INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI zakład układów i sieci elektroenergetycznych
Technologie Informacyjne w Elektroenergetyce
Temat:	Podstawy modelowania układów elektrycznych i elektroenergetycznych w programie ATPDraw
Nr ćwiczenia:	1
Grupa:	E3-2-K11
Wykonał:

1.Wprowadzenie:

Wykonane zajęcia laboratoryjne miały na celu zapoznanie się studentów z podstawowymi komponentami i funkcjami występującymi w programie ATPDraw oraz budowę nieskomplikowanych układów elektrycznych i elektroenergetycznych. Poprawne wykonanie zadanie w laboratorium umożliwia trafne opisanie zarejestrowanych przebiegów sygnałów oraz wykonanie obliczeń analitycznych.

Budowa układów wymagała podstawowej wiedzy z zakresy elektrotechniki i elektroenergetyki. Bazowaliśmy na wykorzystaniu takich komponentów jak: źródło prądu stałego, rezystor , cewka, kondensator, wyłącznik, mierniki itp. Zmieniając poszczególne parametry elementów układów mogliśmy obserwować ich wpływ na działanie całego układu. Informacje te były niezbędne do napisania wniosków z danego ćwiczenia.

2.Układ z szeregowo połączonym rezystorem i kondensatorem (RC):

a)schemat układu:

b)obliczenia parametrów:

U=12 V

t_cl (close) =0,2 s (czas zamknięcia układu)

R=3 Ω

C=1000 μF

τ=R*C=3Ω × 1000mF = 3ms (stała czasowa)

b)przebieg rejestrowanych sygnałów:

Legenda:

v:A -napięcie wychodzące ze źródła prądu stałego

v:B -C -napięcie na rezystorze

c:B-C -prąd płynący przez układ

v:C -napięcie na kondensatorze

c)obliczenia analityczne:

-warunki początkowe dla t < t_cl:

u_c(0⁻) = u_c(0⁺) = 0 , ponieważ włącznik nie jest załączony

-obliczanie składowej przejściowej

$$i_{c} = C \times \frac{\text{du}_{\text{cp}}}{\text{dt}}$$

$$R \times C \times \frac{\text{du}_{\text{cp}}}{\text{dt}} + u_{\text{cp}} = 0$$

$$u_{\text{cp}}(t) = A_{1} \times e^{- \frac{t}{\text{RC}}}$$

warunek dla t=t_cl:

$$u_{c}\left( t \right) = u_{\text{cu}}\left( t \right) + u_{\text{cp}}\left( t \right) = E + A_{1} \times e^{- \frac{t}{\text{RC}}}$$

0 = E + A₁ A₁ = −E 

-obliczanie składowej ustalonej t→∞

u_cu=E = 12 V

-wyznaczenie stałej całkowania A₁

$$u_{c}\left( t \right) = u_{\text{cu}}\left( t \right) + u_{\text{cp}}\left( t \right) = 12 + A_{1} \times e^{- \frac{t}{\text{RC}}}$$

A₁ = −12

$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\mathbf{(t) = 12 \times ( -}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{t}}\mathbf{+ 1)}$ (napięcie na kondensatorze)

$\mathbf{i}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{= C \times}\frac{\mathbf{d}\mathbf{u}_{\mathbf{c}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{= C \times}\left( \mathbf{- 12 \times}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{t}}\mathbf{\times}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}} \right) \right)\mathbf{= 4 \times}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{t}}$

Uwaga: Ten sam prąd płynie przez cały układ, ponieważ elementy połączone są szeregowo!

-wyznaczanie napięcia na rezystorze

$\mathbf{u}_{\mathbf{R}}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{= R \times}\mathbf{i}_{\mathbf{c}}\mathbf{(t) = 3 \times 4 \times}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{t}}\mathbf{= 12 \times}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{t}}$

3.Układ z szeregowo połączonym rezystorem i kondensatorem (RC z inną wartością rezystancji):

a)schemat układu jest identyczny jak powyższy, zmianie uległ wyłącznie parametr R!

b)obliczenia parametrów:

U=12 V

t_cl (close) =0,2 s (czas zamknięcia układu)

R=10 Ω

C=1000 μF

τ=R*C=3Ω × 1000mF = 10ms (stała czasowa)

b)przebieg rejestrowanych sygnałów:

Legenda:

v:A -napięcie wychodzące ze źródła prądu stałego

v:B -C -napięcie na rezystorze

c:B-C -prąd płynący przez układ

v:C -napięcie na kondensatorze

c)obliczenia analityczne:

