Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

12-1

Wykład 12 

12.

 

Ruch obrotowy 

12.1

 

Wstęp 

Mówiąc o środku masy wspominaliśmy o ruchu obrotowym oraz o toczeniu się ciał. 

DuŜym ułatwieniem w analizie układów cząstek jest moŜliwość rozpatrywania oddziel-
nego  ruchu  postępowego  i  ruchu  obrotowego.  Aby  wprowadzić  to  uproszczenie  zdefi-
niujemy dwie nowe wielkości: 

moment pędu

 i 

moment siły

. Zasada zachowania momen-

tu pędu jest równie istotna jak zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii. 

12.2

 

Kinematyka ruchu obrotowego 

Musi w pierwszym kroku wypracować ujęcie matematyczne dla ruchu obrotowego. 

Dla  ruchu  obrotowego  wielkością  analogiczną  do  przesunięcia  jest 

przesunięcie  kąto-

we 

θ

. Kąt 

θ

 określa połoŜenie punktu względem układu odniesienia. Dla ruchu po okrę-

gu,  z definicji  miary  łukowej  kąta 

θ

  =  S/R.  (w  radianach).  Kątową  analogią  prędkości 

v

 = dx/dt jest 

prędkość kątowa

 

ω

. 

 

 

t

d

d

θ

ω

=

 

(12.1) 

 
Dla ruchu po okręgu 

v

 

= 

ω

 R. 

W  przypadku  ruchu jednostajnego po  okrę-
gu 

ω

 jest nazywane 

częstością kątową

 i jest 

związana z częstotliwością f relacją 
 

ω

 = 2

π

f 

 

Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = d

v

/dt zostało zdefiniowane przyspieszenie ką-

towe 

α

. 

 

 

t

d

d

ω

α

=

 

(12.2) 

 
Dla ruchu po okręgu związek pomiędzy a i 

α

 jest analogiczny do związku pomiędzy 

v 

i 

ω

 tzn. a = 

α

R. MoŜemy teraz np. podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspiesze-

niem 

α

 poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. 

 

Ruch postępowy 

Ruch obrotowy 

a = const 

v

 = 

v

0

 + at 

s = s

0

 + 

v

0

t + (1/2)at

2

 

α

 = const 

ω

 = 

ω

0

 + 

α

t 

θ

 =

θ

0

 + 

ω

0

t + (1/2)

α

t

2

 

θ

R

S

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

12-2

Kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej 

ω

ωω

ω

 i przyspieszenia kątowego 

αααα

 

w ruchu 

obrotowym są pokazane na rysunku poniŜej. 

12.3

 

Dynamika ruchu obrotowego 

12.3.1

 

Moment siły 

W  ruchu  postępowym  siłę  wiąŜemy  z  liniowym  przyspieszeniem  ciała.  Jaką  wiel-

kość będziemy wiązać z przyspieszeniem kątowym? 
Nie  moŜe  być  to  tylko  siła  bo  jak  pokazuje  doświadczenie  np.  z  otwieraniem  drzwi 
przyspieszenie  kątowe  zaleŜy  od  tego gdzie i pod  jakim  kątem  jest przyłoŜona siła. W 
szczególności siła przyłoŜona w miejscu zawiasów zarówno wzdłuŜ jak i prostopadle do 
nich  nie  wytwarza  Ŝadnego  przyspieszenia.  Natomiast  siła  przyłoŜona  do  drzwi  na  ich 
zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie. 
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest 

moment siły

 (tzw. 

moment obrotowy) 

ττττ

. 

JeŜeli siła F działa na cząstkę to moment siły jest definiowany jako 
 
 

F

r

τ

×

=

 

(12.3) 

 
gdzie wektor r reprezentuje połoŜenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu 
odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna wyno-
si: 

τ

 = rFsin

θ

  (iloczyn  wektorowy).  Wielkość  r  nazywamy  ramieniem  siły  (widać,  Ŝe 

bierzemy albo r

⊥

 albo F

⊥

). 

