Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-1

Wykład 12

12.

Ruch obrotowy

12.1

Wstęp

Mówiąc o środku masy wspominaliśmy o ruchu obrotowym oraz o toczeniu się ciał.

Dużym ułatwieniem w analizie układów cząstek jest możliwość rozpatrywania oddziel-
nego ruchu postępowego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzić to uproszczenie zdefi-
niujemy dwie nowe wielkości:

moment pędu

i

moment siły

. Zasada zachowania momen-

tu pędu jest równie istotna jak zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii.

12.2

Kinematyka ruchu obrotowego

Musi w pierwszym kroku wypracować ujęcie matematyczne dla ruchu obrotowego.

Dla ruchu obrotowego wielkością analogiczną do przesunięcia jest

przesunięcie kąto-

we

θ

. Kąt

θ

określa położenie punktu względem układu odniesienia. Dla ruchu po okrę-

gu, z definicji miary łukowej kąta

θ

= S/R. (w radianach). Kątową analogią prędkości

v

= dx/dt jest

prędkość kątowa

ω

.

t

d

d

θ

ω

=

(12.1)

Dla ruchu po okręgu

v

=

ω

R.

W przypadku ruchu jednostajnego po okrę-
gu

ω

jest nazywane

częstością kątową

i jest

związana z częstotliwością f relacją

ω

= 2

π

f

Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = d

v

/dt zostało zdefiniowane przyspieszenie ką-

towe

α

.

t

d

d

ω

α

=

(12.2)

Dla ruchu po okręgu związek pomiędzy a i

α

jest analogiczny do związku pomiędzy

v

i

ω

tzn. a =

α

R. Możemy teraz np. podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspiesze-

niem

α

poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

a = const

v

=

v

0

+ at

s = s

0

+

v

0

t + (1/2)at

2

α

= const

ω

=

ω

0

+

α

t

θ

=

θ

0

+

ω

0

t + (1/2)

α

t

2

θ

R

S

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-2

Kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej

ω

ωω

ω

i przyspieszenia kątowego

αααα

w ruchu

obrotowym są pokazane na rysunku poniżej.

12.3

Dynamika ruchu obrotowego

12.3.1

Moment siły

W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przyspieszeniem ciała. Jaką wiel-

kość będziemy wiązać z przyspieszeniem kątowym?
Nie może być to tylko siła bo jak pokazuje doświadczenie np. z otwieraniem drzwi
przyspieszenie kątowe zależy od tego gdzie i pod jakim kątem jest przyłożona siła. W
szczególności siła przyłożona w miejscu zawiasów zarówno wzdłuż jak i prostopadle do
nich nie wytwarza żadnego przyspieszenia. Natomiast siła przyłożona do drzwi na ich
zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest

moment siły

(tzw.

moment obrotowy)

ττττ

.

Jeżeli siła F działa na cząstkę to moment siły jest definiowany jako

F

r

τ

×

=

(12.3)

gdzie wektor r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu
odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna wyno-
si:

τ

= rFsin

θ

(iloczyn wektorowy). Wielkość r nazywamy ramieniem siły (widać, że

bierzemy albo r

⊥

albo F

⊥

).

12.3.2

Moment pędu

Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do

pędu. Wielkość L będziemy nazywać

momentem pędu

i definiujemy ją

p

r

L

×

=

(12.4)

gdzie p jest pędem cząstki, a r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego in-
ercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi rpsin

θ

i analogicznie do momentu siły

wielkość rsin

θ

nazywamy ramieniem pędu.

