 0,44m czasy wykonywanych okresów dla obu zawieszeń wahadła były najbardziej zbliżone, dlatego też dla niego obliczano dalej wartość przyspieszenia ziemskiego

OBLICZENIA

Obliczono niepewności czasów dla obu ostrzy.

Najpierw wyznaczono dokładność pomiaru czasu, która wynosi 0,02% wskazania:

t = 0, 02% t,

a następnie zamieniono ją na niepewność standardową, stosując wzór:

$$u\left( t \right) = \frac{t}{\sqrt{3}}$$

ostrze A	ostrze B
Lp.	t_A, s
1	13,587
2	13,410
3	13,205
4	13,091
5	13,011
6	12,945
7	12,901
8	12,879
9	12,866
10	12,876
11	12,902
12	12,936
13	12,983
14	13,049
15	13,117
16	13,194
17	13,287
18	13,386
19	13,487
20	13,595
21	13,711
dodatkowe pomiary:
22	13,648
23	13,683
24	13,491
dla 100 okresów:
x₁	135,899
x₂	137,153

Policzono okres drgań dla każdego położenia ciężarka.

$f = \frac{n}{t}$ $T = \frac{1}{f} = \frac{t}{n}$

T – okres drgań,

f – częstotliwość,

n – liczba drgań,

t – czas, w którym te drgania zostały wykonane

oraz obliczono niepewność okresu stosując prawo propagacji niepewności:

$u\left( T \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial T}{\partial t} \bullet u(t) \right\rbrack^{2}}$,

dla 10 okresów: $u\left( T \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{1}{10} \bullet u(t) \right\rbrack^{2}}$

dla 100 okresów: $u\left( T \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{1}{100} \bullet u(t) \right\rbrack^{2}}$

	ostrze A	ostrze B
Lp.	t_A, s	T_A, s
1	13,587	1,3587
2	13,410	1,3410
3	13,205	1,3205
4	13,091	1,3091
5	13,011	1,3011
6	12,945	1,2945
7	12,901	1,2901
8	12,879	1,2879
9	12,866	1,2866
10	12,876	1,2876
11	12,902	1,2902
12	12,936	1,2936
13	12,983	1,2983
14	13,049	1,3049
15	13,117	1,3117
16	13,194	1,3194
17	13,287	1,3287
18	13,386	1,3386
19	13,487	1,3487
20	13,595	1,3595
21	13,711	1,3711
dodatkowe pomiary:
22	13,648	1,3648
23	13,683	1,3683
24	13,491	1,3491
dla 100 okresów:
x₁	135,899	1,35899
x₂	137,153	1,37153

Powyższe obliczenia zestawiono w jednej tabeli zbiorczej z zastosowaniem poprawnego zapisu niepewności:

		ostrze A	ostrze B
Lp.	x, cm	x, m	t_A, s
1	4	0,04	13,5870(16)
2	6	0,06	13,4100(15)
3	8	0,08	13,2050(15)
4	10	0,1	13,0910(15)
5	12	0,12	13,0110(15)
6	14	0,14	12,9450(15)
7	16	0,16	12,9010(15)
8	18	0,18	12,8790(15)
9	20	0,2	12,8660(15)
10	22	0,22	12,8760(15)
11	24	0,24	12,9020(15)
12	26	0,26	12,9360(15)
13	28	0,28	12,9830(15)
14	30	0,3	13,0490(15)
15	32	0,32	13,1170(15)
16	34	0,34	13,1940(15)
17	36	0,36	13,2870(15)
18	38	0,38	13,3860(15)
19	40	0,4	13,4870(16)
20	42	0,42	13,5950(16)
21	44	0,44	13,7110(16)
dodatkowe pomiary:
22	3	0,03	13,6480(16)
23	5	0,05	13,6830(16)
24	43	0,43	13,4910(16)
dla 100 okresów:
x₁	3	0,03	135,899(16)
x₂	44	0,44	137,153(16)

Dla położenia x₂ obliczono średni okres T₀ oraz jego niepewność u(T₀):

