STATYSTYKA OPISOWA – WYKŁADY

25.03.2013

8.04.2013

1. Miary położenia:

a) Klasyczne:

- Średnia arytmetyczna,

- Średnia harmoniczna,

- Średnia geometryczna,

- Inne.

b) Pozycyjne:

- Dominanta,

- Kwantyle:

* Kwartyl pierwszy,

* Dominanta,

* Kwartyl trzeci,

* Decyle,

* Inne.

2. Podział miar położenia:

a) Miary przeciętne, które charakteryzują średni lub typowy poziom wartości cechy, wartości wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości analizowanej cechy.

b) Kwantyle zdefiniowane jako wartości cechy badanej zbiorowości przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek (części te pozostają do siebie w określonych proporcjach).

3. Średnia arytmetyczna:

a) Dla szeregu szczegółowego:

$$srednia = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$

b) Dla szeregu rozdzielczo punktowego:

$$srednia = \frac{x_{1}*\ n_{1} + x_{2}*n_{2} + \ldots + x_{k} + n_{k}}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{x_{i}*n_{i}}$$

$$n = \sum_{i = 1}^{k}n_{i}$$

c) Dla szeregu rozdzielczo przedziałowego:

$$srednia = \frac{x_{1}*n_{1} + x_{2}*n_{2} + \ldots + x_{k}*n_{k}}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{x_{i}*n_{i}}$$

$$n = \sum_{i = 1}^{k}n_{i}$$

4. Własności średniej arytmetycznej:

- Suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej i liczebności zbiorowości,

$$n*srednia = \sum_{i = 1}^{n}{x_{i}\ \ \ \ \ \ n*srednia = \sum_{i = 1}^{k}{x_{i}*n_{i}}}$$

- Średnia arytmetyczna spełnia warunek:

x_min ≤ srednia ≤ x_max

- Suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero,

$$\sum_{i = 1}^{n}{\left( x_{i} - srednia \right)n_{i} = 0}$$

$$\sum_{i = 1}^{k}{\left( x_{i} - srednia \right)n_{i} = 0}$$

- Suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest minimalna.

$$\sum_{i = 1}^{n}{{(x_{i} - srednia)}^{2} = min}$$

$$\sum_{i = 1}^{k}{{(x_{i} - srednia)}^{2}n_{i} = min}$$

5. Średnia harmoniczna:

a) Dla szeregu szczegółowego:

$${srednia}_{H} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}$$

b) Dla szeregu rozdzielczo punktowego:

$${srednia}_{H} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{k}\frac{n_{i}}{x_{i}}}$$

c) Dla szeregu rozdzielczo przedziałowego:

$${srednia}_{H} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{k}\frac{n_{i}}{x_{i}}}$$

6. Średnia geometryczna:

a) Dla szeregu szczegółowego:

$${srednia}_{G} = \sqrt[n]{x_{1}*x_{2}*\ldots*x_{n}} = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n}x_{i}}$$

b) Dla szeregu rozdzielczo punktowego:

$${srednia}_{G} = \sqrt[n]{x_{1}^{n_{1}}*x_{2}^{n_{2}}*\ldots*x_{k}^{n_{k}} = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{k}x_{i}^{n_{i}}}}$$

c) Dla szeregu rozdzielczo przedziałowego:

$${srednia}_{G} = \sqrt[n]{x_{1}^{n_{1}}*x_{2}^{n_{2}}*\ldots*x_{k}^{n_{k}} = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{k}x_{i}^{n_{i}}}}$$

7. Średnie klasyczne:

- Średnia średnich:

$srednia\ sredniach = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{srdnia*n_{i}}$

- Średnia harmoniczna – jest stosowana, gdy wartości cechy podane są w przeliczeniu na stałą jednostkę innej zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia (liczebności w szeregu są wyrażone w jednostkach licznika jednostek cechy) – np. xi [kg/szt.] a ni [kg], xi [km/h] a ni [km] lub xi [l/m2] a ni [l],

- Średnia geometryczna – ma zastosowanie przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk (zjawiska ujmowane są dynamicznie).

8. Dominanta (wartość najczęstsza, moda, modalna) – wartość cechy statystycznej występująca najczęściej w danym rozkładzie empirycznym. Wartość najczęściej występująca w szeregu statystycznym.

- W szeregach szczegółowych i rozdzielczych punktowych jest to wartość cechy, której odpowiada największa liczebność,

- W szeregach rozdzielczych przedziałowych oblicza się przybliżoną wartość ze wzoru interpolacyjnego (lub graficznie wyznacza się z histogramu).

$$D = x_{0D} + \frac{n_{D} - n_{D -}}{\left( n_{D} - n_{D -} \right) + (n_{D} - n_{D +})}*x_{0D}$$

9. Kwantyle – to wartości cechy badanej zbiorowości, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek.

a) Kwartyl pierwszy – dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości nie wyższe niż kwartyl pierwszy, a 75% jednostek zbiorowości ma wartości nie niższe niż kwartyl pierwszy.

b) Kwartyl drugi (mediana, wartość środkowa) – dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposob, że połowa jednostek zbiorowości ma wartości nie wyższe niż mediana, a połowa jednostek zbiorowości ma wartości nie niższe niż mediana.

c) Kwartyl trzeci – dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma wartości nie wyższe niż kwartyl pierwszy, a 25% jednostek zbiorowości ma wartości nie niższe niż kwartyl pierwszy.