ω

α

ω

α

ruch przyspieszony

ruch opóźniony

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-3

Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Zacznijmy
od znanej zależności, że siła F = dp/dt (dla pojedynczej cząstki). Mnożąc wektorowo
obie strony przez r otrzymujemy

t

d

d p

r

F

r

×

=

×

F

r

×

jest momentem siły

ττττ

więc

t

d

d p

r

τ

×

=

(12.5)

Teraz przechodzimy do równania na moment pędu L = r

×

p i różniczkujemy je obu-

stronnie względem czasu, otrzymując

t

t

t

t

d

d

d

d

d

)

d(

d

d

p

r

p

r

p

r

L

×

+

×

=

×

=

ponieważ dr/dt = v więc

t

m

t

d

d

)

(

d

d

p

r

L

×

+

×

=

v

v

Wiemy, że

v

v

m

×

= 0 (z definicji iloczynu wektorowego), więc

t

t

d

d

d

d

p

r

L

×

=

(12.6)

Porównanie równań (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, że

t

d

d L

τ

=

(12.7)

Widzimy, że wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy prędkości zmian
momentu pędu tej cząstki.

12.3.3

Zachowanie momentu pędu

Dla układu n cząstek możemy zsumować równanie (12.7) po wszystkich cząstkach

t

t

wypadkowy

i

i

i

i

d

d

d

d

L

L

τ

=













=

∑

∑

(12.8)

Zauważmy, że jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub suma = 0) to
moment pędu układu pozostaje stały.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-4

.

const

0

d

d

=

⇒

=

wypadkowy

wypadkowy

t

L

L

Przykład 1

Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu rękach trzyma hantle, mając rozłożone ra-

miona. Popychamy ją, tak aby obracała się z częstotliwością f

1

= 0.5 obrotów na sekun-

dę. Wtedy osoba zgina ramiona, przyciągając hantle do tułowia. Jaka jest częstotliwość
jej obrotów? Załóżmy, że hantle początkowo znajdujące się 80 cm od osi obrotu, zostają
ś

ciągnięte do odległości 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, że obracająca się osoba ma

taki sam moment pędu jak hantle w odległości 80 cm od osi obrotu.
Początkowo moment pędu hantli wynosi

L

h1

= R

1

m

v

1

= R

1

m(

ω

1

R

1

) = m

ω

1

(R

1

)

2

gdzie m jest masą pary hantli. Moment pędu układu osoba-hantle wynosi więc

L

1

= L

o1

+ m

ω

1

(R

1

)

2

Ponieważ L

o1

= L

h1

więc L

o1

= m

ω

1

(R

1

)

2

.

Dla hantli w odległości R

2

moment pędu układu wynosi

L

2

= L

o2

+ m

ω

2

(R

2

)

2

Stosując zasadę zachowania pędu otrzymujemy

L

1

= L

2

czyli:

L

o1

+ m

ω

1

(R

1

)

2

= L

o2

+ m

ω

2

(R

2

)

2

Pamiętając, że L

o2

= L

o1

ω

2

/

ω

1

ponieważ L

∼

ω

rozwiązujemy to równanie względem

ω

2

2

2

2

1

2

1

1

2

2

R

R

R

+

=

ω

ω

ω

2

= 1.97

ω

1

Prędkość obrotów rośnie dwukrotnie.

Przykład 2

Rower jedzie ze stałą prędkością gdy siła

działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem F

2

= 4

N. Z jaką siłą F

1

łańcuch musi ciągnąć zębatkę je-

ż

eli stosunek R

2

/R

1

= 10?

Ponieważ prędkość kątowa jest stała więc dL/dt = 0
i co za tym idzie

R

1

R

2

F

1

F

2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-5

τ

wypadkowy

= (

τ

1

-

τ

2

) = 0

czyli

τ

1

=

τ

2

Stąd

R

1

F

1

= R

2

F

2

więc

F

1

= (R

2

/R

1

)F

2

= 40N

12.4

Ciała sztywne i moment bezwładności

Większość mas w przyrodzie to nie cząstki tylko rozciągłe ciała stałe, które mogą

wykonywać zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. Przez ciała stałe, sztywne, rozu-
miemy ciała, w których odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje sta-
ła.
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze stałą prędkością kątowa

