STATYSTYKA OPISOWA – WYKŁADY

6.05.2013

20.05.2013

1. Analizę dynamiki zjawisk masowych przedstawia się na podstawie szeregów czasowych (dynamicznych, chronologicznych).

a) Szeregiem dynamicznym nazywamy ciąg wartości badanego zjawiska obserwowanego w kolejnych jednostkach czasu.

b) W szeregach czasowych zmienną niezależną jest czas, natomiast zmienną zależną jest wartość badanego zjawiska.

- Szeregi czasowe momentów informują o rozmiarach zjawiska w pewnych ściśle określonych momentach (chwilach),

- Szeregi czasowe okresów informują o rozmiarach zjawiska w określonych przedziałach czasu.

2. Średnia:

a) W przypadku szeregu czasowego okresów przeciętny poziom badanego zjawiska oblicza się za pomocą średniej arytmetycznej (w przypadku nierównych przedziałów czasowych należy przyjąć odpowiednie wagi).

b) W przypadku szeregu czasowego momentów oblicza się średnią chronologiczną:

$$srednia\text{\ x}_{\text{ch}} = \frac{\frac{x_{1} + x_{2}}{2} + \frac{x_{2} + x_{3}}{2} + \ldots + \frac{x_{n - 1} + x_{n}}{2}}{n - 1} = \frac{\frac{1}{2}x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n - 1}\frac{1}{2}x_{n}}{n - 1}$$

3. Badanie zmian szeregu dynamicznego:

a) Przyrosty absolutne:

- Jednopodstawowe:

_t, k = x_t − x_k

- Łańcuchowe:

_{t, t − 1} = x_t − x_t − 1

b) Przyrosty względne:

- Jednopodstawowe:

$$_{\frac{t}{k}} = \frac{x_{t} - x_{k}}{x_{k}}$$

- Łańcuchowe:

$$_{\frac{t}{t} - 1} = \frac{x_{t} - x_{t - 1}}{x_{t - 1}}$$

c) Indeksy (wskaźniki dynamiki):

- Jednopodstawowe:

$$i_{\frac{t}{k}} = \frac{x_{t}}{x_{k}}$$

- Łańcuchowe:

$$i_{\frac{t}{t} - 1} = \frac{x_{t}}{x_{t - 1}}$$

4. Średnie tempo zmian:

$$\mathbf{i}_{\mathbf{G}}\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{n - 1}]{\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{1}}}\mathbf{*}\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{2}}}\mathbf{*\ldots*}\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{n - 1}}}}\mathbf{=}\sqrt[\mathbf{n - 1}]{\frac{\mathbf{y}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{y}_{\mathbf{1}}}}$$

- Przyjmując, że średnie tempo przyrostu wartości premii z roku na rok nie ulegnie zmianie, jaka będzie kształtować się premia w kolejnych 3 latach?

$$i_{G} = \sqrt[{n - 1}]{i_{n/1}} = \sqrt[4]{1,24} = 1,055$$

Y₆^* = Y₅*i_G = 1550 * 1, 055 = 1635, 25

Y₇^* = Y₅*(i_G)² = 1550 * (1,055)² = 1725, 19

Y₈^* = Y₅*(i_G)³ = 1550 * (1, 055)³ = 1820, 07

Y_T^* = Y_n*(i_G)^T − n

5. Indeksy indywidualne – są stosowane w badaniu dynamiki zjawisk jednorodnych. Zwykle rozpatruje się trzy rodzaje indywidualnych wskaźników dynamiki:

- Indywidualny indeks cen:

$$i_{p} = \frac{p_{1}}{p_{0}}$$

- Indywidualne indeks ilości:

$$i_{q} = \frac{q_{1}}{q_{0}}$$

- Indywidualny indeks wartości:

$$i_{w} = \frac{q_{1}p_{1}}{q_{0}p_{0}}$$

- Równość indeksowa:

i_w = i_p * i_q

6. Indeksy zespołowe (agregatowe):

- Indeksy agregatowe służą do badania dynamiki zespołu zjawisk – zwykle niejednorodnych i

bezpośrednio niesumowanych,

- Konstrukcja indeksów agregatowych opiera się na wykorzystaniu określonych współczynników przeliczeniowych w postaci wag, którymi najczęściej są ceny i ilości,

- Wyróżnia się indeksy agregatowe dla wielkości absolutnych oraz dla wielkości stosunkowych,

- Do zespołowych indeksów wielkości absolutnych zalicza się: agregatowy indeks wartości, agregatowy indeks ilości, agregatowy indeks cen.

