Wstęp

     Na początku XX w. znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywały na to, że atomy zawierają elektrony.

Ponieważ w normalnych warunkach atomy są elektrycznie obojętne, a zatem muszą one mieć ładunek dodatni równy ujemnemu.

Ponieważ masa elektronów jest bardzo mała w porównaniu z masą najlżejszych nawet atomów oznaczało ponadto, że ładunki dodatnie związane są ze znaczną masą.

Tego typu rozważania prowadziły do pytania, jak wygląda rozkład ładunków dodatnich i ujemnych w atomie.

J.J.Thomson zaproponował model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie naładowane elektrony znajdują się wewnątrz pewnego obszaru wypełnionego w sposób ciągły ładunkiem dodatnim ("ciasto z rodzynkami").

Ładunek dodatni tworzył kulę o promieniu rzędu 10^-10 m. W tej kuli ładunki ujemne byłyby rozłożone równomiernie (w wyniku sił odpychania).

W atomie znajdującym się w stanie o najniższej energii elektrony były nieruchome. Natomiast w atomach o wyższej energii, tzn. w atomach wzbudzonych (np. w wysokiej temperaturze) elektrony wykonywałyby drgania wokół położeń równowagi.

Uwaga: Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej każde naładowane ciało poruszające się ruchem przyspieszonym wysyła promieniowanie elektromagnetyczne.

Tak więc drgający elektron wysyłałby promieniowanie i w ten sposób model Thomsona wyjaśniał zjawisko emisji promieniowania przez wzbudzone atomy.

Jednak zgodności ilościowej z doświadczeniem nie uzyskano.

Ostateczny dowód nieadekwatności modelu Thomsona podał w 1911 r. jego uczeń E. Rutherford analizując wyniki rozpraszania cząstek α na atomach.

Eksperyment Rutherforda

     Pierwszym fundamentalnym doświadczeniem odkrywającym naturę atomu był eksperyment Rutherforda związany z rozpraszaniem cząstek alfa na atomach złota.

W 1911 roku Rutherford przeprowadził teoretyczną analizę kątów rozproszenia zgodnie z teorią atomu Thomsona i zgodnie z wysuniętą przez siebie teorią, w której założył, że atomy zbudowane są z dodatnio naładowanego jądra i ujemnie naładowanych elektronów krążących wokół niego. Następnie teoretycznie obliczone wyniki porównał z wynikami eksperymentu.

Powolna cząsteczka alfa padająca na warstwy atomów zbudowanych zgodnie z modelem "ciasta z rodzynkami", w którym atomy przylegałyby do siebie najprawdopodobniej zostałaby zatrzymana i nie mogłaby przeniknąć przez złotą folię. Z kolei szybka cząstka przenikałaby przez cienką folię w zasadzie prawie nie odchylona, , gdyż pole elektryczne wewnątrz atomów byłoby słabe i w miarę jednorodne. W modelu Rutherforda pole to jest znacznie silniejsze bliżej jądra (gdzie jest skupiony cały dodatni ładunek), a więc niektóre cząstki alfa są znacznie bardziej odchylane. Inne natomiast, przechodzące daleko jądra, są prawie nie odchylane.

Model Thomsona	Model Rutherforda

applet: http://www.phys.virginia.edu/classes/109N/more_stuff/Applets/

Dwa modele atomu - Thomsona i Rutherforda, i spodziewane odchylenie cząstki alfa w obu przypadkach

Podsumowując wyniki prac, Ernest Rutherford stwierdził, że atom składa się z jądra o rozmiarach 10^-15 - 10^-14 metra. Znajduje się w nim, cały ładunek dodatni i właściwie cała jego masa. Dookoła jądra po obszarze o rozmiarach rzędu 10^-10 metra krążą lekkie elektrony. Elektrony muszą krążyć wokół jądra po orbitach, aby przyciągane przez ładunki dodatnie nie spadły na jądro. Orbity te zależne są od energii elektronów. Elektrony w atomach tego samego pierwiastka krążą po tych samych charakterystycznych dla niego orbitach - widmo optyczne atomów tego samego pierwiastka jest takie same.

Model atomu Rutherforda. Elektron krążący po orbicie wokół jądra
z prędkością v, jest przyciągany przez nie z siłą F

Taki obraz atomu był zgodny z wynikami doświadczeń nad cząstek alfa na atomach, jednak nie wyjaśniał charakteru obserwowanych widm atomowych.