-warunki początkowe dla t < t_cl:

u_c(0⁻) = u_c(0⁺) = 0 , ponieważ włącznik nie jest załączony

-obliczanie składowej przejściowej

$$i_{c} = C \times \frac{\text{du}_{\text{cp}}}{\text{dt}}$$

$$R \times C \times \frac{\text{du}_{\text{cp}}}{\text{dt}} + u_{\text{cp}} = 0$$

$$u_{\text{cp}}(t) = A_{1} \times e^{- \frac{t}{\text{RC}}}$$

warunek dla t=t_cl:

$$u_{c}\left( t \right) = u_{\text{cu}}\left( t \right) + u_{\text{cp}}\left( t \right) = E + A_{1} \times e^{- \frac{t}{\text{RC}}}$$

0 = E + A₁ A₁ = −E 

-obliczanie składowej ustalonej t→∞

u_cu=E = 12 V

-wyznaczenie stałej całkowania A₁

$$u_{c}\left( t \right) = u_{\text{cu}}\left( t \right) + u_{\text{cp}}\left( t \right) = 12 + A_{1} \times e^{- \frac{t}{\text{RC}}}$$

A₁ = −12

$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\mathbf{(t) = 12 \times ( -}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}\mathbf{t}}\mathbf{+ 1)}$ (napięcie na kondensatorze)

$\mathbf{i}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{= C \times}\frac{\mathbf{d}\mathbf{u}_{\mathbf{c}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{= C \times}\left( \mathbf{- 12 \times}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}\mathbf{t}}\mathbf{\times}\left( \mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}} \right) \right)\mathbf{= 1,2 \times}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}\mathbf{t}}$

Uwaga: Ten sam prąd płynie przez cały układ, ponieważ elementy połączone są szeregowo!

-wyznaczanie napięcia na rezystorze

$\mathbf{u}_{\mathbf{R}}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{= R \times}\mathbf{i}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{= 10 \times 1,2 \times}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}\mathbf{t}}\mathbf{= 12 \times}\mathbf{e}^{\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}\mathbf{t}}$

4.Układ z rezystorem oraz szeregowo połączonym kondensatorem i cewką (RLC):

a)schemat układu :

b)obliczenia parametrów:

U=12 V

t_cl (close) =0,2 s (czas zamknięcia układu)

R=10 Ω

C=1000 μF

L=10mH

$$R_{\text{kr}} = 2\sqrt{\frac{L}{C}} = 2 \times \sqrt{\frac{10 \times 10^{- 3}}{1 \times 10^{- 3}}} = 6,24\Omega$$

Uwaga: R>R_kr, zatem występuje tutaj przypadek aperiodyczny!

b)przebieg rejestrowanych sygnałów:

Legenda:

v:A -napięcie wychodzące ze źródła prądu stałego

v:B -C -napięcie na rezystorze

c:B-C -prąd płynący przez rezystor

c:C-D -prąd płynący przez cewkę

v:D -napięcie na kondensatorze

c)obliczenia analityczne:

-warunki początkowe dla t < t_cl:

u_c(0⁻) = u_c(0⁺) = 0 , ponieważ włącznik nie jest załączony

i_L(0⁻) = i_L(0⁺) = 0

-postać operatorowa prądu cewki:

$$I\left( s \right) = \frac{E/s}{sL + R + 1/sC} = \frac{E/L}{s^{2} + \frac{R}{L}s + \frac{1}{\text{LC}}}$$

-wyznaczanie transformaty odwrotnej:

$$s^{2} + \frac{R}{L}s + \frac{1}{\text{LC}} = 0$$

$$s_{1} = - \frac{R}{2L} + \sqrt{\left( \frac{R}{2L} \right)^{2} - \frac{1}{\text{LC}}} = - 112,7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s_{2} = - \frac{R}{2L} - \sqrt{\left( \frac{R}{2L} \right)^{2} - \frac{1}{\text{LC}}} = - 887,3$$

-współczynnik tłumienia

$\alpha = \frac{R}{2L} = 500$ β=$\sqrt{\alpha^{2} - \frac{1}{\text{LC}}}$

-czynnik tłumiący typy wykładniczego $e^{- \frac{R}{2L}}$

-rezystancja krytyczna występuje gdy: $\alpha^{2} - \frac{1}{\text{LC}} = 0$

Dla naszego układu $R_{\text{kr}} = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$

-obliczanie wartości prądu w funkcji czasu

$$\mathbf{i}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{2}\mathbf{L \times}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{R}}{\mathbf{2}\mathbf{L}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{LC}}}}}\left\lbrack \mathbf{e}^{\mathbf{s}_{\mathbf{1}}\mathbf{t}}\mathbf{-}\mathbf{e}^{\mathbf{s}_{\mathbf{2}}\mathbf{t}} \right\rbrack\mathbf{= 1,5 \times}\left\lbrack \mathbf{e}^{\mathbf{- 112,7}\mathbf{t}}\mathbf{-}\mathbf{e}^{\mathbf{- 887,3}\mathbf{t}} \right\rbrack$$