12.3.2

 

Moment pędu 

Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do 

pędu. Wielkość L będziemy nazywać 

momentem pędu

 i definiujemy ją 

 
 

p

r

L

×

=

 

(12.4) 

 
gdzie p jest pędem cząstki, a r reprezentuje połoŜenie cząstki względem wybranego in-
ercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi rpsin

θ

 i analogicznie do momentu siły 

wielkość rsin

θ

 nazywamy ramieniem pędu. 

ω

α

ω

α

ruch przyspieszony

ruch opóźniony

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

12-3

Istnieje bezpośrednia zaleŜność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Zacznijmy 
od  znanej  zaleŜności,  Ŝe  siła  F  =  dp/dt  (dla  pojedynczej  cząstki).  MnoŜąc  wektorowo 
obie strony przez r otrzymujemy 
 

t

d

d p

r

F

r

×

=

×

 

 

F

r

×

jest momentem siły 

ττττ

 więc 

 

 

t

d

d p

r

τ

×

=

 

(12.5) 

 
Teraz  przechodzimy  do  równania  na  moment  pędu  L  =  r

×

p  i  róŜniczkujemy  je  obu-

stronnie względem czasu, otrzymując 
 

t

t

t

t

d

d

d

d

d

)

d(

d

d

p

r

p

r

p

r

L

×

+

×

=

×

=

 

 
poniewaŜ dr/dt = v więc 
 

t

m

t

d

d

)

(

d

d

p

r

L

×

+

×

=

v

v

 

 
Wiemy, Ŝe 

v

v

m

×

 = 0 (z definicji iloczynu wektorowego), więc 

 

 

t

t

d

d

d

d

p

r

L

×

=

 

(12.6) 

 
Porównanie równań (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, Ŝe 
 

 

t

d

d L

τ

=

 

(12.7) 

 
Widzimy, Ŝe wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy prędkości zmian 
momentu pędu tej cząstki. 

12.3.3

 

Zachowanie momentu pędu 

Dla układu n cząstek moŜemy zsumować równanie (12.7) po wszystkich cząstkach 

 

 

t

t

wypadkowy

i

i

i

i

d

d

d

d

L

L

τ

=













=

∑

∑

 

(12.8) 

 
ZauwaŜmy,  Ŝe  jeŜeli  na  układ  nie  działa  zewnętrzny  moment  siły  (lub  suma  =  0)  to 
moment pędu układu pozostaje stały. 
 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

12-4

.

const

0

d

d

=

⇒

=

wypadkowy

wypadkowy

t

L

L

 

 

Przykład 1 

Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu rękach trzyma hantle, mając rozłoŜone ra-

miona. Popychamy ją, tak aby obracała się z częstotliwością f

1

 = 0.5 obrotów na sekun-

dę. Wtedy osoba zgina ramiona, przyciągając hantle do tułowia. Jaka jest częstotliwość 
jej obrotów? ZałóŜmy, Ŝe hantle początkowo znajdujące się 80 cm od osi obrotu, zostają 
ś

ciągnięte do odległości 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, Ŝe obracająca się osoba ma 

taki sam moment pędu jak hantle w odległości 80 cm od osi obrotu. 
Początkowo moment pędu hantli wynosi 
 

L

h1

 = R

1

m

v

1

 = R

1

m(

ω

1

R

1

) = m

ω

1

(R

1

)

2

 

 
gdzie m jest masą pary hantli. Moment pędu układu osoba-hantle wynosi więc 
 

L

1

 = L

o1

 + m

ω

1

(R

1

)

2

 

 
PoniewaŜ L

o1

 = L

h1

 więc L

o1

 = m

ω

1

(R

1

)

2

. 

