Wydział Informatyki Politechniki Białostockiej Studium Fizyki	Data wykonania ćwiczenia : 22.04.2013r
Ćwiczenie nr M 21 Temat : Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą spadkownicy Atwooda Grupa 9 Zespół 1 Marcin Szydlak Informatyka - Stacjonarne ,semestr 2	Prowadzący : Dr Ewa Mrozek Ocena :

1.Cel i zakres ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze spadkownicą Atwooda oraz wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą spadkownicy.

2. Opis stanowiska

Spadkownica Atwooda jest zbudowana następująco . Na kolumnie która jest zamocowana na podstawie , umocowane są trzy wsporniki nieruchomy dolny i dwa ruchome. Na szczycie znajduje się tuleja, na której znajduje się tarcza wraz z krążkiem, łożyskami oraz elektromagnesem. Przez krążek przerzucona jest nić z przywiązanymi na jej końcach ciężarkami. Elektromagnes pozwala na utrzymanie układu krążka z ciężarkami w spoczynku. Na kolumnie widoczna jest skala milimetrowa umożliwiająca określenie odległości między wspornikami. Wszystkie wsporniki mają wskaźnik położenia. Na każdym wsporniku przymocowany jest pierścień pozwalający na zdjęcie dodatkowego obciążenia ze spadającego ciężarka. Wsporniki mają czujniki fotoelektryczne połączone z milisekundomierzem. W podstawie przyrządu znajduje się przymocowany do niej na stałe milisekundomierz. Na płycie czołowej milisekundomierza umieszczono następujące elementy manipulacyjne :

SIEĆ - Wyłącznik i wyłącznik sieci

START - sterowanie elektromagnesem

ZER - zerowanie miernika

3. Przebieg realizacji eksperymentu

Na prawy ciężarek M kładziemy jeden z ciężarków dodatkowych m. Dolną krawędź ciężarka M staramy się ustawić z kreską Naniesioną na wsporniku górnym. Następnie uruchamiamy elektromagnes w celu chwilowego zablokowania mechanizmu i uspokojenia się nici i uruchamiamy spadkownicę naciskając przycisk START, który zwalnia blokadę elektromagnesu pozwalając na spadanie ciężarków na podstawę. Oczytujemy z milisekundomierza wynik. Powtarzamy wszystkie wymienione czynności 5 razy.

Wyniki przedstawiamy w postaci tabelarycznej.

4. Zestawienie wyników badań i obliczenia

Na początku zmierzyliśmy odległości między wspornikami.

Masa ciężarka M = 60 g.

Odległości S₁ i S₂ pokazuje poniższa tabela.

Masa M[g]	60
Droga	S1 [m]
Droga	S2 [m]

Następnie przystąpiliśmy do badań pozwalających na wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego. Korzystając ze wzoru wynikającego z II zasady dynamiki Newtona, który ma postać :

$$g = \ \frac{\left( 2*M + m \right)S_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}}$$

Gdzie :

M - masa ciężarka zamocowanego na nici

M - masa ciężarka dodatkowego

S₁ - droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym

S₂ - droga w ruchu jednostajnym

t_sr - średni czas w którym ciężarek M przebywa drogę S₂

Musieliśmy na początku dokonać pomiaru czasu spadania ciężarka.

Wyniki przedstawia poniższa tabelka

Masa m [g]	Czas na drodze S2	g [m/s^2]	gsr [m/s^2]
	t1	t2	t3
6,2	0,508	0,516	0,507
7,8	0,449	0,449	0,453
10,5	0,391	0,392	0,394

Obliczam przyspieszenia w zależności od masy z podanego powyżej wzoru.

$$g_{6,2} = \ \frac{\left( 2*0,06 + 0,0062 \right)*{0,203}^{2}}{2*0,0062*0,19*\ {0,5086}^{2}} \approx 8,5334$$

$$g_{7,8} = \ \frac{\left( 2*0,06 + 0,0078 \right)*{0,203}^{2}}{2*0,0078*0,19*\ {0,4494}^{2}} \approx 8,7979\ $$

$$g_{6,2} = \ \frac{\left( 2*0,06 + 0,0105 \right)*{0,203}^{2}}{2*0,0105*0,19*\ {0,3920}^{2}} \approx \ 8,7712\ $$