ω

wokół sta-

łej osi w układzie środka masy (rysunek). Zauważmy, że różne części ciała mają różną
prędkość liniową

v

chociaż tą samą kątową

ω

. Dla potrzeb opisu ciało możemy podzie-

lić na elementy o masie

∆

m

i

odległe od osi obrotu o r

i

. Wtedy

prędkość takiego elementu wynosi

v

i

= r

i

ω

. Wartość momen-

tu pędu L tego ciała można obliczyć

ω

ω













∆

=

∆

=

∆

=

∑

∑

∑

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

m

r

r

m

r

m

r

L

2

)

(

v

Wielkość w nawiasie nazywamy

momentem bezwładności

I,

który definiujemy jako

∑

∆

=

i

m

r

I

i

i

2

a dla ciągłego rozkładu masy mamy

∫

=

m

r

I

d

2

(12.9)

Zwróćmy uwagę, że I zależy od osi obrotu. Możemy teraz zapisać moment pędu

L = I

ω

(12.10)

a ponieważ

τ

= dL/dt więc

α

ω

τ

I

t

I

=

=

d

d

(12.11)

∆

m

i

r

i

v

i

ω

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-6

Energia kinetyczna w układzie środka masy

2

2

2

2

2

1

)

(

2

1

2

1

ω

ω

∑

∑

∑













∆

=

∆

=

∆

=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

k

r

m

r

m

m

E

v

więc

2

2

1

ω

I

E

k

=

(12.12)

Zestawmy teraz obliczone wielkości z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego.

Ruch postępowy

Ruch obrotowy

p = m

v

F = ma
E

k

= (1/2) m

v

2

L= I

ω

τ

= I

α

E

k

= (1/2)I

ω

2

Teraz widzimy, że moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w
ruchu postępowym. Chociaż masa ciała nie zależy od jego położenia to moment bez-
władności zależy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektó-
rych ciał są podane w tabeli.

Ciało

I

Obręcz, pierścień względem osi

⊥

przez środek

Krążek, walec względem osi

⊥

przez środek

Pręt wokół osi

⊥

przez środek

Pręt wokół osi

⊥

przez koniec

Pełna kula wokół osi przez środek
Czasza kulista wokół osi przez środek

mR

2

mR

2

/2

ml

2

/12

ml

2

/3

2mR

2

/5

2mR

2

/3

Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdze-

niem Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała wzglę-
dem danej osi, a momentem bezwładności I

ś

r.m.

tego ciała względem osi przechodzącej

przez jego środek masy i równoległej do danej.

I = I

ś

r.m.

+ md

2

(12.13)

gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osiami.

12.5

Ruch postępowo-obrotowy ciała sztywnego

Rozpatrywaliśmy ruch obrotowy ciała względem osi nieruchomych. Jednakże gdy

ciało się toczy to wykonuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego też tocze-
nie możemy traktować jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego tak jak pokazano
to na rysunku poniżej dla toczącego się walca.

W ruchu postępowym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi

prędkościami, natomiast w ruchu obrotowym, rysunek (b), przeciwległe punkty po-

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-7

ruszają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunku (c) po-
kazano wynik złożenia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).

Zwróćmy uwagę, że podstawa walca (punkt P styczności z podłożem na rysunku obok)

w każdej chwili spoczywa (

v

= 0). Natomiast

prędkość liniowa każdego innego punktu jest
w każdej chwili prostopadła do linii łączącej
ten punkt z podstawą P i proporcjonalna do
odległości tego punktu od P. Oznacza to, że
walec

obraca się wokół punktu P

. Oznacza to,

ż

e możemy toczenie opisywać również jako

"czysty" ruch obrotowy ale względem osi
przechodzącej przez punkt P styczności
z powierzchnią, po której toczy się ciało.