Widma atomowe

Drugim przełomowym doświadczeniem, które wpłynęło w decydująco na nasz sposób pojmowania budowy atomu i tym samym budowy materii był pomiar promieniowania emitowanego przez gazy pobudzone do świecenia metodą wyładowania elektrycznego.

 

Na rysunku przedstawiony jest typowy układ do pomiaru widm atomowych

W eksperymencie promieniowanie przechodzi przez szczelinę kolimującą, a następnie pada na pryzmat (lub siatkę dyfrakcyjną), który rozkłada promieniowanie na składowe o różnych długościach fal, co pozwala przeanalizować widmo emitowanego światła.

Wyniki tego doświadczenia możesz prześledzić korzystając z poniższej prezentacji.

Wybieraj z menu kolejne pierwiastki i porównaj ich widmo (światło jakie wysyłają) z widmem innych pierwiastków, a przede wszystkim ze światłem jakie wysyłają rozgrzane ciała np. słońce, żarówka (widmo ciągłe).

applet: http://www.colorado.edu/physics/2000/

Na kliszy fotograficznej uwidacznia się cecha szczególna obserwowanych widm. W przeciwieństwie do widma ciągłego emitowanego np. przez powierzchnie ciał ogrzanych do wysokich temperatur, promieniowanie wysyłane przez swobodne atomy zawiera tylko pewną liczbę długości fal. Każda z takich składowych długości fal nazywana jest linią (bo taki jest obraz szczeliny).

Widma promieniowania pierwiastków w postaci gazów i par, pobudzonych do świecenia np. za pomocą wyładowania elektrycznego, są złożone z jasnych, ostrych linii, odpowiadających ściśle określonym długościom fal (tzw. widmo emisyjne).

 

 

Rozwinięto to doświadczenie, tym razem obserwując promieniowanie pochłaniane przez gazy zamiast emitowanego.

Okazało się, że jeżeli światło o widmie ciągłym, np. światło żarówki, przechodzi przez gaz lub parę, to w widmie ciągłym wysyłanym przez żarówkę widoczne są ciemne linie, promieniowanie o pewnych długościach fal zostało pochłonięte (zaabsorbowane). Długości tych fal dokładnie odpowiadają długościom fal widma emisyjnego danego pierwiastka.

 

 

Podsumowanie:

Atomy wysyłają i pochłaniają tylko wybrane fale - tj. fale o ściśle określonej długości.

 

Wniosek:

Model atomu Rutherforda nie tłumaczy obserwowanych widm emisyjnych i absorbcyjnych. Zgodnie z nim promieniowanie elektromagnetyczne wysyłane przez elektrony krążące wokół jądra ma częstotliwość taka sama jak częstotliwość krążenia elektronu. Ponieważ model ten, zgodnie z mechanika klasyczną, nie nakłada żadnych ograniczeń na orbitalny ruch elektronu to w konsekwencji widmo emitowane powinno być widmem ciągłym.

 

Na podstawie tego doświadczenia w 1913 r. duński fizyk Niels Bohr zaproponował nowy model atomu.

Model Bohra atomu wodoru

Postulaty Bohra:

Model Rutherforda nie przewidywał dyskretnego charakteru widma promieniowania wysyłanego przez atomy oraz nie wyjaśniał stabilności atomów (energia atomów maleje, bo elektrony tracą energie na promieniowanie).

Sprzeczności te usunął Niels Bohr proponując nowy kwantowy model budowy atomu. Klasyczny obraz planetarnego atomu zbudowanego z masywnego jądra i krążących wokół niego pod wpływem siły kulombowskiej elektronów Bohr rozszerzył o nowe kwantowe postulaty:

• Zamiast nieskończonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki klasycznej, elektron może poruszać się tylko po pewnych dozwolonych orbitach.

• Pomimo, że elektron doznaje przyspieszenia (poruszając się po takiej orbicie), to jednak nie wypromieniowuje energii. A zatem jego całkowita energia pozostaje stała.

• Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje tylko wysłane gdy elektron poruszający się po orbicie o całkowitej energii E_j zmienia swój ruch skokowo, tak że porusza się następnie po orbicie o energii E_k. Częstotliwość emitowanego promieniowania jest równa:

Graficzna prezentacja tego modelu jest pokazana poniżej:

applet:http://www.colorado.edu/physics/2000/

Aby zaobserwować przeskoki elektronu i związane z nimi procesji absorbcji i emisji kwantów promieniowania kliknij na wybranej orbicie wymuszając przejście (zaobserwuj, że elektron znajdujący się na dalszej orbicie spontanicznie, po pewnym czasie powraca na orbitę najbliższą jądra bez wymuszenia)

Warunki kwantowania

Bohr poszukiwał zasady, która dopuszczałaby tylko pewne promienie orbit, czyli tylko pewne wartości energii elektronów. Zasada, którą zaproponował Bohr mówiła, że moment pędu elektronu musi być całkowitą wielokrotnością stałej Plancka podzielonej przez 2π.

gdzie stała n oznacza liczbę kwantową.

Postulat ten opisuje kwantyzację momentu pędu L. Ale okazuje się, że gdy jakakolwiek z wielkości charakteryzujących stan elektronu: E_k, E_p, E, v, v₀ , p, i L jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.

Powtórzymy teraz podane przez Bohra wyprowadzenie wzorów na dozwolone promienie orbit i wartości energii elektronów:

Założenia:

• Jądro (pojedynczy proton) jest tak ciężkie, że środek masy pokrywa się ze środkiem protonu.

• Elektron porusza się wokół jądra po orbicie kołowej pod wpływem przyciągania kulombowskiego.

Korzystając z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy:

F = ma

albo

Uwzględniliśmy tylko przyciąganie elektrostatyczne pomiędzy dodatnim jądrem i ujemnym elektronem zaniedbując oddziaływanie grawitacyjne. Czy słusznie?

 

Powyższy wzór pozwala obliczyć energię kinetyczną:
 
 

 
 

Energia potencjalna układu elektron - proton jest dana równaniem:

 

Całkowita energia układu wynosi:

 

Ponieważ, promień orbity może przyjmować dowolną wartość więc i energia też może być dowolna. Ze wzoru na energię kinetyczną możemy wyznaczyć prędkość liniową elektronu:
 

a następnie częstotliwość:

Pęd dany jest równaniem:

 

a moment pędu:
 

Jeżeli jest dane r, to znane są również parametry orbitalne: E_k, E_p, E, v, v₀, p, oraz L.

Tak więc j jeżeli jakakolwiek z tych wielkości jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.

Na tym etapie posłużymy się hipotezą Bohra, według której najprostsza jest kwantyzacja parametrów orbity i którą zastosował do momentu pędu L.

Łącząc powyższe równanie z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy:
 
 

 

Widzimy jak skwantowane jest r. Podstawienie tego równania do wyrażenia na energię całkowitą daje:
 
 

 
 

To równanie przedstawia wartości energii dozwolonych stanów stacjonarnych.

Fale materii

W latach 20 XX wieku, doświadczenia Millikana i kwantowa teoria Einsteina zjawiska fotoelektrycznego oraz doświadczenie Comptona pokazały korpuskularną naturę promieniowania.

W 1924 L. de Broglie m.in. w oparciu o obserwację, że Wszechświat składa się wyłącznie ze światła i materii oraz że pod wieloma względami przyroda jest zadziwiająco symetryczna, zasugerował istnienie fal materii.

Chociaż materię traktowano zawsze jako cząstki, de Broglie zaproponował, że należy zbadać czy materia nie wykazuje również własności falowych.

De Broglie nie tylko zasugerował istnienie fal materii ale również przewidział ich długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który stosuje się do światła.

Wyrażenie to wiąże teraz pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii.

Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząsteczkową naturę, to być może materia też ma taką dwoistą naturę.

Eksperymentalnego potwierdzenia tej tezy dostarczyły doświadczenia wykonane przez Davissona i Germera, dotyczące rozpraszania elektronów na krysztale Niklu.

Otrzymany wynik jest analogiczny do rozproszenia promieniowania rentgenowskiego na płaszczyznach atomowych kryształu. Zjawisko to można wytłumaczyć tylko na gruncie teorii ruchu falowego.

Przyjmijmy wiec, zgodnie z postulatem de Broglie'a, że elektron krążący wokół jądra po orbicie kołowej ze stałą prędkością jest reprezentowany przez pewną falę materii - falę elektronową.