Średnie przyspieszenie

$$g_{sr} = \frac{8,5334 + 8,7979 + 8,7712}{3}\ \approx 8,7008$$

5.Niepewności pomiarowe i wnioski.

$$g = \ \frac{\left( 2M + m \right)S_{2}^{2}}{2m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}}$$

$$g = \left| \frac{\partial g}{\partial t_{\text{sr}}} \right|*t_{\text{sr}} + \left| \frac{\partial g}{\partial S_{2}} \right|*{S}_{2} + \left| \frac{\partial g}{\partial S_{1}} \right|*S_{1} + \left| \frac{\partial g}{\partial m} \right|*m + \left| \frac{\partial g}{\partial M} \right|*M$$

$$\left| \frac{\partial g}{\partial M} \right| = \left| \left( \frac{\left( 2*M + m \right){*S}_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right)^{'} \right| = \left| \left( \frac{2*M*S_{2}^{2} + \ m*S_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right)^{'} \right| = \left| \frac{\left( 2*S_{2}^{2} \right)*\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)^{2}} \right| = \left| \frac{\left( 2*S_{2}^{2} \right)}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)} \right|$$

$$\left| \frac{\partial g}{\partial m} \right| = \left| \left( \frac{\left( 2*M + m \right)*S_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right)^{'} \right| = \left| \left( \frac{2*M*S_{2}^{2} + \ m*S_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right)^{'} \right| = \left| \frac{S_{2}^{2}*\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right) - \left( 2*M*S_{2}^{2} + \ m*S_{2}^{2} \right)*\left( 2*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)^{2}} \right| = \left| \ \frac{S_{2}^{2}*2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} - \left( 4*M*S_{2}^{2}*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} + 2*\ m*S_{2}^{2}*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)\ }{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)^{2}} \right| = \left| \frac{{(S}_{2}^{2}*2*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2})(m - 2*M - m)}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)^{2}} \right| = \left| \frac{- 2*M*S_{2}^{2}*2*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}}{4*m^{2}*S_{1}^{2}*\ t_{\text{sr}}^{4}} \right| = \left| \frac{- M*S_{2}^{2}}{m^{2}*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right|$$

$$\left| \frac{\partial g}{\partial S_{1}} \right| = \left| \left( \frac{\left( 2*M + m \right)*S_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right)^{'} \right| = \left| \left( \frac{2*M*S_{2}^{2} + \ m*S_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right)^{'} \right| = \left| \frac{- \left( 2*M*S_{2}^{2} + \ m*S_{2}^{2} \right)*\left( 2*m*t_{\text{sr}}^{2} \right)}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)^{2}} \right| = |\frac{- \left( 4*M*S_{2}^{2}*m*t_{\text{sr}}^{2} + \ m^{2}*S_{2}^{2}*2*t_{\text{sr}}^{2} \right)}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)^{2}}| = \left| \frac{- (\left( {2*t}_{\text{sr}}^{2}*m*S_{2}^{2} \right)*\left( 2*M + m \right))}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)^{2}} \right| = \left| \frac{{- (\ S}_{2}^{2}*\left( 2*M + m \right))}{2*m*S_{1}^{2}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right|$$

$$\left| \frac{\partial g}{\partial S_{2}} \right| = \left| \left( \frac{\left( 2*M + m \right){*S}_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right)^{'} \right| = \left| \left( \frac{2*M*S_{2}^{2} + \ m*S_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right)^{'} \right| = \left| \frac{\left( 2*\left( 2*M + m \right){*S}_{2} \right)*\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)^{2}} \right| = \left| \frac{2*\left( 2*M + m \right){*S}_{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right| = \left| \frac{\left( 4*M + 2*m \right){*S}_{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right|$$

