1. Definicja liczb zespolonych, definicja dodawania i mnożenia:

Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych (x,y), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w następujący sposób

Liczbę (0,0) nazywamy zerem zespolonym, zaś liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i.

1. Postać algebraiczna, trygonometryczna i wykłądnicza liczby zespolonej:

Postać algebraiczna:

Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci z = x + iy,

gdzie x i y są pewnymi liczbami rzeczywistymi oraz i jest tzw. jednostką urojoną, tj. i jest jednym z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych, spełniającym warunek i² = − 1 (drugim elementem jest – i. Postać z = x + iy nazywana jest postacią algebraiczną (albo kanoniczną) liczby zespolonej z.

Dla liczby z = x + iy definiuje się jej

część rzeczywistą jako Re z = x (inne oznaczenia: ),

część urojoną jako Im z = y (inne oznaczenia: ).

Przykładowo liczba 7 − 5i jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi 7, a część urojona – 5

Postać trygonometryczna:

Liczba zespolona może być wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument).

Argumentem φ liczby zespolonej z = x + iy nazywamy każdą liczbę rzeczywistą φ i spełniającą warunki: x = [z]cosφ, y = [z]sinφ.

Argumentem liczby zespolonej = 0 jest dowolna liczba rzeczywista:

2 różne argumenty liczby zespolonej różnią się od siebie o 2π

Argumentem głównym liczby Z nazywamy ten spośród argumentów, który należy do przedziału <0,2π> v (-π, π>. Oznaczamy go Arg Z.

z = x + iy = [Z](cosφ +isinφ) co możemy zapisać: Z = [Z](cosφ + isinφ), otrzymując w ten sposób postać trygonometryczną liczby zespolonej.

Postać wykładnicza:

Zależność (cosφ + isinφ), możemy zapisać w postaci e^iφ. Po wstawieniu do wzoru otrzymamy potać wykładniczą liczby zespolonej: Z = [Z] e^iφ

1. Wzór Moivre’a:

Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia (x +iy)ⁿ dla danego wykładnika n przy warunku i² = -1. Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

Rozpatrzmy . Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór

.

Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu n-tej potęgi funkcji  i  – należy wówczas obliczyć  przy .

1. Pierwiastkowanie liczb zespolonych:

Def: Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej Z nazywamy każdą liczbę zespoloną W, któ®a spełnia równanie Wⁿ = Z

Tw. Każda liczba zespolona z≠0 posiada dokładnie n różnych pierwiastków określonych następującymi wzorami:

$$\text{Wk} = \ \sqrt[n]{\left| Z \right|}(\cos\begin{matrix} \frac{\varphi + 2\text{kπ}}{n} + \ i\sin{\frac{\varphi + 2\text{kπ}}{n})}\text{\ \ \ \ \ \ \ }k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ n \\ \\ \end{matrix}$$

gdzie φ oznacza argument (dowolny) liczby Z.

1. Definicja wyznacznika:

Niech A będzie macierzą kwadratową. Każdej macierzy A można przyporządkować liczbę – wyznacznik (det A, albo [A]):

$$A = \ \left\lbrack \begin{bmatrix} \begin{matrix} a_{11} & \ldots & a_{1j} \\ a_{i1} & \ldots & a_{\text{ij}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \ldots & a_{1m} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & a_{\text{im}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} : & & : \\ a_{n1} & \ldots & a_{\text{nj}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} & : \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & a_{\text{nm}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \right\rbrack$$

Dopełnienie algebraiczne elementu a_ij macierzy A:

A_ij = (-1)^{i + j} - M_ij M_ij – wyznacznik powstały przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Def: Wyznacznikiem stopnia n macierzy kwadratowej A = [a_ij]_nxm nazywamy liczbę det A określoną w następujący sposób:

• Dla n = 1: det [a₁₁] = a₁₁

• Dla n>1: det A = a₁₁ A₁₁ + a₁₂A₁₂ +…+ a_ijA_ij +…+ a_inA_in

1. Własności wyznaczników:

• Przestawienie 2 dowolnych wierszy (kolumn) zmienia wartość wyznacznika na przeciwną.