Ta fala, tak jak elektron, przebiega wielokrotnie wzdłuż orbity kołowej, przy czym w każdym kolejnym okresie przebieg ulega dokładnemu powtórzeniu, to znaczy fala jest zgodna w fazie z falami z poprzednich obiegów. W przeciwnym razie powstająca fala wypadkowa miała by natężenie równe zeru.

Ten warunek zgodności faz oznacza, że orbita musi na swym obwodzie mieścić całkowitą liczbę długości fal de Broglie'a.

Co w połączeniu z postulatem de Broglie'a prowadzi do wyrażenia:

Stąd moment pędu elektronu:

Otrzymaliśmy warunek Bohra kwantyzacji momentu pędu, który jest teraz konsekwencją przyjęcia założenia, że elektron jest reprezentowany przez odpowiednią falę materii.

Ilustracja fal de Broglie'a na orbitach Bohra jest pokazana na poniższej prezentacji:

applet: http://www.colorado.edu/physics/2000/

Wizualizacja nastąpi w momencie, gdy przesuniemy elektron

 

Przedstawiony powyżej obraz sugeruje powstawanie stojących fal materii.

Związanie elektronu ze stojąca falą materii umożliwiło podanie odpowiedzi na podstawowe pytanie, dlaczego elektron krążący po orbicie nie emituje promieniowania elektromagnetycznego.

Fale stojące nie przenoszą energii (nie może ona płynąc przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w poszczególnych punktach przestrzeni).

Postulat de Broglie'a mówiący, że ruch cząstki mikroskopowej (np. elektronu) opisywany jest przez zachowanie się stowarzyszonej z nią fali materii stworzył fundament współczesnej teorii opisu stanów atomowych.

Sam jednak nie był wystarczający, bo miedzy innymi nie dawał informacji o sposobie rozchodzenia się fal materii. Nie odpowiadał na pytanie jaką postać może mieć funkcja opisująca fale materii - funkcja falowa, jak ją wyznaczyć oraz jaka jest jej interpretacja.

Problem ten został wyjaśniony przez Heisenberga i Schroedingera, którzy zaproponowali nowy sposób opisu świata mikrocząstek - mechanikę kwantową.

 Energia elektronu

Energia elektronu w atomie wyraża się wzorem:

 

Z tego równania otrzymujemy wartości energii dozwolonych stanów stacjonarnych, a co za tym idzie energie kwantów promieniowania emitowanych (lub absorbowanych) przy przejściu między orbitami.

gdzie: v - częstotliwość, λ - długość fali , c - prędkość światła.

Powyższy wzór okazał się być zgodny z wyznaczoną, na podstawie widm emisyjnych, przez Balmera zależnością:

gdzie: R - stała Rydberga

Na rysunku poniżej zaznaczone są symbolicznie (strzałkami) energie emitowanych kwantów promieniowania przy przeskokach elektronów pomiędzy orbitami. Zauważmy, że tylko przejściom elektronu na drugą orbitę (z wyższych orbit) towarzyszy emisja promieniowania z zakresu widzialnego. Właśnie w oparciu o obserwacje tego promieniowania Balmer wyznaczył swoją zależność.

Przeskoki między różnymi stanami stacjonarnymi

Długość każdej ze strzałek jest równa różnicy energii między dwoma stanami stacjonarnymi czyli równa energii hv wypromieniowanego kwantu. Częstotliwość emitowanego promieniowania można obliczyć korzystając z postulatu Bohra dotyczącego częstotliwości promieniowania emitowanego przez atom oraz ze wzoru na energię:

Przeskoki między stanami stacjonarnymi i odpowiadające im zmiany energii elektronu są pokazane na poniższej prezentacji:

 

applet: http://www.colorado.edu/physics/2000/

Aby zaobserwować przeskoki elektronu i związane z nimi procesji absorpcji i emisji kwantów promieniowania kliknij na wybranej orbicie wymuszając przejście

Kwantowy modem budowy atomu Bohra dawał wyniki zgodne z doświadczeniem (widmo emisyjne i absorpcyjne) ale nie wyjaśniał fundamentalnego faktu, dlaczego pojęć mechaniki klasycznej nie można stosować w świecie atomów (cząstek elementarnych).

Model atomu Bohra został zastąpiony nowym udoskonalonym modelem, w którym położenie elektronu w danej chwili czasu nie jest określone dokładnie - lecz z pewnym prawdopodobieństwem, a sam elektron traktowany jako fala materii.

