Ruch obrotowy

Ruch obrotowy jednostajny

Na co dzień każdy z nas spotyka się z ruchem obrotowym. W technice stosuje się często różnego rodzaju wały lub koła. W ruchu tym torem ruchu punktu jest okrąg, natomiast torem ruchu wszystkich punktów ciała poruszającego się ruchem obrotowym są okręgi współśrodkowe, przy czym środki tych okręgów leżą na jednej prostej, niebiorącej udziału w ruchu i zwanej osią obrotu.



r, r₁ - promienie wodzące

s, s₁ - drogi liniowe

Na rysunku zostały przedstawione drogi przebyte przez punkty A i B w jednakowym czasie. Odpowiadający drogom liniowym kąt obrotu ciał jest równy dla wszystkich punktów biorących udział w ruchu i nosi nazwę drogi kątowej.

- droga kątowa

Zgodnie z określeniem miary łukowej kąta , mamy:

Droga liniowa s dowolnego punktu obracającego się ciała jest równa iloczynowi drogi kątowej a i jego promienia wodzącego r.

Do określanie ruchu obrotowego używa się wielkości zwanej prędkością kątową.

Prędkością kątową nazywany stosunek przyrostu drogi kątowej do przyrostu czasu, w którym została zakreślona.

Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę (rad/s).

Ruchem obrotowym jednostajnym nazywamy taki ruch, w którym zakreślona droga kątowa jest wprost proporcjonalna do czasu, a więc w którym prędkość kątowa ma wartość stałą.

W ruchu obrotowym jednostajnym prędkość kątowa jest równa:



Każdy punkt ciała poruszającego się ruchem obrotowym jednostajnym ma również określoną prędkość liniową, która wynosi:

Prędkość liniowa dowolnego punktu obracającego się ciała jest równa iloczynowi prędkości kątowej i promienia wodzącego tego punktu.

W opisie ruchu obrotowego jednostajnego używa się także częstotliwości i okresu obrotu.

T - okres obrotu, czyli czas jednego całkowitego obrotu
f - częstotliwość, czyli liczba pełnych obrotów wykonanych w czasie jednej sekundy



Uwzględniając częstotliwość i okres obrotu, wzory na prędkość kątową i prędkość liniową przybierają postać:

Ruch obrotowy jednostajnie zmienny

W ruchu obrotowym zmiennym prędkość kątowa nie jest wielkością stałą. Wyznaczyć można w tym ruchu średnią prędkość kątową (korzystając ze wzoru na prędkość kątową w ruchu obrotowym jednostajnym) oraz prędkość chwilową, która jest określana jako granica, do której dąży stosunek przyrostu drogi kątowej do przyrostu czasu, gdy przyrost ten dąży do zera:



Najczęściej w czasie rozruchu i hamowania kół, spotykamy się z ruchem obrotowym jednostajnie zmiennym, w którym stosunek przyrostu prędkości kątowej do przyrostu czasu, w którym ten przyrost zachodzi, jest wielkością stałą i nosi nazwę przyspieszenia kątowego.



Jednostką przyspieszenia kątowego jest rad/s². Przyspieszenie kątowe jest wektorem i ma kierunek przyrostu prędkości kątowej.

W ruchu tym istnieje również przyspieszenie liniowe, które jest równe:



Podstawiając i , otrzymujemy zależność między przyspieszeniem liniowym a przyspieszeniem kątowym:

Przyspieszenie liniowe dowolnego punktu obracającego się ciała jest równe iloczynowi przyspieszenia kątowego i promienia wodzącego tego punktu.

Równanie prędkości kątowej ruchu obrotowego jednostajnie zmiennego:



Równanie drogi kątowej tego ruchu:

Moment obrotowy

Na ruch obrotowy ciał ma wpływ nie tylko wielkość i kierunek działającej siły, ale również położenie jej linii działania. Rozważmy to na przykładzie krążka umieszczonego obrotowo na osi O.



Jeżeli siła będzie działać wzdłuż linii:

• 1 - to krążek będzie się obracał dookoła osi O zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara,

• 2 - to krążek będzie się obracał dookoła osi O przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara,

• 3 - to krążek zostanie dociśnięty do osi obrotu O i pozostanie nieruchomy.

Jak widzimy skutek działania siły na ciało zależy więc nie tylko od jej wielkości, ale również od położenia linii działania siły względem określonego punktu. W naszym przykładzie mówimy, że w przypadku pierwszym i drugim istnieje moment siły, a w przypadku trzecim nie występuje moment siły, więc krążek pozostaje nieruchomy.

Momentem M siły F względem dowolnego punktu O lub momentem obrotowym nazywamy wektor, którego wartość równa jest iloczynowi ramienia r siły F, a więc odległości linii działania siły od punktu O oraz siły F.

Jednostką momentu siły w układzie SI jest niutonometr ( ).



Moment siły względem punktu O jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której leży ten punkt i linia działania siły F. Ma on znak:

1. dodatni, gdy siła jest skierowana względem punktu O i obraca ciała zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara

2. ujemny, gdy kierunek obrotu ciała jest przeciwny

3. jest równy zeru, gdy linia działania siły przechodzi przez punkt O

Praca i moc w ruchu obrotowym

Wprawienie ciała w ruch obrotowy związane jest z wykonaniem pracy. Również utrzymanie ciała w ruchu obrotowym jednostajnym, pokonując siły przeciwdziałające mu, wiąże się z wykonaniem pracy. Załóżmy, że na obwodzie tarczy obracającej się jednostajnie dookoła osi, dział stała siła F, pokonująca opory ruchu.



