Przykład 1
Za 4 lata właściciel przewiduje remont kapitalny budynku, który będzie kosztował 200 000 zł. Po ile należy wpłacać do banku na koniec każdego roku (kwartału lub miesiąca) do momentu rozpoczęcia remontu przy stopie r=5% rocznie i rocznej (kwartalnej lub miesięcznej) kapitalizacji odsetek, aby mieć stosowne środki na przeprowadzenie remontu.
FV= 200 000
n= 4 lata
r=5%
$$\mathbf{An = FVAn*}\frac{\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{m}}}{{\mathbf{(1 +}\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{m}}\mathbf{)}}^{\mathbf{n*m}}\mathbf{- 1}}$$
Dla m=1
An= 200 000* $\frac{\frac{0,05}{1}}{{(1 + \frac{0,05}{1})}^{4*1} - 1}\ $= 46402,37zł
Dla m=4
An= 200 000* $\frac{\frac{0,05}{4}}{{(1 + \frac{0,05}{4})}^{4*4} - 1}\ $= 11369,34zł
Dla m=12
An= 200 000* $\frac{\frac{0,05}{12}}{{(1 + \frac{0,05}{12})}^{4*12} - 1}\ $= 3772,53zł
Dla r=1,5% i m=1
An= 200 000* $\frac{\frac{0,015}{1}}{{(1 + \frac{0,015}{1})}^{4*1} - 1}\ $=48888,96zł
Odpowiedz: Przy stopie procentowej równej 5% do banku należy wpłacać: rocznie 46402,37zł, kwartalnie 11369,34zł, miesięcznie 3772,53 zł, natomiast przy stopie procentowej równej 1,5% należy rocznie wpłacić 48888,96zł.
Przykład 2
Spółka handlowa nabyła lokal, który zapewnia coroczny zysk z najmu w wysokości 26 000zł+m*1000 zł. Firma zamierza wydzierżawić ten lokal innej firmie na 10 lat z zastrzeżeniem, że należną wartość czynszu dzierżawca zapłaci na początku dzierżawy. Stopa procentowa wynosi 11% rocznie+m*0,1%. Określ czy wpłacona kwota przez dzierżawcę zapewni zwrot kapitału w kwocie 12000zł +m*8000 zł.
Dane:
m=21
An=26 000+m*1 000=26 000+21*1 000=47 000 zł
n=10 lat
r= 11%+m*0,1=11%+21*0,1=13,1%=0,131
$$\mathbf{\text{PV}}\mathbf{A}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\mathbf{A}_{\mathbf{n}}\frac{\mathbf{(1 + r)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}{\mathbf{(1 + r)}^{\mathbf{n}}\mathbf{*r}}$$
$\text{PV}A_{n} = A_{n}\frac{{(1 + 0,131)}^{10} - 1}{{(1 + 0,131)}^{10}*0,131} =$47 000*$\frac{2,4247}{0,4486}$= 254036,78 zł
kapitał 12000+m*8000=12000+21*8000= 180 000zł
Odpowiedz : Wpłacona kwota zapewni spółce handlowej zwrot kapitału.
Przykład 3
Inwestor Pan X korzystając z kredytu oprocentowanego na 10%+m*0,2% rocznie kupił lokal mieszkalny po czym go wynajął na 5 lat za czynsz roczny netto w kwocie 4 000zł+m*150 zł (płatny pod koniec każdego roku trwania umowy). Ustal czy czynsz ten pokryje zaciągnięty kredyt przez inwestora w kwocie 13000zł+m*300zł.
m-=21
r=10%+m*0,2%=10%+21*0,2%= 14,2%=0,142
n=5 lat
PV=13000zł+m*300zł=13000zł+21*300zł=19 300zł
$${\mathbf{A}_{\mathbf{n}}\mathbf{= PV}\mathbf{A}_{\mathbf{n}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{(1 + r)}^{\mathbf{n}}\mathbf{*r}}{\mathbf{(1 + r)}^{\mathbf{n}}\mathbf{- 1}}}^{}$$
${A_{n} = 19\ 300*\frac{{(1 + 0,142)}^{5}*0,142}{{(1 + 0,142)}^{5} - 1}}^{}$=5649,94 zł
Czynsz roczny netto- 4 000zł+m*150 zł=7150 zł
Odpowiedz: Czynsz w wysokości 7150 zł pokryje zobowiązanie kredytowe wynoszące 5649,94 zł.