-postać operatorowa napięcia na kondensatorze

$$U_{c}\left( s \right) = \frac{1}{\text{sC}} \times I\left( s \right) = \frac{E}{LC} \times \frac{1}{s\left( s^{2} + \frac{R}{L}s + \frac{1}{\text{LC}} \right)}$$

-obliczanie napięć w funkcji czasu

$$\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{= E +}\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{2}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{R}}{\mathbf{2}\mathbf{L}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{LC}}}}}\left\lbrack {\mathbf{s}_{\mathbf{2}}\mathbf{e}}^{\mathbf{s}_{\mathbf{1}}\mathbf{t}}\mathbf{-}{\mathbf{s}_{\mathbf{1}}\mathbf{e}}^{\mathbf{s}_{\mathbf{2}}\mathbf{t}} \right\rbrack\mathbf{= 12 + 0,015 \times}\left\lbrack {\mathbf{- 887,3}\mathbf{e}}^{\mathbf{- 112,7}\mathbf{t}}\mathbf{+ 112,7}\mathbf{e}^{\mathbf{- 887,3}\mathbf{t}} \right\rbrack$$

$$\mathbf{u}_{\mathbf{L}}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{= L}\frac{\mathbf{\text{di}}}{\mathbf{\text{dt}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{E}}{\mathbf{2}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{R}}{\mathbf{2}\mathbf{L}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\text{LC}}}}}\left\lbrack {\mathbf{s}_{\mathbf{1}}\mathbf{e}}^{\mathbf{s}_{\mathbf{1}}\mathbf{t}}\mathbf{-}{\mathbf{s}_{\mathbf{2}}\mathbf{e}}^{\mathbf{s}_{\mathbf{2}}\mathbf{t}} \right\rbrack\mathbf{= 0,015}\left\lbrack \mathbf{- 112,7}\mathbf{e}^{\mathbf{- 112,7}\mathbf{t}}\mathbf{+}{\mathbf{887,3}\mathbf{e}}^{\mathbf{- 887,3}\mathbf{t}} \right\rbrack$$

-wyznaczanie napięcia na rezystorze

u_R(t)=R × i(t)=10 × 1, 5×[e^−112, 7t−e^−887, 3t]=15×[e^−112, 7t−e^−887, 3t]

Uwaga: W celu sprawdzenia zgodności obliczeń analitycznych z przebiegami sygnałów należy podstawiać czasy z charakterystyk pomniejszone o wartość t_cl=0,2s

5.Układ z rezystorem oraz równolegle połączonym kondensatorem i cewką (RLC):

a)schemat układu :

b)obliczenia parametrów:

U=12 V

t_cl1 (close) =0,2 s (czas zamknięcia układu)

t_op2 (close) =1000 s (drugi wyłącznik jest załączony przez cały czas trwania symulacji )

R=10 Ω

C=1000 μF

L=10mH

$R_{\text{kr}} = 0,5 \times \sqrt{\frac{L}{C}} = 0,5 \times \sqrt{\frac{10 \times 10^{- 3}}{1 \times 10^{- 3}}} = 1,58\Omega$

Uwaga: Wzór na R_kr został wyznaczony podczas obliczeń analitycznych!

b)przebieg rejestrowanych sygnałów:

Legenda:

v:A -napięcie wychodzące ze źródła prądu stałego

v:B -C -napięcie na rezystorze

c:B-C -prąd płynący przez rezystor

c:C-D -prąd płynący przez cewkę

v:C -napięcie na cewce

c)obliczenia analityczne:

-warunki początkowe dla t < t_cl:

u_c(0⁻) = u_c(0⁺) = 0 , ponieważ włącznik nie jest załączony

i_L(0⁻) = i_L(0⁺) = 0

-postać operatorowa prądu cewki:

$$I\left( s \right) = \frac{E/s}{R + \frac{\frac{1}{C}s}{s^{2} + \frac{1}{\text{LC}}}} = \frac{E/L}{sR + \frac{\frac{1}{C}s^{2}}{s^{2} + \frac{1}{\text{LC}}}}$$

-wyznaczanie transformaty odwrotnej:

$$sR + \frac{\frac{1}{C}s^{2}}{s^{2} + \frac{1}{\text{LC}}} = 0$$

$$s_{1} = - \frac{1}{2RC} - \sqrt{\left( \frac{1}{2RC} \right)^{2} - \frac{1}{\text{LC}}} = - 50 - 50\sqrt{39}\text{i\ \ \ }$$

$$\ s_{2} = - \frac{1}{2RC} + \sqrt{\left( \frac{1}{2RC} \right)^{2} - \frac{1}{\text{LC}}} = - 50 + 50\sqrt{39}\text{i\ }$$

