MECHANIKA PŁYNÓW wykład 4 29.10.2012r.

1. Pytania do poprzedniego wykładu:

• Wyprowadzić wzór na parcie na powierzchni płaskiej

• Wykazać, że wypadkowe parcie działa poniżej geometrycznego środka ciężkości powierzchni płaskiej

• Wyprowadzić / udowodnić prawo Archimedesa

- czy zawsze działa siła wyporu?

- czy wypór jest siłą masową czy powierzchniową?

RÓWNOWAGA CIAŁ PŁYWAJĄCYCH

1. Pływanie ciał – stan, w którym ciężar ciała równoważony jest przez siłę wyporu

1. Ciała całkowicie zanurzone

Równanie podstawowe – równanie sił

G = W_max (oznacza stan w równowadze – musimy określić jeszcze rodzaj tej równowagi)

Środek wyporu leży zawsze w geometrycznym środku objętości danego ciała. Środek ciężkości zależnie od rozkładu masy.

Jeżeli S_c jest powyżej S_w, to jest to stan równowagi chwiejnej (III, IV).

Jeżeli S_w jest ponad S_c, to jest to stan równowagi stałej (I, II).

Kiedy S_c = S_w, to mamy do czynienia z równowagą obojętną.

1. Ciała częściowo zanurzone

Badamy warunek G=W

Wypór – dotyczy wyłącznie zanurzonej części ciała.

Jeżeli ten warunek jest spełniony i dla małych kątów odchylenia od stanu równowagi, to kąt wyrażony w radianach = sin i th tego kąta ( z błędem nie przekraczającym 3%).

W takim przypadku o rodzaju równowagi decyduje wysokość metacentrum.

$$m = \frac{J}{V} - a$$

Gdzie:

J – moment bezwładności pola przecięcia ciała płaszczyzną pływania liczony względem osi obrotu

V – objętość zanurzonej części ciała

a – odległość między S_c a S_w

Jeżeli S_c znajduje się powyżej S_w, to a>0

Jeżeli S_c znajduje się poniżej S_w, to a<0

Co to jest wysokość metacentryczna?

Jeżeli wychylimy ciało do pozycji II, tak jak na rysunku, to S_c zostanie bez zmian, ale S_w przesunie się wewnątrz objętości zanurzonej. W S_w zaczepiamy siłę wyporu. Po przesunięciu tej siły do przecięcia z osią pływania, powstaje punkt M – metacentrum. Wysokość punktu M od S_w nazywana jest wysokością metacentryczną.

Jeżeli:

m>0 – równowaga trwała

m=0 – równowaga obojętna

m<0 – równowaga chwiejna

Analiza rys. I:

Jeżeli przetniemy ciało płaszczyzną pływania (w tym przypadku – zwierciadło cieczy), to powstanie nam pole (różowe).

Powinniśmy przesunąć Sc jak najwyżej – żeby „a” było dodatnie – wtedy otrzymamy równowagę trwałą. W tym celu balastujemy (np. żaglówkę).

J – moment bezwładności …

Bierzemy element pola dA oraz odległość r jak na rysunku. Wówczas:

J = ∬_A r²dA [m⁴]

Im smuklejsza sylwetka ciała, tym moment bezwładności jest mniejszy. Wtedy trudniej uzyskać dodatnie „m”. Najlepszym sposobem jest balastowanie – wtedy przynajmniej „a” jest ujemne.

Drugi sposób:

Odsuwamy od siebie dwie części, wtedy moment bezwładności będzie duży.

PRZEPŁYWANIE

1. Metody badania ruchu.

Wyróżniamy dwie podstawowe metody:

• Metoda Lagrange’a (wędrowna)

• Metoda Eulera (lokalna)

Metoda Lagrange’a:

W metodzie Lagrange’a w przestrzeni poruszającego się płynu wybieramy element płynu dla t=0. Współrzędne tego elementu to a, b, c. Następnie wybrany element w czasie zmienia swoje położenie (w jednostce czasu).

x(a, b, c, t); y(a, b, c, t); z(a, b, c, t)

Możemy powiedzieć, że składowe prędkości będą równe:

$v_{x} = \frac{\partial x}{\partial t}$ ; $v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t}$ ; $v_{z} = \frac{\partial z}{\partial t}$

Składowe przyspieszenia:

$a_{x} = \frac{\partial^{2}x}{\partial t^{2}}$ ; $a_{y} = \frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}$ ; $a_{z} = \frac{\partial^{2}z}{\partial t^{2}}$

Zastosowanie tej metody:

• Obserwacja rozprzestrzeniania się barwnika w rzece. Możemy określić prędkość, z jaką barwnik się rozprzestrzenia, jak się rozcieńcza – jakie procesy tam zachodzą.