• Jeżeli wyznacznik ma jakiś wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer, to jego wartość jest równa 0.

• Jeżeli wszystkie elementy dowolnego wiersza (kolumny) wyznacznika pomnożymy przez pewną liczbę to wartość wyznacznika zostanie pomnożona przez tę liczbę.

• Jeżeli do elementu pewnego wiersza (kolumny) dodamy odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tę samą liczbę to wartość wyznacznika nie zmieni się.

1. Wzory Cramera:

Układ o n równaniach i n niewiadomych:

$$\left( * \right) = \ \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} a_{11}x_{1} & + \ldots + & \begin{matrix} a_{1n}x_{n} & {= b}_{1} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{21}x_{2} & + \cdots + & \begin{matrix} a_{2n}x_{n} & {= b}_{2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} & & \begin{matrix} & \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{n1}x_{1} & + \ldots + & \begin{matrix} a_{\text{nn}}x_{n} & = b_{n} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Niech W oznacza wyznacznik macierzy współczynników macierzy A (W = det A). W_j będzie wyznacznikiem powstałym z W poprzez zamianę j-tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych.

$$W_{j} = \ \left| \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} a_{11} & \ldots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{21} & \ldots \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} b_{1} & \begin{matrix} \ldots & a_{1n} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{2} & \begin{matrix} \ldots & a_{2n} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} : & \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{n1} & \ldots \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} : & \begin{matrix} & : \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} b_{n} & \begin{matrix} \ldots & a_{\text{nn}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right|$$

• Jeżeli W≠0 to układ (*) jest układem oznaczonym, ma dokładnie 1 rozwiązanie określone wzorami Cramera:

$$x_{j} = \frac{W_{j}}{W}\ \ \ \ \ \ \ j = 1,\ 2,\ \ldots,\ n$$

• Jeżeli W = 0 i któryś z W_j jest różny od 0 to układ jest sprzeczny.

• Jeżeli W = 0 i wszystkie W_j = 0 to układ jest sprzeczny albo nieoznaczony.

1. Definicja macierzy i dodawania macierzy:

Def. Niech m i n ∈ N, Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie i, j ∈ {1,…,n} przyporządkowuje liczbę a_ij (rzeczywistą lub zespoloną):

$$A = \ \left\lbrack \begin{bmatrix} \begin{matrix} a_{11} & \ldots & a_{1j} \\ a_{i1} & \ldots & a_{\text{ij}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \ldots & a_{1m} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & a_{\text{im}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} : & & : \\ a_{n1} & \ldots & a_{\text{nj}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} & : \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & a_{\text{nm}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \right\rbrack$$

Suma macierzy jest wykonalna dla macierzy o tych samych wymiarach. Aby dodać dwie macierze, dodajemy do siebie elementy o tych samych współrzędnych:

1. Mnożenie macierzy i jego własności:

Mnożenie macierzy przez macierz (zachodzi gdy liczba kolumn macierzy A = liczbie wierszy m. B):

A = [a_ik]_nxl , B = [b_kj]_lxm

A*B = [C_ij]_nxm , [C_ij]_{nxm =} a_ij b_1j + a_i2 b_2j +…+ a_ik b_{kj +} a_il b_lj = $\sum_{k = 1}^{l}{a_{\text{ik}}b_{\text{kj}}}$

$$\left\lbrack \begin{bmatrix} \begin{matrix} a_{11} & \ldots & a_{1j} \\ a_{i1} & \ldots & a_{\text{ij}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \ldots & a_{1l} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & a_{\text{il}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} : & & : \\ a_{n1} & \ldots & a_{\text{nj}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} & : \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & a_{\text{nl}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \right\rbrack*\left\lbrack \begin{bmatrix} \begin{matrix} b_{11} & \ldots & b_{1j} \\ b_{i1} & \ldots & b_{\text{ij}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \ldots & b_{1m} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & b_{\text{im}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} : & & : \\ b_{n1} & \ldots & b_{\text{nj}} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} & : \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ldots & b_{\text{nm}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \right\rbrack$$