Dla hantli w odległości R

2

 moment pędu układu wynosi 

 

L

2

 = L

o2

 + m

ω

2

(R

2

)

2

 

 
Stosując zasadę zachowania pędu otrzymujemy 
 

L

1

 = L

2

 

czyli: 

L

o1

 + m

ω

1

(R

1

)

2

 = L

o2

 + m

ω

2

(R

2

)

2

 

 
Pamiętając, Ŝe L

o2

 = L

o1

ω

2

/

ω

1

 poniewaŜ L 

∼

 

ω

 rozwiązujemy to równanie względem 

ω

2

  

 

2

2

2

1

2

1

1

2

2

R

R

R

+

=

ω

ω

 

 

ω

2

 = 1.97 

ω

1

 

 
Prędkość obrotów rośnie dwukrotnie. 

 

Przykład 2 

 

Rower  jedzie  ze  stałą  prędkością  gdy  siła 

działająca  pomiędzy  nawierzchnią  i  kołem  F

2

  =  4 

N. Z jaką siłą  F

1

  łańcuch musi  ciągnąć zębatkę je-

Ŝ

eli stosunek R

2

/R

1

 = 10? 

PoniewaŜ prędkość kątowa jest stała więc dL/dt = 0 
i co za tym idzie 

R

1

R

2

F

1

F

2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

12-5

τ

wypadkowy

 = (

τ

1

 - 

τ

2

) = 0 

czyli 

τ

1

 = 

τ

2

 

Stąd 

R

1

F

1

 = R

2

F

2

 

więc 

F

1

 = (R

2

/R

1

)F

2

 = 40N 

 

12.4

 

Ciała sztywne i moment bezwładności 

Większość  mas  w  przyrodzie  to  nie  cząstki  tylko  rozciągłe  ciała  stałe,  które  mogą 

wykonywać  zarówno  ruch  postępowy  jak  i  obrotowy.  Przez  ciała stałe, sztywne,  rozu-
miemy ciała, w których odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje sta-
ła. 
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze stałą prędkością kątowa 

ω

 wokół sta-

łej osi w układzie środka masy (rysunek). ZauwaŜmy, Ŝe róŜne części ciała mają róŜną 
prędkość liniową 

v

 chociaŜ tą samą kątową 

ω

. Dla potrzeb opisu ciało moŜemy podzie-

lić na elementy o masie 

∆

m

i

 odległe od osi obrotu o r

i

. Wtedy 

prędkość takiego elementu wynosi 

v

i

 = r

i

ω

. Wartość momen-

tu pędu L tego ciała moŜna obliczyć 
 

ω

ω













∆

=

∆

=

∆

=

∑

∑

∑

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

r

r

m

r

m

r

L

2

)

(

v

 

 
Wielkość  w  nawiasie  nazywamy 

momentem  bezwładności

  I, 

który definiujemy jako 
 

∑

∆

=

i

m

r

I

i

i

2

 

 

 
a dla ciągłego rozkładu masy mamy 
 

 

∫

=

m

r

I

d

2

 

(12.9) 

 
Zwróćmy uwagę, Ŝe I zaleŜy od osi obrotu. MoŜemy teraz zapisać moment pędu 
 
 

 L = I

ω

  

(12.10) 

 
a poniewaŜ 

τ

 = dL/dt więc 

 

 

α

ω

τ

I

t

I

=

=

d

d

 

(12.11) 

 
 

∆

m

i

r

i

v

i

ω

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

12-6

Energia kinetyczna w układzie środka masy 
 

2

2

2

2

2

1

)

(

2

1

2

1

ω

ω

∑

∑

∑













∆

=

∆

=

∆

=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

k

r

m

r

m

m

E

v

 

więc 

 

2

2

1

ω

I

E

k

=

 

(12.12) 

 
Zestawmy teraz obliczone wielkości z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego. 
 

