Nr ćw. 102	Data: 20.01.2014	Imię i Nazwisko: Marcin Szczukocki Marcin Szczechowicz	Wydział Elektryczny	Semestr I	Grupa EN-2
Prowadzący: mgr Elżbieta Robak	Przygotowanie: Szczukocki, Szczechowicz	Wykonanie: Szczukocki, Szczechowicz	Ocena ostat. :

Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną.

1. Wstęp teoretyczny:

Siły działające styczne do powierzchni ciała powodują przesunięcia kątowe poszczególnych elementów i prowadzą do odkształceń takich jak ścinanie i skręcenie. Powstałe w odkształconym ciele zachwianie równowagi sił międzyatomowych powoduje pojawienie się siły oporu sprężystego. Stosunek siły stycznej FS do powierzchni S, na którą działa, nazywa się naprężeniem stycznym:

τ = FS / S

Prawo Hooke'a w przypadku działania naprężeń stycznych przyjmuje postać:

τ =Gϕ

gdzie φ jest miarą deformacji kątowej, a G modułem sztywności. Jako przykład odkształcenia skręcającego rozpatrzeć można cylinder cienkościenny, który poddany

jest działaniu sił stycznych przyłożonych do jednej z podstaw, podczas gdy druga jest

unieruchomiona. Kąt skręcenia φ można wyrazić przez obrót podstawy o kąt α:

ϕ = s / l = r / l α

a naprężenie styczne:

$$\tau = \frac{dFs}{2\pi\ \text{r\ dr}}$$

Siła styczna dFS:

$$dFs = \frac{2\pi\ G\alpha\ \text{r\ }2}{l}*dr$$

$$dM = \frac{2\pi\ G\alpha\ \text{r\ }2}{l}*dr$$

Otrzymane wyrażenie jest wzorem na moment siły działający na pojedynczy cylinder cienkościenny. Pełny walec składa się z takich cylindrów o promieniach od r=0 do r=R. Wówczas moment siły działający na cały walec:

$M = \frac{2\pi\ G\alpha}{l}\ $₀∫^R r³ dr

$$M = \frac{\pi\ G\ {\alpha r}^{4}}{2l}$$

Do wyznaczenia modułu sztywności zastosowano metodę dynamiczną. Na końcu badanego drutu został zawieszony wibrator w kształcie krzyża, posiadający kołki umożliwiające nakładanie dodatkowych obciążeń. Gdy wibrator zostaje skręcony o pewien kąt, w drucie występuje moment sił sprężystości dążący do przywrócenia stanu równowagi. Zwolniony wibrator wykonuje ruch drgający. Moment sił jest proporcjonalny do działającego kąta, ruch wibratora jest zatem ruchem harmonicznym, którego okres wynosi:

$$T_{0} = 2\pi\sqrt{\frac{I_{0}}{D}}$$

Gdzie D jest momentem kierującym:

$$D = \frac{M}{\alpha}$$

$$D = \frac{\text{πg}r^{4}}{2l}$$

Moment bezwładności wibratora I0, ze względu na jego nieregularny kształt, jest trudny do wyznaczenia, dlatego w doświadczeniu wyeliminowano tę wielkość. Po obciążeniu ramion wibratora ciężarkami, moment bezwładności zwiększy się o I, a okres drgań wyniesie:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_{0} + I}{D}}$$

Z dwóch powyższych równań wynika zależność:

$$D = \frac{4\ \pi\ I}{T^{2} - \ T_{0}^{2}}$$

Wówczas:

$$G = \frac{8\ \pi\ l\ I}{r^{4}({T - T}_{0}^{2})}$$

Dodatkowy moment bezwładności I obliczono na podstawie twierdzenia Steinera ze wzoru:

$$I = \left( x + y + z \right)*\frac{1}{2}R^{2} + \text{xm}d_{1}^{2} + ymd_{2}^{2} + xmd_{3}^{2}$$

Gdzie m jest masą ciężarka, R jego promieniem, d1, d2 i d3 odległościami kolejno: pierwszego, drugiego i trzeciego kołka od środka wibratora, a x, y, z ilością ciężarków zawieszonych kolejno: na pierwszym, drugim i trzecim kołku.

2. Pomiary i obliczenia:

Nr ciężarka	Średnica [cm]	Masa [g]	Wartość średnia średnicy [cm]	Wartość średnia masy [g]
1	3,2	93	3,189167
2	3,18	94
3	3,19	92
4	3,21	94
5	3,16	93
6	3,18	94		93,58333
7	3,2	91
8	3,2	94
9	3,19	94
10	3,18	96
11	3,2	93
12	3,18	95

Nr obciążonych kołków	Czas t dziesięciu wahań [s]	Wartość średnia [s]
	I seria	II seria
	41,71	42,13
1	51	49,64
2	69,12	68,56
3	91,54	92,10
1,2	74,95	75,69
1,3	95,89	96,52
2,3	106,62	107,36
1,2,3	110,12	109,98

Nr obciążonych kołków	T (s)	I (kg*m^2)	G (GPa)
	4,185	-	-
1	5,083333	0,000983424	28,47262
2	6,904667	0,003790924	30,29957
3	9,165333	0,008470091	30,70883
1,2	7,459667	0,004774348	30,18182
1,3	9,615	0,009453515	30,41165
2,3	10,69733	0,012261015	30,2598
1,2,3	11,0467	0,006550854	30,21921

Średnia wartość modułu sztywności wynosi 30,07907 GPa, a odchylenie standardowe (obliczone przy pomocy programu Excel) 0,730224.

Ostateczna postać wyniku:

G= (30,07907 + - 0,730224)GPa

Przykładowe obliczenia:

R = 0,015946m

r = 0,00064m

T_1,2 = 7,459667s

T₀ =4,185s

l = 1,61m

d₁ = 0,005m

d₂ = 0,01m

d₃ = 0,015m

I_1, 2 =  8I₀ + 4md₁²  + 4md₂²

$$I_{0} = \frac{mR^{2}}{2}$$

$$I_{1,2} = \ 8*\ \frac{0,093583*{0,15946}^{2}}{2} + 4*0,093583*{0,005}^{2}\ + 4*0,093583\ {0,01}^{2}$$

I_1, 2 =  0,004774348 kg*m²

$$G = \frac{8\ \pi\ l\ I_{1,2}}{r^{4}({T_{1,2}^{2} - T}_{0}^{2})}$$

$$G = \frac{8\ 3,14*\ 1,6*\ 0,004774348}{{0,00064}^{4}({7,459667}^{2}*{4,185}^{2})}$$

G=30,18182 GPa

3. Wnioski:

Moduł sztywności wynosi 30,18182 GPa, można więc przypuszczać, że drut został wykonany z tytanu ( dla tytanu G=40GPa). Wyznaczanie okresu wahań było związane z dość dużą niedokładnością, ponieważ ciężko jest zatrzymać stoper w idealnym momencie.