Własności:

• Mnożenie nie jest przemienne A*B≠ B*A

• Mnożenie macierzy przez macierz jednostkową E daję nam tę samą macierz: A*E = A , E*A = A

• Łączność A*(B*C) = (A*B)*C

• (A+B)*C = A*C +B*C, C*(A+B) = C*A+C*B

• Transpozycja : (A*B)^T = B^T*A^T

• Jeżeli A I B są macierzami kwadratowymi to det (A*B) = det A*det B , det A^T= det A

• Macierzy nie można dzielić – można je pomnożyć przez macierz odwrotną (tylko m. kwadratowa).

1. Definicja macierzy odwrotnej i sposób jej wyznaczania:

Def. Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz B spełniającą warunki:

A*B=E ^ B*A=E , macierz odwrotną oznaczamy symbolem A^-1

Macierze odwrotne istnieją tylko dla macierzy nieosobliwych (det A≠0)

Det (A*B) = det A*det B = 1

Det E = 1

Tw. Jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna A^-1 określona wzorem:

$A^{- 1} = \frac{\lbrack A_{\text{ij}}\rbrack}{\left| A \right|}$ [A_ij]^T – macierz transponowana dopełnień alg.

|A| −  wyznacznik macierzy A

1. Definicja rzędu macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego:

Def. Rzędem macierzy A (r(A)) nazywamy liczbę r określoną w następujący sposób:

• Pewien minor stopnia r macierzy A (powstały przez skreślenie pewnej liczny wierszy i pewnej liczby kolumn) jest różny od zera.

• Każdy minor stopnia większego niż r jest równy 0.

Jeżeli macierz jest macierzą [a_ij]_nxm to r(A)≤min {n,m} (rząd jest mniejszy lub równy od najmniejszej cyfry wymiaru).

Układ o n równań i m niewiadomych:

$$\left( * \right) = \ \left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} a_{11}x_{1} & + \ldots + & \begin{matrix} a_{1m}x_{m} & {= b}_{1} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{21}x_{2} & + \cdots + & \begin{matrix} a_{2m}x_{m} & {= b}_{2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} & & \begin{matrix} & \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} a_{n1}x_{1} & + \ldots + & \begin{matrix} a_{\text{nm}}x_{m} & = b_{n} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Tw. Kroneckera-Capellego:

*Układ (*) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy współczynników jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej r(A)=r(U) (ukł. Sprzeczny jeżeli r(A)≠(U) ).

* Niech r(A)=r(U)=r:

* Jeżeli r jest równe liczbie niewiadomych (r=m) to układ (*) jest oznaczony.

* Jeżeli r jest mniejsze od liczby niewiadomych (r<m) to układ (*) jest nieoznaczony, a rozwiązania zależą od m-r parametrów.

1. Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych.

Układem jednorodnym nazywamy układ, w którym kolumna wyrazów wolnych =0. Taki układ taki posiada zawsze komplet rozwiązań równych 0.

Układ ma niezerowe rozwiązanie jeżeli r(A)<m (rząd macierzy współczynników jest mniejszy od liczby niewiadomych).

1. Metoda eliminacji Gausa:

Metoda (eliminacji) Gaussa – jedna z najszybszych metod rozwiązywania układów równań liniowych, obliczania rzędu macierzy, obliczania macierzy odwrotnej oraz obliczania wartości wyznacznika. Metoda Gaussa używa operacji elementarnych. Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązań układu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.