Ruch postępowy 

Ruch obrotowy 

p = m

v

 

F = ma 
E

k

 = (1/2) m

v

2

 

L= I

ω

  

τ

 = I

α

  

E

k

 = (1/2)I

ω

2

 

 

Teraz  widzimy,  Ŝe  moment  bezwładności  I  jest  analogiczną  wielkością  do  masy  m  w 
ruchu  postępowym.  ChociaŜ  masa  ciała  nie  zaleŜy  od  jego  połoŜenia  to  moment  bez-
władności zaleŜy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektó-
rych ciał są podane w tabeli. 
 

Ciało 

I 

Obręcz, pierścień względem osi 

⊥

 przez środek 

KrąŜek, walec względem osi 

⊥

 przez środek 

Pręt wokół osi 

⊥

 przez środek 

Pręt wokół osi 

⊥

 przez koniec 

Pełna kula wokół osi przez środek 
Czasza kulista wokół osi przez środek 

mR

2

 

mR

2

/2 

ml

2

/12 

ml

2

/3 

2mR

2

/5 

2mR

2

/3 

 

Często  do  obliczania  momentu  bezwładności  wygodnie  jest  posłuŜyć  się  twierdze-

niem Steinera. Podaje ono zaleŜność pomiędzy momentem bezwładności I ciała wzglę-
dem danej osi, a momentem bezwładności I

ś

r.m.

 tego ciała względem osi przechodzącej 

przez jego środek masy i równoległej do danej. 
 
 

 I = I

ś

r.m.

 + md

2

  

(12.13) 

 
gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osiami. 

12.5

 

Ruch postępowo-obrotowy ciała sztywnego 

Rozpatrywaliśmy  ruch  obrotowy  ciała  względem  osi  nieruchomych.  JednakŜe  gdy 

ciało się toczy to wykonuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego teŜ tocze-
nie moŜemy traktować jako złoŜenie ruchu postępowego i obrotowego tak jak pokazano 
to na rysunku poniŜej dla toczącego się walca. 

W ruchu postępowym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi 

prędkościami,  natomiast  w  ruchu  obrotowym,  rysunek  (b),  przeciwległe  punkty  po-

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

12-7

ruszają  się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunku (c) po-
kazano wynik złoŜenia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b). 

Zwróćmy uwagę, Ŝe podstawa walca (punkt P styczności z podłoŜem na rysunku obok) 

w kaŜdej chwili spoczywa (

v

 = 0). Natomiast 

prędkość liniowa kaŜdego innego punktu jest 
w  kaŜdej  chwili  prostopadła  do  linii  łączącej 
ten  punkt  z  podstawą  P  i  proporcjonalna  do 
odległości  tego  punktu  od  P.  Oznacza  to,  Ŝe 
walec 

obraca się wokół punktu P

. Oznacza to, 

Ŝ

e  moŜemy  toczenie  opisywać  równieŜ  jako 

"czysty"  ruch  obrotowy  ale  względem  osi 
przechodzącej  przez  punkt  P  styczności 
z powierzchnią, po której toczy się ciało. 
 

Przykład 3 

KrąŜek i kula o masach m i promieniach R staczają się po równi pochyłej o wysokości h 
Obliczyć ich prędkości u dołu równi. 
Z zasady zachowania energii 
 

mgh = (1/2)m

v

2

 + (1/2)I

ω

2

 

 
PoniewaŜ 

ω

 = 

v

/R więc 

 

mgh = (1/2)m

v

2

 + (1/2)I(

v

/R)

2

 

 
Przekształcając 
 

2

2

2

R

I

m

mgh

+

=

v

 

Dla krąŜka I = mR

2

/2 więc 

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

12-8

gh

3

4

=

v

 

 
podczas gdy dla kuli I = 2mR

2

/5 więc 

gh

7

10

=

v

 

 
ZauwaŜmy,  Ŝe  odpowiedź  nie  zaleŜy  od  masy  i  promienia ale 

zaleŜy tylko od kształtu

. 