• Obserwacja wynurzającego się pęcherzyka – prędkość, ciśnienie, stężenie, temperatura etc.

• W medycynie (lokalizacja zatoru)

• meteorologia

Metoda Eulera:

Mierniki zamocowane na stałe w kilku punktach. Przez te punkty przepływają różne elementy tego płynu. Określa parametry ruchu elementu płynu w funkcji czasu. Stara się zmierzyć pole parametrów mierzonych w punkcie czasu.

W konkretnych punktach wyznaczamy składowe prędkości:

v_x(x, y, z, t); v_y(x, y, z, t); v_z(z, y, z, t)

Składowe ciśnienia:

p(z, y, z, t); ρ(x, y, z, t); T(x, y, z, t)

Możemy określić prędkość v(x, y, z, t).

Zatem zmiana tej prędkości wynosi:

$$dv = \frac{\partial v}{\partial t}dt + \ \frac{\partial v}{\partial x}\text{dx} + \ \frac{\partial v}{\partial y}dy + \frac{\partial v}{\partial z}\text{dz}$$

$$a = \frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \frac{\partial v}{\partial y}\frac{\text{dy}}{\text{dt}} + \frac{\partial v}{\partial z}\frac{\text{dz}}{\text{dt}}$$

Gdzie:

$$\frac{\text{dx}}{\text{dt}} = v_{x}$$

$$\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = v_{y}$$

$$\frac{\text{dz}}{\text{dt}} = v_{z}$$

Zatem:

$$a = \frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}v_{x} + \frac{\partial v}{\partial y}v_{y} + \frac{\partial v}{\partial z}v_{z}$$

Wniosek: Przyspieszenie (pochodna substancjalna) składa się z dwóch członów:

• przyspieszenie lokalne: $\frac{\partial v}{\partial t}$

• przyspieszenie adwekcyjne: $\frac{\partial v}{\partial x}v_{x} + \frac{\partial v}{\partial y}v_{y} + \frac{\partial v}{\partial z}v_{z}$

Jeżeli zmieniamy przepływ w czasie, to w danym punkcie pojawi się przyspieszenie lokalne. Okazuje się jednak, że nie musimy zmieniać ilości przepływającego płynu, a i tak pojawi się przyspieszenie.

Przez oba przekroje przepływa taka sama ilość cieczy.

Jeżeli pola przekrojów są różne, to przyspieszenie zależy od pola przekroju (im mniejszy przekrój, tum płyn musi przepłynąć szybciej).

PODSTAWOWE POJĘCIA

1. Ruch ustalony (stacjonarny)

2. Ruch nieustalony (niestacjonarny)

Ad.1.

Parametry ruchu niezmienne w czasie – niezależne od czasu

Jeżeli f(x, y, z, t) oznacza jakąś funkcję fizyczna, to ruch będzie ustalony, jeżeli:

$$\frac{\partial f}{\partial t} = 0$$

Ad.2.

Parametry ruchu zależą od czasu.

$$\frac{\partial f}{\partial t} \neq 0$$

1. Tor – droga, jaką zatacza podczas ruchu element płynu. W czasie dt ten element płynu przeniesie się na drodze ds.

dx =  v_xdx

dy =  v_ydy

dz =  v_zdz

3 powyższe równania są trzeba równaniami różniczkowymi tego toru.

Możemy to zapisać w postaci:

$$\frac{\text{dx}}{v_{x}} = \frac{\text{dy}}{v_{y}} = \frac{\text{dz}}{v_{z}} = dt$$

1. Linia prądu – linia poprowadzona w polu prędkości, do której w danej chwili czasowej wektory prędkości są styczne.

Szukamy różniczkowego równania linii prądu.

$$\overrightarrow{\text{dS}} \times \overrightarrow{v}$$

Musimy skorzystać z równania, w którym iloczyn wektorowy daje jakąś konkretną wartość.