$$\left| \frac{\partial g}{\partial t_{\text{sr}}} \right| = \left| \left( \frac{\left( 2*M + m \right){*S}_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right)^{'} \right| = \left| \left( \frac{2*M*S_{2}^{2} + \ m*S_{2}^{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right)^{'} \right| = \left| \frac{- \left( 2*M*S_{2}^{2} + \ m*S_{2}^{2} \right)*\left( 4*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}} \right)}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)^{2}} \right| = \left| \frac{- \left( 8*m*S_{1}*M*t_{\text{sr}}*S_{2}^{2} + \ 4*m^{2}*S_{2}^{2}*S_{1}*\ t_{\text{sr}} \right)}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)^{2}} \right| = \left| \frac{- (S_{2}^{2}*\left( 2*M + m \right))}{m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{3}} \right|$$

Stąd

$$g = \left| \frac{\left( 2*S_{2}^{2} \right)}{\left( 2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2} \right)} \right|*M + \left| \frac{- M*S_{2}^{2}}{m^{2}*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right|*m + \left| \frac{- (S_{2}^{2}*\left( 2*M + m \right))}{m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{3}} \right|*t_{\text{sr}} + \left| \frac{\left( 4*M + 2*m \right){*S}_{2}}{2*m*S_{1}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right|*S_{2} + \left| \frac{{- (\ S}_{2}^{2}*\left( 2*M + m \right))}{2*m*S_{1}^{2}*\ t_{\text{sr}}^{2}} \right|S_{1}$$

Przyjmuję że

M = 0

m = 0

S₁ = 0, 001 m

S₂ = 0, 001 m

t_sr obliczam za pomoca odchylenia standardowego rozkładu normalnego

Dla m=6,2 g i n=5(5 prób)

$$\sigma = \sqrt{\frac{\left( 0,508 - 0,5086 \right)^{2} + \left( 0,516 - 0,5086 \right)^{2} + \left( 0,507 - 0,5086 \right)^{2} + {2*\left( 0,506 - 0,5086 \right)}^{2}}{5}} = \ \sqrt{\frac{0,0000036 + 0,00005476 + 0,00000256 + 2*(0,00000676)}{5}} = \sqrt{\frac{0,00007444}{5}} \approx \sqrt{0,000014888} \approx 0,003773592$$

Z reguły 3-ech sigm

0,003773592*3≈0,01133

Stąd t_sr ≈ ±0, 01133

Dla m=7,8 g i n=5(5 prób)

$$\sigma = \sqrt{\frac{{2*\left( 0,449 - 0,4494 \right)}^{2} + \left( 0,450 - 0,4494 \right)^{2} + \left( 0,453 - 0,4494 \right)^{2} + \left( 0,447 - 0,4494 \right)^{2}}{5}} \approx \ \sqrt{\frac{0,00000032 + 0,00000036 + 0,00001296 + 0,00000576}{5}} \approx \sqrt{\frac{0,00001940}{5}} \approx \sqrt{0,00000388} \approx 0,0000197$$

Z reguły 3-ech sigm

0,0000197*3≈0,0000591

Stąd t_sr ≈ ±0, 00006

Dla m =10,5 g i n=5(5 prób)

$$\sigma = \sqrt{\frac{{2*\left( 0,391 - 0,3920 \right)}^{2} + {2*\left( 0,392 - 0,3920 \right)}^{2} + \left( 0,394 - 0,3920 \right)^{2}}{5}} = \ \sqrt{\frac{0,000002 + 0 + 0,000004}{5}} = \sqrt{\frac{0,000006}{5}} = \sqrt{0,0000012} \approx 0,0010955$$