	T_A, s	u(T_A), s	T_B, s	u(T_B), s
x₂	1,37153	0,00016	1,36961	0,00016

T₀ = 1,37057 s

u(T₀) = 0,00016 s

T₀ = 1,37057(16) s

Wyznaczono niepewność odległości między ostrzami l₀:

Dokładność: Δl₀ = 1mm = 0,001 m

Niepewność standardowa: $\mathbf{u}\left( \mathbf{l}_{\mathbf{0}} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{\Delta}\mathbf{l}_{\mathbf{0}}}{\sqrt{\mathbf{3}}}\mathbf{= 0,00058\ m}$

Obliczono wartość przyspieszenia ziemskiego.

$$g = 4\pi^{2}\frac{l_{0}}{{T_{0}}^{2}}$$

gdzie:

l₀ = 0,46 m

T₀ = 1,37057 s

π = 3,14159

$$\mathbf{g = 9,667505\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$$

Korzystając z prawa propagacji niepewności wyznaczono niepewność standardową u(g).

Skorzystano ze wzoru:

$u\left( g \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial g}{\partial T_{0}} \bullet u(T_{0}) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\partial g}{\partial l_{0}} \bullet u(l_{0}) \right\rbrack^{2}}$,

który po zróżniczkowaniu przyjął postać:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{g} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left\lbrack \mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\left( \frac{\mathbf{- 2}\mathbf{l}_{\mathbf{0}}}{{\mathbf{T}_{\mathbf{0}}}^{\mathbf{3}}} \right)\mathbf{\bullet u(}\mathbf{T}_{\mathbf{0}}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left\lbrack \mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\frac{\mathbf{1}}{{\mathbf{T}_{\mathbf{0}}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\bullet u(}\mathbf{l}_{\mathbf{0}}\mathbf{)} \right\rbrack^{\mathbf{2}}}\mathbf{= 0,012\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$$

A zatem, przyspieszenie ziemskie wyniosło:

$$\mathbf{g = 9,668(12)\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$$

Obliczono niepewność rozszerzoną U(g).

U(g) = k • u(g)

gdzie:

k = 2 – bezwymiarowy współczynnik rozszerzenia (umownie przyjmuje się jego wartość równą 2)

$$\mathbf{U}\left( \mathbf{g} \right)\mathbf{= 2 \bullet 0,012 = 0,024}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{\ }\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ }$$

Przyspieszenie ziemskie, z uwzględnioną niepewnością rozszerzoną wyniosło:

$$\mathbf{g = (9,668 \pm 0,024)\ }\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$$

$$g_{0} = 9,80665\ \frac{m}{s^{2}}$$

Wynik pomiaru uważa się za zgodne z wartością tablicową, jeżeli zachodzi zależność:

|g−g₀| < U(g)

$$0,139145\ \frac{m}{s^{2}\ } > 0,024\ \frac{m}{s^{2}}$$

|g−g₀| > U(g)

Z tego wynika, że otrzymana wartość przyspieszenia ziemskiego nie jest zgodna z wartością tablicową.

WNIOSKI

Przeprowadzony test zgodności dowiódł, że otrzymany wynik jest różny od wartości tablicowej. Może świadczyć to o występowaniu nieuwzględnionego w analizie błędu systematycznego lub grubego.

Niedoskonałości, jakie pojawiły się podczas wykonywania ćwiczenia, były głównie wynikiem precyzji odczytu odległości między ciężarkami, dokładności wykorzystywanych przyrządów oraz problemów z prawidłowym wprawieniem wahadła w ruch i dopilnowaniem, aby kąt wychylenia nie przekraczał 20°.

BIBLIOGRAFIA

1. http://users.uj.edu.pl/~ufkamys/BK/smop1N_h.pdf

2. http://www.ftj.agh.edu.pl/zdf/danepom.pdf

3. http://mostowicz.pl/laby/fizyka/lab122-przerwa_energetyczna_w_germanie.pdf

4. T. Szymczyk, S. Rabiej, E. Pielesz, Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne, Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa – Bielsko-Biała, 2009