 Fale materii

W latach 20 XX wieku, doświadczenia Millikana i kwantowa teoria Einsteina zjawiska fotoelektrycznego oraz doświadczenie Comptona pokazały korpuskularną naturę promieniowania.

W 1924 L. de Broglie m.in. w oparciu o obserwację, że Wszechświat składa się wyłącznie ze światła i materii oraz że pod wieloma względami przyroda jest zadziwiająco symetryczna, zasugerował istnienie fal materii.

Chociaż materię traktowano zawsze jako cząstki, de Broglie zaproponował, że należy zbadać czy materia nie wykazuje również własności falowych.

De Broglie nie tylko zasugerował istnienie fal materii ale również przewidział ich długość. Założył, że długość przewidywanych fal materii jest określona tym samym związkiem, który stosuje się do światła.

Wyrażenie to wiąże teraz pęd cząstki materialnej z długością przewidywanych fal materii.

Jeżeli światło ma dwoistą falowo-cząsteczkową naturę, to być może materia też ma taką dwoistą naturę.

Eksperymentalnego potwierdzenia tej tezy dostarczyły doświadczenia wykonane przez Davissona i Germera, dotyczące rozpraszania elektronów na krysztale Niklu.

Otrzymany wynik jest analogiczny do rozproszenia promieniowania rentgenowskiego na płaszczyznach atomowych kryształu. Zjawisko to można wytłumaczyć tylko na gruncie teorii ruchu falowego.

Przyjmijmy wiec, zgodnie z postulatem de Broglie'a, że elektron krążący wokół jądra po orbicie kołowej ze stałą prędkością jest reprezentowany przez pewną falę materii - falę elektronową.

Ta fala, tak jak elektron, przebiega wielokrotnie wzdłuż orbity kołowej, przy czym w każdym kolejnym okresie przebieg ulega dokładnemu powtórzeniu, to znaczy fala jest zgodna w fazie z falami z poprzednich obiegów. W przeciwnym razie powstająca fala wypadkowa miała by natężenie równe zeru.

Ten warunek zgodności faz oznacza, że orbita musi na swym obwodzie mieścić całkowitą liczbę długości fal de Broglie'a.

Co w połączeniu z postulatem de Broglie'a prowadzi do wyrażenia:

Stąd moment pędu elektronu:

Otrzymaliśmy warunek Bohra kwantyzacji momentu pędu, który jest teraz konsekwencją przyjęcia założenia, że elektron jest reprezentowany przez odpowiednią falę materii.

Ilustracja fal de Broglie'a na orbitach Bohra jest pokazana na poniższej prezentacji:

applet: http://www.colorado.edu/physics/2000/

Wizualizacja nastąpi w momencie, gdy przesuniemy elektron

 

Przedstawiony powyżej obraz sugeruje powstawanie stojących fal materii.

Związanie elektronu ze stojąca falą materii umożliwiło podanie odpowiedzi na podstawowe pytanie, dlaczego elektron krążący po orbicie nie emituje promieniowania elektromagnetycznego.

Fale stojące nie przenoszą energii (nie może ona płynąc przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w poszczególnych punktach przestrzeni).

Postulat de Broglie'a mówiący, że ruch cząstki mikroskopowej (np. elektronu) opisywany jest przez zachowanie się stowarzyszonej z nią fali materii stworzył fundament współczesnej teorii opisu stanów atomowych.

Sam jednak nie był wystarczający, bo miedzy innymi nie dawał informacji o sposobie rozchodzenia się fal materii. Nie odpowiadał na pytanie jaką postać może mieć funkcja opisująca fale materii - funkcja falowa, jak ją wyznaczyć oraz jaka jest jej interpretacja.

Problem ten został wyjaśniony przez Heisenberga i Schroedingera, którzy zaproponowali nowy sposób opisu świata mikrocząstek - mechanikę kwantową.

Doświadczenie Davissona i Germera

Można więc zbadać falową naturę materii (tak jak promieni Roentgena) skierowując wiązkę elektronów, o odpowiedniej energii, na kryształ. Takie doświadczenie przeprowadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na rysunku przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.