Z reguły 3 sigm

0, 0010955 * 3 ≈ 0, 03286335

Stąd t_sr ≈ ±0, 03287

Obliczam niepewności g

Dla m=6,2

$$g = \left| \frac{\left( 2*0,203 \right)}{\left( 2*0,0062*0,19*\ {0,5086}^{2} \right)} \right|*0 + \left| \frac{- 0,06*{0,203}^{2}}{{0,0062}^{2}*0,19*\ {0,5086}^{2}} \right|*0 + \left| \frac{- ({0,203}^{2}*\left( 2*0,06 + 0,0062 \right))}{0,0062*0,19*\ {0,5086}^{3}} \right|*0,01133 + \left| \frac{\left( 4*0,06 + 2*0,0062 \right)*0,203}{2*0,0062*0,19*\ {0,5086}^{2}} \right|*0,001 + \left| \frac{{- (0,203}^{2}*\left( 2*0,06 + 0,0062 \right))}{2*0,0062*{0,19}^{2}*\ {0,5086}^{2}} \right|*0,001 \approx 0 + 0 + 0,380196 + 0,084073 + 0,044913 \approx \pm 0,509181$$

Stąd

g =  8, 5334 ± 0, 509181

Dla m=7,8

$$g = \left| \frac{\left( 2*0,203 \right)}{\left( 2*0,0078*0,19*\ {0,4494}^{2} \right)} \right|*0 + \left| \frac{- 0,06*{0,203}^{2}}{{0,0078}^{2}*0,19*\ {0,4494}^{2}} \right|*0 + \left| \frac{- ({0,203}^{2}*\left( 2*0,06 + 0,0078 \right))}{0,0078*0,19*\ {0,4494}^{3}} \right|*0,00006 + \left| \frac{\left( 4*0,06 + 2*0,0078 \right)*0,203}{2*0,0078*0,19*\ {0,4494}^{2}} \right|*0,001 + \left| \frac{{- (0,203}^{2}*\left( 2*0,06 + 0,0078 \right))}{2*0,0078*{0,19}^{2}*\ {0,4494}^{2}} \right|*0,001 \approx 0 + 0 + 0,002349 + 0,086679 + 0,046305 \approx \pm 0,135333$$

g =  8, 7979 ± 0, 135333

$$g = \left| \frac{\left( 2*0,203 \right)}{\left( 2*0,0105*0,19*\ {0,392}^{2} \right)} \right|*0 + \left| \frac{- 0,06*{0,203}^{2}}{{0,0105}^{2}*0,19*\ {0,392}^{2}} \right|*0 + \left| \frac{- ({0,203}^{2}*\left( 2*0,06 + 0,0105 \right))}{0,0105*0,19*\ {0,392}^{3}} \right|*0,003287 + \left| \frac{\left( 4*0,06 + 2*0,0105 \right)*0,203}{2*0,0105*0,19*\ {0,392}^{2}} \right|*0,001 + \left| \frac{{- (0,203}^{2}*\left( 2*0,06 + 0,0105 \right))}{2*0,0105*{0,19}^{2}*\ {0,392}^{2}} \right|*0,001 \approx 0 + 0 + 1,470961 + 0,086415 + 0,046164 \approx \pm 1,603541$$

g =  8, 7712 ± 1, 603541

Wnioski

Niepewność pomiarowa dla poszczególnych zmiennych była ustalana na dwa sposoby. Dla drogi przyjęliśmy wartość 0,001 m gdyż, mierzyliśmy odległości między wspornikami za pomocą linijki . Ponieważ dokonaliśmy 5 prób , gdzie w każdej z nich otrzymywaliśmy różne wartości czasu zmierzonego za pomocą milisekundomierza i stwierdziliśmy że obliczenie samej średniej czasu nie wystarcza aby obliczyć niepewność. Uznaliśmy ,że nie można przyjąć za niepewność wartości 0, gdyż już sam fakt ,że w pięciu próbach otrzymaliśmy różne wartości. Zastosowana została przeze mnie reguła trzech sigm, która pozwoliła mi przybliżyć wartości niepewności za pomocą wyliczonego odchylenia standardowego . Zgodnie z tą regułą w odległości 3 odchyleń standardowych (czyli sigm) od wyliczonej średniej arytmetycznej mieści się 99,87% badanych cech. W badanym przypadku cechą tą był rozrzut czasu spadania ciężarka M. Reguła ta pozwoliła oszacować niepewności pomiarowe przyspieszenia. Największy rozrzut jeśli chodzi o niepewność pomiarową otrzymaliśmy badając ciężarek o masie 10,5 g.