Przykład 3

Krążek i kula o masach m i promieniach R staczają się po równi pochyłej o wysokości h
Obliczyć ich prędkości u dołu równi.
Z zasady zachowania energii

mgh = (1/2)m

v

2

+ (1/2)I

ω

2

Ponieważ

ω

=

v

/R więc

mgh = (1/2)m

v

2

+ (1/2)I(

v

/R)

2

Przekształcając

2

2

2

R

I

m

mgh

+

=

v

Dla krążka I = mR

2

/2 więc

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-8

gh

3

4

=

v

podczas gdy dla kuli I = 2mR

2

/5 więc

gh

7

10

=

v

Zauważmy, że odpowiedź nie zależy od masy i promienia ale

zależy tylko od kształtu

.

Gdyby te ciała zsuwały się to

gh

2

=

v

dla obu brył.

Ten sam przykład możemy rozwiązać traktując toczenie wyłącznie jako ruch obrotowy
ale wtedy musimy skorzystać z twierdzenia Steinera, żeby obliczyć moment bezwładno-
ś

ci względem osi przechodzącej przez punkt styczności z powierzchnią.

12.6

Ruch precesyjny (bąk)

Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w iner-

cjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii. Punkt pod-
parcia bąka znajduje się w początku inercjalnego układu odniesienia. Z doświadczenia
wiemy, że oś wirującego bąka porusza się dookoła osi pionowej, zakreślając powierzch-

nię stożka. Taki ruch nazywamy

precesją

.

W sytuacji przedstawionej na rysunku poniżej bąk ma prędkość kątową

ω

ωω

ω

dookoła

swej osi

. Ma również moment pędu L względem tej osi, która tworzy kąt

θ

z osią pio-

nową.
Na bąk działają dwie siły: siła w punkcie podparcia działa w górę i siła ciężkości przy-
łożona do środka masy działa w dół. Siła reakcji działająca w górę ma zerowy moment
bo ma zerowe ramię (względem punktu podparcia). Ciężar mg wytwarza jednak mo-
ment siły względem punktu podparcia:

ττττ

= r

×

F = r

×

mg

L

mg

r

θ

θ

τ

x

y

z

y

z

x

τ

L+

∆

L

L

∆

L

∆ϕ

ω

p

θ

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

12-9

gdzie r określa położenie środka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, że

ττττ

jest pro-

stopadłe do r i do mg.
Zauważmy, że

ττττ

, L i r wirują dokoła osi pionowej z częstością precesji

ω

p

.

Obliczymy teraz kątową precesję

ω

p

.

t

p

∆

∆

=

ϕ

ω

Ponieważ

∆

L << L, to mamy

∆

ϕ

≅

∆

L/Lsin

θ

Z równania (12.5) wynika, że

∆

L =

ττττ

∆

t

więc

∆

ϕ

≅

τ

∆

t/Lsin

θ

Otrzymujemy więc

ω

p

=

∆

ϕ

/

∆

t =

τ

/Lsin

θ

(12.14)

Moment siły jest równy

τ

= rmg sin(180°-

θ

) = rmg sin

θ

więc ostatecznie

ω

p

= rmg/L

(12.15)

Zwróćmy uwagę, że

prędkość precesji nie zależy od kąta

θ

i jest odwrotnie proporcjo-

nalna do wartości momentu pędu.
Równanie (12.14) można zapisać w postaci wektorowej. Najpierw przepisujemy je do
postaci

τ

=

ω

p

L sin

θ

Widać, że po prawej stronie równania otrzymaliśmy wartość iloczynu wektorowego

ω

ωω

ω

p

×

L. Tak więc ostatecznie wyrażenie wiążące prędkość kątową precesji z momentem

siły i momentem pędu ma postać

L

ω

τ

×

=

p

(12.16)

Zjawisko precesji momentu magnetycznego (spinu) jest podstawą różnych technik do-
ś

wiadczalnych (NMR, EPR), które znalazły szerokie zastosowanie w badaniach, techni-

ce i medycynie.