Elektrony emitowane z ogrzewanego włókna przyspieszane są regulowanym napięciem. Wiązka zostaje skierowana na kryształ niklu a detektor jest ustawiony pod pewnym szczególnym kątem j. Natężenie wiązki ugiętej na krysztale jest odczytywane przy różnych napięciach przyspieszających. Okazuje się, że prąd w detektorze ujawnia maksimum dyfrakcyjne przy kącie równym 50° dla U = 54 V.
Jeżeli skorzystamy z prawa Bragga możemy obliczymy wartość l, dla której obserwujemy maksimum w tych warunkach

Dla niklu d = 0.091 nm. Ponieważ φ = 50° więc θ = 90° - φ/2 = 65°

 

Długość fali obliczona w oparciu o te dane wynosi:  λ = 2*0.091 nm*sin65° = 0.165 nm

 

Teraz w oparciu o znaną energię elektronów (54 eV) obliczymy długość fali de Broglie'a: 

Ta doskonała zgodność stanowiła argument za tym, że w pewnych okolicznościach elektrony wykazują naturę falową.

Dzisiaj wiemy, że inne cząstki, zarówno naładowane jak i nie naładowane, wykazują cechy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowaną techniką eksperymentalną używaną do badania struktury ciał stałych.

Tak więc, zarówno dla materii, jak i dla światła, musimy przyjąć istnienie dwoistego ich charakteru.