Jeżeli iloczyn wektorowy = 0, to wektory prędkości będą styczne do linii, dla której przesunięcie będzie równe ds.

$$\left| \begin{matrix} i & j & k \\ \text{dx} & \text{dy} & \text{dz} \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \\ \end{matrix} \right| = 0\ \ \rightarrow KIEDY?$$

Ta wartość =0, kiedy wyznacznik będzie równy 0. Zachodzi następujący związek:

$$\frac{\text{dx}}{v_{x}} = \frac{\text{dy}}{v_{y}} = \frac{\text{dz}}{v_{z}}$$

Jest to różniczkowe równanie linii prądu.

Jaka jest różnica między równaniem toru a równaniem linii prądu?

• Równanie toru – równanie po czasie, a równanie linii prądu – dla danej chwili.

• W ruchu ustalonym tor pokrywa się z linią prądu.

1. Smuga – zbiór geometrycznych punktów w przestrzeni płynu (elementów płynu), które przeszły przez punkt zwany emisją (np. wylot gazów z komina).

2. Rurka prądu – powierzchnia utworzona z linii prądu przechodzących przez kontur zamknięty.

Kontur zamknięty w przestrzeni płynu. Przez odpowiednie punkty konturu przechodzą lunie prądu, tworząc rurkę prądu.

1. Struga – pęk linii prądu, przechodzących przez pole dA lub ΔA (przez małe pole przekroju poprzecznego).

2. Strumień – pęk strug (pęk linii prądu przechodzących przez pole A).

3. Powierzchnia kontrolna – nieruchoma zamknięta bądź otwarta powierzchnia, przez którą przepływa płyn. Wewnątrz powierzchni kontrolnej jest objętość kontrolna.

4. Powierzchnia płynna – powierzchnia utworzona stale z tych samych elementów płynu (powierzchnia zamknięta). Wewnątrz niej znajduje się objętość płynna.

PRZYKŁAD 2

Pęcherzyk gazu, który unosi się w cieczy. Jego objętość się zmienia, ale na zewnątrz cały czas zbudowany jest z tych samych elementów. – powierzchnia płynna

W objętości płynnej masa jest niezmienna.

1. Strumień masy (masowe natężenie przepływu; wydatek masowy) – masa, która przepływa przez powierzchnię o polu A w jednostce czasu.

Oznaczenia: M, $\dot{m},\ Q_{m}$

$$M = \iint_{A}^{\ }{\text{ρvdA\ }\left\lbrack \frac{\text{kg}}{s} \right\rbrack}$$

1. Objętościowe natężenie przepływu (strumień objętości; wydatek; przepływ) – objętość, jaka przepływa przez pole A w jednostce czasu.

$$Q = \iint_{A}^{\ }{\text{vdA\ }\left\lbrack \frac{m^{3}}{s} \right\rbrack}$$

Oznaczenia: Q, $\dot{V}$

1. Prędkość średnia w przekroju poprzecznym strumienia

$$v_{sr} = \ \frac{Q}{A} = \frac{1}{A}\iint_{A}^{\ }\text{vdA}$$

Stosunek wydatku do pola przekroju A.

1. Cyrkulacja prędkości

$$\Gamma = \oint_{}^{}\overrightarrow{v}*\overrightarrow{\text{dS}} = \ \oint_{}^{}{v_{x}dx + v_{y}dy + v_{z}\text{dz}}$$

Całka po konturze zamkniętym z iloczynu skalarnego prędkości oraz ?????

1. Rotacja prędkości

$$\text{rot}\overrightarrow{v} = \ \nabla \times \overrightarrow{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \\ \end{matrix} \right|$$

Prędkość kątowa wirowania płynu.

KINEMATYKA PŁYNU

Bada i opisuje ruch plynu, ale bez analizy czynników wywołujących ten ruch. (nie podaje przyczyny ruchu) – opisuje drogę, elementy, prędkość, przyspieszenie etc.

Wyróżniamy dwa rodzaje ruchu w kinematyce:

• Wirowy

• Bezwirowy (potencjalny)

W warunkach rzeczywistych mamy płyny rzeczywiste, czyli lepkie – płyny wirowe (lepkość ma tendencję do zawirowywania ruchu). To wcale nie znaczy, że ruch wirowy powstał – jest tendencja.

Jak badać rodzaj ruchu?

W ruchu wirowym cyrkulacja i rotacja prędkości są różne od zera.

Ruch bezwirowy występuje, gdy cyrkulacja i rotacja prędkości są równe zeru.