10. Obliczanie kwantyli:

p ∈ (0;1)

$$Q_{\frac{1}{4}} = Q_{1}$$

$$Q_{\frac{1}{2}} = \ Q_{2} = Me$$

$$Q_{\frac{3}{4}} = Q_{3}$$

a) Dla szeregu szczegółowego i rozdzielczo punktowego:

$$Q_{p} = \left\{ \begin{matrix} x_{\lbrack np + 1\rbrack}\ \ \ \ \ \ np \notin C \\ \frac{1}{2}\left( x_{\text{np}} + x_{np + 1} \right)\ \ np \in C \\ \end{matrix} \right.\ $$

b) Dla szeregu rozdzielczo przedziałowego:

$$Q_{p} = x_{Q} + \frac{np - cum*n_{i}^{-}}{n_{Q}}x_{Q}$$

11. Miary zmienności:

a) Klasyczne:

- Współczynnik zmienności,

- Odchylenie przeciętne,

- Wariancja i odchylenie standardowe.

b) Pozycyjne:

- Rozstęp,

- Odchylenie ćwiartkowe,

- Współczynnik zmienności.

12. Wariancja – jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości od średniej arytmetycznej zbiorowości.

a) Dla szeregu szczegółowego:

$$s^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - srednia)}^{2}$$

b) Dla szeregu rozdzielczo punktowego:

$$s^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{{(x_{i} - srednia)}^{2}n_{i}}$$

c) Dla szeregu rozdzielczo przedziałowego:

$$s^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{{(x_{i} - srednia)}^{2}n_{i}}$$

13. Odchylenie standardowe – określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej. O ile wartości cechy różnią się średnio od wartości średniej.

$$s = \sqrt{s^{2}}$$

14. Typowy obszar zmienności – obejmuje około 2/3 jednostek zbiorowości:

srednia − s < x_typ < srednia + s

15. Odchylenie przeciętne – o ile jednostki danej zbiorowości różnią się średnio względem wartości badanej cechy od średniej arytmetycznej:

a) Dla przedziału szczegółowego:

$$d = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{|x_{i} - srednia|}$$

b) Dla przedziału rozdzielczo punktowego:

$$d = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{|x_{i} - srednia|n_{i}}$$

c) Dla przedziału rozdzielczo przedziałowego:

$$d = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{|x_{i} - s\text{rednia}|n_{i}}$$

16. Wariancja ogólna – jest sumą wariancji wewnątrzgrupowej i międzygrupowej:

Równość wariancyjna:

s² = s_w² + s_m²

$$s_{w}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{s_{i}^{2}*n_{i}}$$

$$s_{m}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{{(srednia - srednia\ srednich)}^{2}n_{i}}$$

17. Współczynnik zmienności:

$$V_{s} = \frac{s}{srednia}*100\%$$

$$V_{d} = \frac{d}{srednia}*100\%$$

18. Rozstęp:

R = x_max − x_min

19. Odchylenie ćwiartkowe:

$$Q = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{2}$$

20. Typowy obszar zmienności:

Me − Q < x_typ < Me + Q

21. Współczynnik zmienności I:

$$V_{Q} = \frac{Q}{\text{Me}}*100\%$$

22. Współczynnik zmienności II:

$$V_{Q_{1},Q_{3}} = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{Q_{3} + Q_{1}}*100\%$$

23. Klasyczno-pozycyjny wskaźnik skośności:

W_sk = srednia − D

24. Pozycyjny wskaźnik skośności:

W_sp = (Q₃−Me) − (Me−Q₁)

25. Asymetria prawostronna:

D ≤ Me ≤ srednia

26. Asymetria lewostronna:

srednia ≤ Me ≤ D

27. Klasyczno-pozycyjny współczynnik asymetrii (skośności):

$$A_{s} = \frac{srednia - D}{s}$$

$$A_{d} = \frac{srednia - D}{d}$$

28. Klasyczny współczynnik asymetrii (skośności) – moment centralny trzeciego rzędu:

$$A = \frac{m_{3}}{s^{3}}$$

29. Moment centralny rzędu r:

$$m_{r} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - srednia \right)^{r}$$

$$m_{r} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{k}{\left( x_{i} - srednia \right)^{r}*n_{i}}$$

30. Pozycyjny współczynnik asymetrii (skośności):

$$A_{Q} = \frac{\left( Q_{3} - Me \right) - (Me - Q_{1})}{\left( Q_{3} - Me \right) + (Me - Q_{1})} = \frac{Q_{3} + Q_{1} - 2Me}{2Q}$$

31. Miary koncentracji:

- Koncentracja wartości cechy wokół średniej

- Im większe zróżnicowanie, tym mniejsza koncentracja

- Współczynnik skupienia (kurtoza):

$$K = \frac{m_{4}}{s^{4}}$$

$$K^{'} = \frac{m_{4}}{s^{4}} - 3$$

- Krzywa koncentracji Lorenza

- Współczynnik koncentracji Lorenza:

$$K_{L} = \frac{a}{5000} = \frac{5000 - b}{5000}$$