-współczynnik tłumienia

$\alpha = \frac{1}{2RC}$ β=$\sqrt{\alpha^{2} - \frac{1}{\text{LC}}}$

-rezystancja krytyczna występuje gdy: $\alpha^{2} - \frac{1}{\text{LC}} = 0$

Dla naszego układu $R_{\text{kr}} = 0,5\sqrt{\frac{L}{C}}$

Uwaga: Sytuacja ulega zmianie, ponieważ we współczynniku tłumienia wartość rezystancji jest w mianowniku. Zatem gdy R>R_kr występuje przypadek oscylacyjny, ponieważ $\alpha^{2} - \frac{1}{\text{LC}} < 0$!

-obliczanie wartości prądu w funkcji czasu

Wprowadzam wielkość $\omega = \sqrt{\frac{1}{\text{LC}} - \alpha^{2}}$

Nie jestem w stanie wyprowadzić wzorów dla poszczególnych wartości chwilowych sygnałów, ponieważ nie potrafię w odpowiedni sposób skorzystać ze wzoru podstawowego Heaviside’a!

6.Wnioski:

Wykonane ćwiczenie przyczyniło się do głębszego poznania i przeanalizowania stanów nieustalonych dla rozmaicie połączonych układów. Zarówno znajomość metod rozwiązywania stanów nieustalonych w obwodach elektrycznych (operatorowej i klasycznej) jak i rachunek liczb zespolonych, w znacznym stopniu przyczyniły się do głębszego zrozumienia problemu.

a)układ z szeregowo połączonym rezystorem i kondensatorem (RC):

Na zarejestrowanych przebiegach zauważamy:

-napięcie na rezystorze pojawia się w chwili załączenia włącznika, a następnie spada wykładniczo aż do osiągnięcia wartości 0 w chwili t=0,2168

-geometrycznie podobny jest przebieg wartości prądu w całym układzie (połączenie szeregowe)

-napięcie na kondensatorze rośnie logarytmicznie, aż do osiągnięcia wartości E=12V

-kondensator ładowany jest prądem zatem gdy u_c=12 ,prąd I=0 a co za tym idzie spadek napięcia na rezystorze także jest równy 0

b)układ z szeregowo połączonym rezystorem i kondensatorem (RC z inną wartością rezystancji):

Na zarejestrowanych przebiegach zauważamy:

-przebiegi są prawie identyczne jak w powyższym przypadku

-z racji zwiększenia rezystancji układu prawie trzykrotnie początkowa wartość prądu zmalała niemalże trzykrotnie

-im mniejszy prąd tym czas ładowania kondensatora jest dłuższy

-w tym przypadku stan gdzie, u_c=12 i prąd I=0 nastąpił po czasie t=0,26 s

c) Układ z rezystorem oraz szeregowo połączonym kondensatorem i cewką (RLC):

Na zarejestrowanych przebiegach zauważamy:

-cewka i rezystor ładują kondensator, a ładowanie to ma charakter aperiodyczny czyli nieokresowy

-w chwili t=0,202 krzywa napięcia na kondensatorze ma punkt przegięcia i dlatego prąd ładowania osiąga maksimum, gdyż pochodna napięcia u_c względem czasu jest w punkcie przegięcia największa

-w tej samej chwili napięcie na cewce jest równe 0, ponieważ pochodna prądu względem czasu w chwili t=0,202, w której prąd ładowania osiąga maksimum, jest równa 0

-kondensator naładuje się po czasie t=0,245 s

-prąd ładowania po osiągnięciu maksimum maleje do 0 tak jak napięcie na cewce (nie zarejestrowaliśmy tego sygnału)

-teoretycznie napięcie na cewce w chwili t=0 skokowo rośnie do wartości E=12 V, oznacza to, że w pierwszej chwili tuz po komutacji napięcie przyłożone do gałęzi jest kompensowane napięciem na cewce

d) Układ z rezystorem oraz równolegle połączonym kondensatorem i cewką (RLC):

Na zarejestrowanych przebiegach zauważamy:

-podczas stanu ustalonego na cewce odkłada się szczątkowe napięcie a przez gałąź z kondensatorem płynie prąd

-w tym czasie kondensator się ładuje

-gdy stan się ustala oscylacje prądu na cewce i rezystorze przechodzą w jeden przebieg (pokrywają się)

-kondensator się rozładowuje a następnie ładuje swoją zgromadzona energią

-napięcie na kondensatorze oscylacyjnie maleje do 0

-suma napięć na kondensatorze i rezystorze daje nam wartość stałego źródła zasilania