W ruchu bezwirowym musi istnieć pewna skalarna funkcja φ(x, y, z), dla której:

$$v_{x} = \frac{\partial\varphi}{\partial x};\ v_{y} = \frac{\partial\varphi}{\partial y};\ v_{z} = \frac{\partial\varphi}{\partial z}$$

Dowód:

$$\text{rot}\overrightarrow{v} = \nabla \times \overrightarrow{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_{x} & v_{y} & v_{z} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial\varphi}{\partial x} & \frac{\partial\varphi}{\partial y} & \frac{\partial\varphi}{\partial z} \\ \end{matrix} \right|$$

Rozwijamy ten wyznacznik względem pierwszego wiersza – analogicznie sytuacja występuje dla wersorów j i k.

$$= i\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \frac{\partial\varphi}{\partial x} & \frac{\partial\varphi}{\partial z} \\ \end{matrix} \right| = i\left( \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial y\partial z} - \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z\partial y} \right)$$

Z Twierdzenia Shwartza (?) – różnica dwóch pochodnych mieszanych równa jest zero.

WNIOSEK: Jeżeli jest ruch, w którym rotacja prędkości =0 to istnieje funkcja zwana potencjałem prędkości φ.

Ruch bezwirowy występuje rzadko.

Jaki jest skutek lepkości płynu?

W trakcie ruchu pojawiają się opory tarcia.

Żeby było tarcie musi być zmiana prędkości do wysokości.

W interesującym nas elemencie prędkość się nie zmienia – zatem nie ma oporów tarcia (mowa o momencie, w którym prędkość jest już ustabilizowana – wykres).

Taki przepływ nazywamy:

• Doskonałym

• Potencjalnym

W tym miejscu w skutek lepkości i intensywnego wirowania uzyskujemy miejsce bez zmiany prędkości.

DYNAMIKA CIECZY DOSKONAŁEJ

Bada siły oraz energię, które wywołują ruch płynu; badanie ruchu pod kątem przyczyn

Dwa równania:

1. Równanie ciągłości przepływu

M = ∬_A ρvdA = const.

Q = ∬_A vdA = const. (dla ρ = const.)

1. Różniczkowe równanie ruchu

Przypominamy sobie równanie Eulera:

$$\frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \overrightarrow{F_{\text{jm}}} - \frac{1}{\rho}\text{gradp}$$

Równanie bilansu sił; ν=0, ρ=const.

W każdym przypadku, żeby opisać ruch płynów musimy korzystać z tych dwóch równań.

Całkując równanie Eulera dla ν=0, ρ=const. (ciecz doskonała – brak lepkości i stała gęstość) w jednorodnym polu grawitacyjnym, dla ruchu ciągłego i ustalonego, otrzymuje się zależność:

$$z + \frac{p}{\text{ρg}} + \frac{v^{2}}{2g} = const.$$

Jest to równanie Bernoullego dla strumienia cieczy doskonałej.

Określa wysokość energii mechanicznej (energię przypadającą na jednostkę ciężaru płynu).

$$E = z + \frac{p}{\text{ρg}} + \frac{v^{2}}{2g} = const.$$

Gdzie:

E – wysokość energii mechanicznej

z – wysokość położenia

$\frac{p}{\text{ρg}}$ – wysokość ciśnienia

$\frac{v^{2}}{2g}$ – wysokość energii kinetycznej strumienia

$z + \frac{p}{\text{ρg}}$ – wysokość energii potencjalnej

Interpretacja geometryczna i energetyczna równania Bernoullego:

Jeżeli ρ=const, to w ruchu ustalonym wydatek Q=const. Gdyby ρ było zmienne przy stałej wartości M, to Q też byłoby zmienne (?).

Wracając do sytuacji, w której ρ=const. oraz Q=const.:

Q = v_srA

A =  v_sr1 * A₁ = v_sr2 * A₂ = const.

W cieczy doskonałej (nielepkiej) w przekroju poprzecznym strumienia prędkości są takie same:

v = v_sr

Dla cieczy doskonałej:

Q = v₁A₁ = v₂A₂ = const.

WNIOSEK: Linia energii przy poziomie cieczy doskonałej jest niezmienna, a linia ciśnień może rosnąć lub opadać.

Równanie Bernoullego w odniesieniu do naszej sytuacji (rys.8):

$$z_{1} + \frac{p_{1}}{\text{ρg}} + \ \frac{v_{1}^{2}}{2g} = z_{2} + \frac{p_{2}}{\text{ρg}} + \frac{v_{2}^{2}}{2g} = const.$$

Jest to równanie Bernoullego dla cieczy doskonałej.