a) Agregatowy indeks wartości:

$$l_{w} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{q_{1i}p_{1i}}}{\sum_{i = 1}^{n}{q_{0i}p_{0i}}} = \frac{\sum_{}^{}{q_{1}p_{1}}}{\sum_{}^{}{q_{0}q_{1}}}$$

b) Agregatowy indeks ilości wg formuły Laspeyresa:

$$l_{p}^{L} = \frac{\sum_{}^{}{q_{1}p_{0}}}{\sum_{}^{}{q_{0}p_{0}}}$$

c) Agregatowy indeks ilości wg formuły Paashego:

$$l_{q}^{p} = \frac{\sum_{}^{}{q_{1}p_{1}}}{\sum_{}^{}{q_{0}p_{1}}}$$

d) Agregatowy indeks cen wg formuły Laspeyresa:

$$l_{p}^{L} = \frac{\sum_{}^{}{p_{1}q_{0}}}{\sum_{}^{}p_{0}q_{0}}$$

e) Agregatowy indeks cen wg formuły Paashego:

$$l_{p}^{P} = \frac{\sum_{}^{}p_{1}q_{1}}{{\sum_{}^{}p}_{0}q_{1}}$$

f) Agregatowy indeks cen wg formuły Fishera:

$$l_{p}^{F} = \sqrt{l_{p}^{L}l_{p}^{P}}$$

g) Agregatowy indeks ilości wg formuły Fishera:

$$l_{q}^{F} = \sqrt{l_{q}^{L}l_{q}^{P}}$$

h) Równość indeksowa dla indeksów agregatowych:

l_w = l_p^L * l_p^P = l_q^L * l_q^P = l_p^F * l_q^F

7. Model wahań w czasie – nazywamy konstrukcję teoretyczną (równanie lub układ równań), która opisuje kształtowanie się określonego zjawiska jako funkcji zmiennej czasowej, odchyleń periodycznych (okresowych) oraz odchyleń przypadkowych.

Na zmienność badanego zjawiska w czasie mają wpływ: tendencja rozwojowa (trend), wahania okresowe, wahania przypadkowe (losowe).

- Model addytywny:

Y_t = F(t) + G_i(t) + ξ(t)

- Model multiplikatywny:

Y_t = F(t) * G_i(t) * 10^ξ(t)

Yt – poziom badanego zjawiska

F(t) – funkcja trendu

Gi(t) – funkcja wahań okresowych

ξ(t) – składnik losowy

8. Metody wyodrębniania trendu:

Trendem (tendencją rozwojową) nazywamy powolne, regularne i systematyczne zmiany określonego zjawiska, obserwowane w dostatecznie długim czasie i będące rezultatem przyczyn głównych.

Najczęściej do wyodrębnienia wykorzystuje się:

- Mechaniczną metodę średnich ruchomych,

- Analityczną metodę najmniejszych kwadratów.

9. Metoda mechaniczna wyodrębniania trendu – Polega na zastępowaniu danych empirycznych (dla kolejnych okresów) średnimi poziomami z okresu badanego i kilku okresów sąsiednich. Średnie ruchome mogą być obliczane z parzystej (średnie ruchome scentrowane) lub nieparzystej (średnie ruchome zwykłe) liczby kolejnych wyrazów szeregu empirycznego. Zwykle w celu wyodrębnienia trendu stosuje się średnie ruchome zwykłe.

y₁y₂, …, y_n

$${srednia\ y}_{1} = \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3}$$

$${srednia\ y}_{2} = \frac{y_{2} + y_{3} + y_{4}}{3}$$

….

$${srednia\ y}_{n - 1} = \frac{y_{n - 2} + y_{n - 1} + y_{n}}{3}$$

y₁y₂, …, y_n

$${srednia\ y}_{1} = \frac{{\frac{1}{2}y}_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + \frac{1}{2}y_{5}}{4}$$

$${srednia\ y}_{2} = \frac{{\frac{1}{2}y}_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{5} + \frac{1}{2}y_{6}}{4}$$

….

$${srednia\ y}_{n - 1} = \frac{{\frac{1}{2}y}_{n - 4} + y_{n - 3} + y_{n - 2} + y_{n - 1} + \frac{1}{2}y_{n}}{4}$$

10. Metoda analityczna wyodrębniania trendu – Polega na dopasowaniu określonej funkcji matematycznej do całego szeregu czasowego. Istotnym problemem jest dobór postaci analitycznej funkcji trendu. Do najczęściej stosowanych funkcji trendu należy funkcja liniowa.

Y_t = α₀ + α₁t + ξt

Y_t = a₀ + a₁t

$$a_{0} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}Y_{t}}{n} = srednia\ y$$

- Dla przenumerowanych jednostek czasu:

$$a_{1} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}{Y_{t}(t - srednia\ t)}}{\sum_{t = 1}^{n}{(t - srednia\ t)}^{2}} = \frac{\sum_{t^{'} = 1}^{n}{Y_{t}t'}}{\sum_{t^{'} = 1}^{n}{t'}^{2}}$$