Przykład 4
Oblicz obecną wartość strumieni pieniężnych generowanych przez podmiot gospodarczy. Schemat przepływów pieniężnych jak poniżej. Zadanie rozwiązać w dwóch wariantach:
r=7%+m*0,3% - stopa roczna
r=7%+m*0,3% - stopa kwartalna
CF(−5)=2000zł+21*150 zł=5150 zł
$\text{CF}_{\begin{matrix} \left( - 4 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=2500zł+21*150zł=5650 zł
$\text{CF}_{\begin{matrix} \left( - 3 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=2200zł+21*200zł=6400 zł
$\text{CF}_{\begin{matrix} \left( - 2 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=2000zł+21*200zł=6200zł
$\text{CF}_{\begin{matrix} \left( 0 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=5000zł+21*200zł=9200 zł
$\text{CF}_{\begin{matrix} \left( 2 \right) \\ \\ \end{matrix}} =$2800zł+21*300zł=9100zł
$\text{CF}_{\begin{matrix} \left( 3 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=1800zł+21*300zł=8100zł
$$\text{CF}_{\begin{matrix}
\left( 4 \right) \\
\\
\end{matrix}} = 3200zl + 21*340zl = 10340zl$$
$\text{CF}_{\begin{matrix} \left( 5 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=4000zł+21*100zł=6100zł
1)kapitalizacja roczna
m=21
r= 7%+m*0,3%=7%+21*0,3%=13,3%
$\text{FVn}_{\begin{matrix} \left( - 5 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=5150zł*(1 + 0, 113)5=8795,96 zł
$\text{FVn}_{\begin{matrix} \left( - 4 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=5650zł*(1 + 0, 113)4=8670,20 zł
$\text{FVn}_{\begin{matrix} \left( - 3 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=6400zł*(1 + 0, 113)3=8824 zł
$\text{FVn}_{\begin{matrix} \left( - 2 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=6200zł*(1 + 0, 113)2=7680,37 zł
$\text{FVn}_{\begin{matrix} \left( 0 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=9200zł*(1 + 0, 113)0=9200zł
PV(2)=9100zł*$\frac{1}{{(1 + 0,113)}^{2}}$=7346 zł
PV(3)=8100zł$*\frac{1}{{(1 + 0,113)}^{3}}$=5874,89zł
PV(4)=10340zł*$\frac{1}{{(1 + 0,113)}^{4}}$=6738,13zł
PV(5)=6100zł$*\frac{1}{{(1 + 0,113)}^{5}}$=3975,11zł
Strumień:
8795,96 zł-8670,20 zł-8824 zł+7680,37 zł+9200zł-7346 zł+5874,89zł+6738,13zł-3975,11zł=-3599,15zł
Odpowiedz: Przy rocznej stopie procentowej wynoszącej 13,3% wartość strumienia pieniężnego wynosi 3599,15zł.
2) kapitalizacja kwartalna
m=21
r= 7%+m*0,3%=7%+21*0,3%=13,3%
$\text{FVn}_{\begin{matrix} \left( - 5 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=5150zł$*{(1 + \frac{0,113}{4})}^{5*4}$=8990,45zł
$\text{FVn}_{\begin{matrix} \left( - 4 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=5650zł${*{(1 + \frac{0,113}{4})}^{4*4}}^{} =$8823,23zł
$\text{FVn}_{\begin{matrix} \left( - 3 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=6400zł$*{(1 + \frac{0,113}{4})}^{3*4}$= 8940,55zł
$\text{FVn}_{\begin{matrix} \left( - 2 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=6200zł*${(1 + \frac{0,113}{4})}^{2*4}$=7747,85zł
$\text{FVn}_{\begin{matrix} \left( 0 \right) \\ \\ \end{matrix}}$=9200zł*${(1 + \frac{0,113}{4})}^{0}$=9200zł
PV(2)=9100zł*$\frac{1}{{(1 + \frac{0,113}{4})}^{2*4}}$=7282,01zł
PV(3)=8100zł$*\frac{1}{{(1 + \frac{0,113}{4})}^{3*4}}$=5798,29zł
PV(4)=10340zł*$\frac{1}{{(1 + \frac{0,113}{4})}^{4*4}}$=6621,26
PV(5)=6100zł$*\frac{1}{{(1 + \frac{0,113}{4})}^{5*4}}$=3494,26zł
Strumień:
8990,45zł-8823,23zł-8940,55zł+7747,85zł+9200zł-7282,01zł+5798,29zł
+6621,26zł-3494,26zł=9817,80zł
Odpowiedz: Przy kwartalnej stopie procentowej wynoszącej 13,3% wartość strumienia pieniężnego wynosi 9817,80zł.