Po czasie t siła pokonała drogę liniową s. Wykonana praca przez tę siłę, wyraża się wzorem:



Podstawiając do wzoru moment siły, otrzymujemy:

Jeśli moment siły utrzymujący ciało w ruchu obrotowym zachowuje stałą wartość, to wykonana przez niego praca jest równa iloczynowi momentu siły i drogi kątowej.

Moc wyraża się stosunkiem pracy do czasu, w którym ta praca została wykonana, a więc:



W ruchu obrotowym jednostajnym . Podstawiając to wyrażenie do wzoru na moc, otrzymujemy:

Moc w ruchu obrotowym jednostajnym jest iloczynem działającego na ciało momentu obrotowego i jego prędkości kątowej.

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym. Moment bezwładności

Rozważmy energię kinetyczną ciała, znajdującego się w ruchu obrotowym jednostajnym. Zakładamy, że ciało to ma postać tarczy o masie m i składa się z bardzo dużej ilości elementów o masach m1,m2,...,mn, które są tak małe, że można je przyjąć za punkty materialne. Tarcza ta obraca się dookoła osi przechodzącej przez jej środek ciężkości ze stałą prędkością kątową.



Energia pojedynczego elementu wynosi:



a więc energia kinetyczna całej tarczy jest sumą energii kinetycznych poszczególnych elementów:



Wyłączamy przed znak sumy stałą wartość :



Wyrażenie nazywamy momentem bezwładności J ciała względem osi obrotu. Jednostką momentu bezwładności jest iloczyn jednostki masy i kwadratu jednostki długości ( ).

Zatem energia kinetyczna ciała wynosi:

Energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi przechodzącej przez jego środek ciężkości jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności tego ciała względem osi obrotu i kwadratu jego prędkości kątowej.

Momenty bezwładności ciał o określonych kształtach geometrycznych (liczone są one zazwyczaj za pomocą wzorów wyprowadzonych przy użyciu rachunku całkowego):

• 

• 

• 

• 

• 

• 

TWIERDZENIE STEINERA

Wyraża on zależność między momentem bezwładności ciała względem danej osi, a jego momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy i równoległej do poprzedniej.





J - moment bezwładności względem dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek masy

- moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy

m - całkowita masa ciał

r - odległość między osiami

Podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego

Zgodnie z zasadą bezwładności tylko siła zewnętrzna może zmienić ruch ciała. Jeżeli natomiast działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym. Zasada ta obowiązuje również w ruchu obrotowym, ale trochę w zmienionej treści:

Jeśli momenty wszystkich sił działających na ciało równoważą się wzajemnie, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym (z prędkością kątową stałą co do wielkości i kierunku).

Rozważmy przypadek, gdy na punkt materialny o masie m związany z osią obrotu i mogący się wokół niej obracać po torze o promieniu r, działa stała siła F (co do wielkości), której moment M wynosi Fr. Pod wpływem tej siły, punkt materialny uzyska przyspieszenie a:



Podstawiamy zamiast a wyrażenie :



Uzyskaliśmy wzór na moment siły, działający na ten punkt materialny. Podobne rozważanie moglibyśmy przeprowadzić dla każdego elementu ciała obracającego się dookoła osi przechodzącej przez środek ciężkości, którego masa wynosi:



A więc aby ciało uzyskało przyspieszenie kątowe , trzeba na nie działać momentem obrotowym M, równym sumie momentów obrotowych poruszających poszczególne elementy:



Zatem uzyskaliśmy podstawowe równanie dynamiki ruchu obrotowego:

Niezrównoważony moment siły działając na ciało nadaje mu przyspieszenie kątowe, które jest wprost proporcjonalne do momentu bezwładności ciała, przy czym jest ono skierowane tak samo jak moment siły.

Porównując wzory dynamiki ruchu obrotowego i ruchu postępowego widzimy, iż moment bezwładności w ruchu obrotowym spełnia taką samą rolę jak masa w ruchu postępowym, natomiast moment siły odgrywa w ruchu obrotowym taką rolę jak siła w ruchu postępowym.

Moment pędu. Prawo zachowania momentu pędu

Moment pędu odrywa w dynamice ruchu obrotowego tę samą rolę, co pęd w ruchu postępowym. Jest on równy iloczynowi pędu i promienia wodzącego, jeśli punkt materialny porusza się po okręgu:



Jednostką momentu pędu jest .

Moment pędu jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny, w której leży promień wodzący i prędkość liniowa, skierowanym tak, jak skierowana jest prędkość kątowa.

Dla ciała o masie m obracającego się dookoła osi przechodzącej przez środek ciężkości, składającego się dużej ilości elementów, moment pędu wynosi:

Moment pędu ma wartość równą iloczynowi momentu bezwładności przez prędkość kątową i jest skierowany tak, jak ta prędkość.

Spróbujmy powiązać ze sobą zależnością moment obrotowy i moment pędu. Korzystamy z podstawowego równania ruchu obrotowego:



ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU

Jeżeli na ciało nie działa żaden moment siły, to jej moment pędu pozostaje stały.

Bryła sztywna

Bryła sztywną nazywamy ciało, którego punkty pozostają w niezmieniających się odległościach od siebie, niezależnie od działających sił.

W ruchu postępowym każdy punkt bryły sztywnej ma taką samą prędkość liniową. W ruchu obrotowym im dalej od osi obrotu, tym większa prędkość liniowa, prędkość kątowa natomiast pozostaje bez zmian.