Gdyby te ciała zsuwały się to 

gh

2

=

v

 dla obu brył. 

Ten sam przykład moŜemy rozwiązać traktując toczenie wyłącznie jako ruch obrotowy 
ale wtedy musimy skorzystać z twierdzenia Steinera, Ŝeby obliczyć moment bezwładno-
ś

ci względem osi przechodzącej przez punkt styczności z powierzchnią. 

12.6

 

Ruch precesyjny (bąk) 

Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w iner-

cjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii. Punkt pod-
parcia  bąka  znajduje  się  w  początku inercjalnego układu  odniesienia. Z doświadczenia 
wiemy, Ŝe oś wirującego bąka porusza się dookoła osi pionowej, zakreślając powierzch-

nię stoŜka. Taki ruch nazywamy 

precesją

. 

W  sytuacji  przedstawionej  na  rysunku  poniŜej  bąk  ma  prędkość  kątową 

ω

ωω

ω

 

dookoła 

swej osi

. Ma równieŜ moment pędu L względem tej osi, która tworzy kąt 

θ

 z osią pio-

nową. 
Na bąk działają dwie siły: siła w punkcie podparcia działa w górę i siła cięŜkości przy-
łoŜona do środka masy działa w dół. Siła reakcji działająca w górę ma zerowy moment 
bo  ma  zerowe  ramię  (względem  punktu  podparcia).  CięŜar  mg  wytwarza  jednak  mo-
ment siły względem punktu podparcia: 
 

ττττ

 = r

×

F = r

×

mg 

L

mg

r

θ

θ

τ

x

y

z

y

z

x

τ

L+

∆

L

L

∆

L

∆ϕ

ω

p

θ

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

 

 

12-9

gdzie r określa połoŜenie środka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, Ŝe 

ττττ

 jest pro-

stopadłe do r i do mg.  
ZauwaŜmy, Ŝe 

ττττ

, L i r wirują dokoła osi pionowej z częstością precesji 

ω

p

. 

Obliczymy teraz kątową precesję 

ω

p

. 

 

t

p

∆

∆

=

ϕ

ω

 

 
PoniewaŜ 

∆

L << L, to mamy  

 

∆

ϕ

 

≅

 

∆

L/Lsin

θ

 

 
Z równania (12.5) wynika, Ŝe 

∆

L = 

ττττ

∆

t 

więc 

∆

ϕ

 

≅

 

τ

∆

t/Lsin

θ

 

Otrzymujemy więc 
 
 

 

ω

p

 = 

∆

ϕ

/

∆

t = 

τ

/Lsin

θ

  

(12.14) 

 
Moment siły jest równy 
 

τ

 = rmg sin(180°-

θ

) = rmg sin

θ

 

 
więc ostatecznie 
 
 

 

ω

p

 = rmg/L  

(12.15) 

 
Zwróćmy uwagę, Ŝe 

prędkość precesji nie zaleŜy od kąta 

θ

 i jest odwrotnie proporcjo-

nalna do wartości momentu pędu. 
Równanie  (12.14)  moŜna  zapisać  w  postaci  wektorowej.  Najpierw  przepisujemy  je  do 
postaci 
 

τ

 = 

ω

p

L sin

θ

 

 
Widać,  Ŝe  po  prawej  stronie  równania  otrzymaliśmy  wartość  iloczynu  wektorowego 

ω

ωω

ω

p

×

L.  Tak  więc  ostatecznie  wyraŜenie wiąŜące prędkość kątową precesji z momentem 

siły i momentem pędu ma postać 
 
 

L

ω

τ

×

=

p

 

(12.16) 

 
Zjawisko  precesji  momentu  magnetycznego  (spinu)  jest  podstawą  róŜnych  technik  do-
ś

wiadczalnych (NMR, EPR), które znalazły szerokie zastosowanie w badaniach, techni-

ce i medycynie.