Sprawozdanie

Zadanie polegało na obliczeniu empirycznego momentu bezwładności danej bryły sztywnej i porównaniu go do momentu bezwładności wyliczonego z własności geometrycznych bryły.

Po zmierzeniu wszystkich potrzebnych wymiarów zarówno dla pręta jak i dla pierścienia, przystąpiliśmy do mierzenia okresu drgań danej bryły. Wszystkie wyniki dołączone są do sprawozdania. Wartość średnia okresu drgań jest średnią arytmetyczną wszystkich okresów, a niepewność tej wielkości obliczyliśmy ze wzoru (przykład dla pręta):

$$u_{\left( T \right)} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( T_{i} - T_{s} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}} = 0,0011$$

Wartości tych niepewności dla obu brył zapisane są w odpowiedniej tabeli.

Poniższe obliczenia będą prowadzone dla pręta. Wszystkie wyniki dla pierścienia dołączone są do sprawozdania.

Następnie ze wzoru:

$$I_{0} = \frac{\text{mga}T^{2}}{4\pi^{2}}\ \left\lbrack kg \bullet \frac{m}{s^{2}} \bullet m \bullet s^{2} = kg \bullet m^{2} \right\rbrack$$

$$I_{0} = \frac{0,65 \bullet 9,81 \bullet 0,2685 \bullet {1,3291}^{2}}{4\pi^{2}} = 0,07667$$

Niepewność tego wyniku obliczaliśmy z prawa propagacji niepewności:

$$u_{\left( I_{0} \right)} = \sqrt{\left( \frac{dI_{0}}{\text{dm}}u_{(m)} \right)^{2} + \left( \frac{dI_{0}}{\text{da}}u_{\left( a \right)} \right)^{2} + \left( \frac{dI_{0}}{\text{dT}}u_{\left( T \right)} \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{\text{ga}T^{2}}{4\pi^{2}}u_{\left( m \right)} \right)^{2} + \left( \frac{\text{mg}T^{2}}{4\pi^{2}}u_{\left( a \right)} \right)^{2} + \left( \frac{\text{mgaT}}{4\pi^{2}}u_{\left( T \right)} \right)^{2}}$$

Dla pręta jest równa:

$$u_{\left( I_{0} \right)} = 0,00019\ \left\lbrack \sqrt{\left( \frac{m}{s^{2}} \bullet m \bullet s^{2} \bullet kg \right)^{2}} = kg \bullet m^{2} \right\rbrack$$

Znając I₀, mogliśmy obliczyć I_S posługując się wzorem:

I_S = I₀ − ma² = 0, 07667 − 0, 65 • 0, 2685² = 0, 02982

I w tym przypadku posłużyliśmy się prawem propagacji, aby obliczyć niepewność:

$$u_{\left( I_{S} \right)} = \sqrt{\left( \frac{dI_{S}}{dI_{0}}u_{\left( I_{0} \right)} \right)^{2} + \left( \frac{dI_{S}}{\text{dm}}u_{\left( m \right)} \right)^{2} + \left( \frac{dI_{S}}{\text{da}}u_{\left( a \right)} \right)^{2}} = \sqrt{\left( u_{\left( I_{0} \right)} \right)^{2} + \left( a^{2}u_{\left( m \right)} \right)^{2} + \left( - mau_{\left( a \right)} \right)^{2}}$$

u_(IS) = 0, 00022

Kolejnym krokiem było obliczenie momentu bezwładności ze wzoru geometrycznego. Wartość dla pręta: $I_{S}^{\left( \text{geom.} \right)} = \frac{ml^{2}}{12}$, dla pierścienia: $I_{S}^{\left( \text{geom.} \right)} = \frac{m\left( R^{2} + r^{2} \right)}{2}$. Z wyliczeń dla pręta wynika, że:

$I_{S}^{\left( \text{geom.} \right)} = \frac{0,65 \bullet {0,2685}^{2}}{12} = 0,029582$,

a niepewność tego wyniku jest równa:

$u_{\left( I_{S}^{\left( \text{geom.} \right)} \right)} = \sqrt{\left( \frac{dI_{S}}{\text{dm}}u_{\left( m \right)} \right)^{2} + \left( \frac{dI_{S}}{\text{dl}}u_{\left( l \right)} \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{l^{2}}{12}u_{\left( m \right)} \right)^{2} + \left( \frac{\text{ml}}{12}u_{\left( l \right)} \right)^{2}} = 3,5 \bullet 10^{- 5}$.

Ostatnim krokiem jest obliczenie stosunku:

$k = \frac{\left| I_{S} - I_{S}^{\left( \text{geom.} \right)} \right|}{\sqrt{\left( u_{\left( I_{S} \right)} \right)^{2} + \left( u_{\left( I_{S}^{\left( \text{geom.} \right)} \right)} \right)^{2}}} = 1,048$.

Dla pierścienia ta wartość jest równa k = 0, 939.

Pręt	I0 z okresu drgań [kgm^2]	IS z tw. Steinera [kgm^2]	IS z pomiarów geometrycznych [kgm^2]
Wartość	0,07667	0,02982	0,029582
Niepewność	0,00019	0,00022	0,000035

Pierścień	I0 z okresu drgań [kgm^2]	IS z tw. Steinera [kgm^2]	IS z pomiarów geometrycznych [kgm^2]
Wartość	0,05021	0,02503	0,025275
Niepewność	0,00023	0,00025	0,000079

Wnioski:

Jak wynika z obliczeń, metoda geometryczna wyznaczania momentu bezwładności jest dokładniejsza od metody empirycznej o mniej więcej rząd wielkości. Dodatkowo wartość stosunku k pokazuje, że obliczenia zostały wykonane prawidłowo, a wielkości wyliczone obiema metodami są zgodne.