Jeżeli:

$$z_{1} + \frac{p_{1}}{\text{ρg}} = \ p_{a} + p_{n_{1}}$$

$$z_{2} + \frac{p_{2}}{\text{ρg}} = p_{a} + \ p_{n_{2}}$$

Wówczas:

$$z_{1} + \ \frac{p_{n_{1}}}{\text{ρg}} + \frac{v_{1}^{2}}{2g} = z_{2} + \frac{p_{n_{2}}}{\text{ρg}} + \frac{v_{2}^{2}}{2g} = const.$$

Jeżeli w miejsce p₁ → p_n1oraz p₂ → p_n2, linia energii i linia ciśnień przesuną się w dół. Wówczas linia ciśnień staje się piezometryczną linią ciśnień (ciecz w piezometrze wznosiłaby się na poziom piezometrycznej linii ciśnień), zaś linia energii zmieniłaby się w linię energii od nadciśnienia.

DYNAMIKA CIECZY RZECZYWISTEJ

ν≠0, ρ=const.

Lepkość jest różna od zera. W trakcie przepływu na kierunku ruchu występują opory tarcia. Prowadzi to do zjawiska dyssypacji energii.

Dyssypacja energii = rozproszenie energii.

Doświadczenie Reynoldsa:

Badanie zachowania się barwnika w wodzie:

Ciecz i gaz rzeczywisty może przepływać w sposób dwojaki:

• Laminarny (1, 2 – wirowy)

• Burzliwy (turbulejowy) – mieszanie się w skutek wirowania

$$\frac{v_{sr}D}{\nu} = Re$$

Gdzie:

v_sr- prędkość średnia przepływu

D- średnica przewodu

ν- kinematyczny współczynnik lepkości

Liczba Reynoldsa – liczba podobieństwa zjawisk fizycznych.

$$v_{sr} = \ \frac{Q}{A}$$

$$\nu = \frac{\mu}{\rho}$$

Wówczas:

$$Re = \frac{v_{sr}\text{Dρ}}{\mu}$$

Jeżeli to będzie przewód kołowy, to:

$$A = \frac{\pi D^{2}}{4} \rightarrow v_{sr} = \frac{Q}{A} = \frac{4Q}{\pi D^{2}}$$

Wówczas:

$$Re = \frac{4Q}{\text{πDν}} = \frac{4Q\rho}{\text{πDμ}}$$

A co jeśli przewód jest niekołowy (np. kiedy przewód jest częściowo wypełniony cieczą lub jest korytem rzeki)?

Wprowadzamy pojęcie promienia hydraulicznego:

$$R_{h} = \frac{A}{U}$$

Gdzie:

A – pole przekroju

U – obwód zwilżony (zaznaczony na rys.11)

Wprowadzamy pojęcie średnicy zastępczej:

D_z = 4R_h

Wówczas liczbę Reynoldsa liczymy następująco:

$$Re = \frac{v_{sr}*D_{z}}{\nu}$$

$$v_{sr} = \frac{Q}{A}$$

Łatwo sprawdzić, że jeżeli jest to przewód kołowy, w którym ciecz płynie przez całą średnicę:

$$R_{h} = \frac{A}{U} = \frac{\pi D^{2}}{4\pi D} = \frac{D}{4}$$

D_z = 4R_h = D

Stąd zapis dla przewodu kołowego.

Jeżeli będziemy stopniowo zwiększać wartość prędkości przepływu, to możemy uzyskać ruch laminarny nawet dla wartości 50.000 (jest to liczba Reynoldsa krytyczna górna Re_krg ≅ 50.000).

Re_krd ≅ 2.320

Dla krytycznej górnej ruch laminarny jest nietrwały. Łatwo przejść w ruch turbulejowy. Dla krytycznej dolnej ruch laminarny jest trwały.

Re=2320

↑ - turbulejowy

↓ - laminarny

Oba trwałe.

Małe prędkości, małe średnice, duża lepkość – sprzyjają ruchowi laminarnemu. Odwrotnie – turbulejowemu.

PYTANIA:

1. Metody badania ruchu

2. Pojęcie linii prądu, wyznaczyć jej równanie

3. Puch wirowy i bezwirowy – omówić + przykłady