Obciążenie symetryczne (np. od ciężaru własnego) dla powłoki
w parametryzacji prostokreślnej

Siły przekrojowe

Dla symetrycznego sposobu obciążenia, jest:

,

gdzie składowe wektora obciążenia wynoszą:

,

,

,

natomiast funkcję opisana jest zależnością:

.

,

Siły przekrojowe (UWAGA) w ujęciu fizycznym:

,

,

,

gdzie:

- - opisują wzory j.w.,

- - stałe zapewniające spełnienie warunków brzegowych, wyznaczone z zależności napisanych dla brzegu swobodnego:

→ ,

→ ,

- - całka określona wzorem:

.

Przemieszczenia

Dla symetrycznego sposobu obciążenia, wobec tego że rozwiązanie nie zależy od zmiennej u², rozwiązanie przemieszczeniowego układu równań jest w postaci:

,

,

.

Różniczkowanie kowariantne:

• dla skalara:

,

• dla pola wektorowego:

,

,

• dla pola tensorowego:

,

,

.

Wielkości fizyczne sił i przemieszceń

Omawiane wielkości, tj. składowe uogólnionych sił wewnętrznych, przemieszczeń i obciążeń są wielkościami opisanymi w dowolnym krzywoliniowym układzie współrzędnych. Wielkości fizyczne otrzymujemy przez pomnożenie wielkości tensorowych przez pewne wielkości geometryczne wg formuł:

, , , ,

, , , .

Uwaga: - po i, j nie sumować,
- symbol : „” oznacza współrzędną fizyczną.

Związki fizyczne

Bezpośrednie powiązanie składowych uogólnionych sił wewnętrznych ze składowymi tensora odkształcenia (związki fizyczne) otrzymuje się w postaci:

,

,

lub w wersji odwrotnej:

,

,

gdzie skalary i (ozn. momenty stanu zgięciowego), są sumami:

, .

Zależność pomiędzy skalarami i oraz i jest następująca:

, .

Wersja uproszczona uogólnionych sił przekrojowych od stanu błonowego i zgięciowego

,

.