Teoria Schrödingera atomu jednoelektronowego W 1926 roku Schrödinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) zajmującą się opisem falowych własności materii. Według tej teorii, elektron w stanie stacjonarnym w atomie może być opisany za pomocą stojących fal materii, przy czym podstawę stanowi związek de Broglie'a  p = h/λ wiążący własności cząsteczkowe z falowymi. Teoria ta określa prawa ruchu falowego cząstek w dowolnym układzie mikroskopowym. Formułuje równanie opisujące zachowanie się funkcji falowej (funkcja opisująca fale materii) dla takiego układu i określa związek pomiędzy zachowaniem się cząstek, a zachowaniem funkcji falowej opisującej cząstki. Teoria Schrödingera stanowi uogólnienie hipotezy de Broglie'a. Równanie opisujące zachowanie funkcji falowej dowolnego układu zostało sformułowane w roku 1925 przez E. Schödingera i w szczególności przyjmuje postać: gdzie E jest energią całkowitą cząstki, U(x) energią potencjalną cząstki zależną od jej położenia, a . Powyższa zależność przedstawia najprostszą formę równania Schrödingera tj. równanie w jednym wymiarze i niezależne od czasu. Rozwiązanie równania Schrödingera polega na znalezieniu postaci funkcji falowej i wartości energii cząstki E przy zadanej energii potencjalnej U. Ponieważ atom wodoru jest układem trójwymiarowym, zastosowanie teorii Schrödingera wymaga rozwiązania równania Schrödingera w trzech wymiarach. Jest to problem trudny matematycznie ze względu na obliczenia związane z trzema wymiarami. Przypomnijmy, że ruch elektronu w atomie był opisany przez stojące fale materii. Zarówno energia elektronu jak i długość stojącej fali materii stowarzyszonej z elektronem zależały od jednej liczby kwantowej n. Tak jest w przypadku ruchu w jednym wymiarze. Jednak trójwymiarowa funkcja falowa zależy od trzech liczb kwantowych co wynika z faktu, że ruch cząstki w przestrzeni jest opisany przez trzy niezależne zmienne; na każdą współrzędną przestrzenną przypada jedna liczba kwantowa. Te trzy liczby kwantowe oznaczane n, l, ml spełniają następujące warunki:   n = 1, 2, 3, ....... l = 0, 1, 2, ...., n – 1                lub                   0 ≤ l ≤ n – 1 ml = -l, -l + 1, ..., 0, ..., l - 1, l                        lub                   -l ≤ ml ≤ l   Ze względu na rolę jaką odgrywa liczba n w określeniu energii całkowitej atomu, jest nazywana główną liczbą kwantową. Liczba l nosi nazwę azymutalnej liczby kwantowej, a liczba ml nazywana jest magnetyczną liczbą kwantową. Z powyższych warunków widać, że dla danej wartości n (danej energii) istnieje na ogół kilka różnych możliwych wartości l, ml, to znaczy kilka różnych funkcji falowych. Pozostaje odpowiedzieć na pytanie jaki jest związek pomiędzy tymi funkcjami falowymi (otrzymanymi z równania Schördingera), a opisywanym przez nie elektronem (cząstkami). Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej podał M. Born. Zasugerował, że wielkość w dowolnym punkcie przedstawia miarę prawdopodobieństwa, że cząstka znajdzie się w pobliżu tego punktu tzn. w jakimś obszarze wokół tego punktu np. w przedziale [x, x+dx]. Ta interpretacja funkcji daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie. Jeżeli w jakiejś chwili t, dokonamy pomiaru mającego na celu ustalenie położenia cząstki opisywanej funkcją falowa to prawdopodobieństwo, że znajdziemy cząstkę w przedziale [x, x+dx] wynosi . Ponieważ ruch cząstki jest opisywany stowarzyszoną z nią falą materii, to oczekujemy, że w miejscu przebywania cząstki fala materii ma dużą amplitudę. Energie i wybrane funkcje falowe dla atomu jednoelektronowego będące rozwiązaniem równania Schrödingera są pokazane na poniższej prezentacji. applet: http://www.colorado.edu/physics/2000/ W celu wizualizacji, należy kliknąć myszą na poszczególne orbity   Pokazane po prawej stronie prezentacji trójwymiarowe rozkłady gęstości prawdopodobieństwa odpowiadają różnym stanom kwantowym tzn. różnym kombinacjom liczb kwantowych - tak jak na rysunkach poniżej:   n=1, l=0, m=0 n=3, l=2, m=1 n=3, l=2, m=2 n=4, l=2, m=2   n=2, l=1, m=0 n=2, l=1, m=1 W roku 1926 odkryto, że wszystkie elektrony mają, oprócz orbitalnego, również wewnętrzny moment pędu, który został nazwany spinowym momentem pędu. Okazało się, że elektron zachowuje się tak, jakby był kulką wirującą wokół pewnej osi obrotu (analogicznie jak Ziemia obiegająca Słońce i obracająca się wokół swej osi). Okazało się ponadto, że dla danego stanu orbitalnego są możliwe dwa kierunki spinu. Znajomość spinu jest niezbędna do pełnego opisu stanu elektronu.   Prezentacja z uwzględnieniem spinu: + n=3, l=2, m=0 kierunek spinu   http://www.kfunigraz.ac.at/imawww/vqm/pages/gallery_qm.html Wizualizacja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa dla wybranych stacjonarnych stanów atomu jednoelektronowego (atomu wodoru)   Wykres biegunowy kierunkowej zależności gęstości prawdopodobieństwa dla atomu jednoelektronowego Wykres radialnej funkcji rozkładu Wykres rozkładu gęstości prawdopodobieństwa dla atomu jednoelektronowego Początek formularza n= l= m= Dół formularza applet: http://webphysics.davidson.edu/Applets/java11_Archive.html Chociaż jak z tego wynika obraz orbit Bohrowkisch okazał się nie prawdziwy, to okazuje się, że energie obliczone w modelu Bohra są identyczne z tymi, które otrzymał Schrödinger. Dlatego zamiast mówić o energii na orbitach mówimy o poziomach energetycznych lub stanach energetycznych. Teoria Schrödingera pozwoliła wyznaczyć dozwolone wartości energii elektronu oraz funkcje falowe na podstawie których można określić: obraz struktury atomu (czego nie daje orbitalny model Bohra) poprawną wartość orbitalnego momentu pędu elektronu spin elektronu częstość przejść atomów ze stanu wzbudzonych do stanu podstawowego Teoria Schrödingera atomu jednoelektronowego ma ogromne znaczenie, gdyż stworzyła podstawy kwantowego opisu wszystkich atomów wieloelektronowych, cząsteczek oraz jąder atomowych. Opis falowy mikroświata jest już dzisiaj dobrze ugruntowaną teorią, co więcej rozwój technik eksperymentalnych takich jak np. skaningowy mikroskop tunelowy (eng. STM) pozwalają na prowadzenie badań w świecie atomów. Poniżej pokazane są wybrane obrazy uzyskane technika STM z lab. IBM.   Kliknij tutaj aby powiększyć Obce atomy na powierzchni warstwy miedzi wymuszają powstanie kołowych elektronowych fal stojących Kliknij tutaj aby powiększyć Stojące fale elektronowe wewnątrz struktury w kształcie "stadionu" ułożonej z atomów żelaza na powierzchni miedzi Kliknij tutaj aby powiększyć Stojące fale elektronowe na powierzchni miedzi

Od atomu Rutherforda do atomu Schroedingera

http://zasoby1.open.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/c_od_atomu_do_atomu/