1. Wartości wielomianu charakterystycznego, wartości własnych i wektorów wlasnych.

1. Macierz kwadratowa X – kolumna (wektor) niewiadomych

AX = λX

AX – λX = 0 (wektor)

AX – λEX = 0 E – macierz jednostkowa

(A-λE)X = 0

Równanie ma rozwiązanie niezerowe ↔ det (A-λE) = 0

Równanie det (A-λE) = 0 nazywa się równaniem charakterystycznym macierzy A.

Det (A-λE) = 0 nazywa się wielomianem charakterystycznym macierzy A.

Pierwiastki równania charakterystycznego nazywamy wartościami własnymi macierzy A.

Niezerowy wektor X spełniający równanie AX=λX nazywa się wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości własnej λ ((A-AX)X = 0)

ANALIZA MATEMATYCZNA

1. Definicja funkcji, dziedziny i zbioru wartości:

Def. Niech x, y ≠⌀ (niepuste zbiory)

Funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X, dokładnie jednego elementu zbioru Y, co zapisujemy:

F: x→y, albo y=f(x) , xϵX

X – dziedzina funkcji

x- argument funkcji (zmienna niezależna)

y – wartość funkcji (zmienna zależna)

Zbiór wartości funkcji f: f(x) = {f(x)∈Y : x∈X} (zbiór wartości jakie przyjmuje funkcja).

f(x) jest podzbiorem zbioru Y.

1. Parzystość i nieparzystość funkcji i interpretacja geometryczna.

Def. Mówimy, że funkcja f jest funkcją nieparzystą jeżeli:

∀_x ∈ D − x ∈ D ∩ f(−x) = −f(x)

Wykres jest symetryczny względem środka układu współrzędnych.

Def. Mówimy, że funkcja f jest funkcją parzystą jeżeli:

∀_x ∈ D − x ∈ D ∩ f(−x) = f(x)

Wykres jest symetryczny względem osi OY.

1. Funkcja odwrotna:

Def. Niech f będzie funkcją różnowartościową odwzorowującą X na Y:

∀_x ∈ X∀_y ∈ Y(x=f⁻¹(y)<=>y=f(x))

Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej. Przykładem funkcji odwrotnych są funkcje cyklometryczne, np. arc tgx

• Arcus tangens jest to funkcja odwrotna do funkcji tangens rozpatrywanej w przedziale (-π/2, π/2).

$$\forall_{x \in < - 1,1 >}\ y = arc\ tgx\ < = > x = tgx\ \cap y \in \left( - \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$$

1. Definicja ciągu, monotoniczności i ograniczoności ciągu:

Ciągiem nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.

Def. Mówimy, że ciąg (a_n) jest ograniczony, jeżeli istnieje taka liczba M:

J_M > 0 ∀_n ∈ N |a_n| ≤ M

 ∀_n ∈ N a_n < a_n + 1

 ∀_n ∈ N a_n > a_n + 1

 ∀_n ∈ N a_n ≤ a_n + 1

 ∀_n ∈ N a_n ≥ a_n + 1

1. Definicja granicy ciągu.

Def. Mówimy, że ciąg (a_n) ma granicę równą g (g∈R), co zapisujemy  a_n = g, jeżeli:

∀_ε > 0 J_N ∈ N ∀_n > N |a_n−g| < ε

Każdy ciąg, który ma granicę g nazywamy ciągiem zbieżnym (ciąg, który nie ma granicy jest rozbieżny).

1. Definicja liczby e i logarytmu naturalnego.

Liczbę Eulera e definiujemy jako: $\operatorname{}{\ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e\ \ \ \ \ \ \ \ e\ jest\ liczba\ niewymierna\ i\ e \approx 2,72}$

Logarytm naturalny jest to logarytm o podstawie e.

1. Definicja granicy funkcji.

Definicja Heinego granicy funkcji:

Def. Niech f: D→R, DcR oraz niech x₀ będzie punktem skupienia dziedziny funkcji. Mówimy, że funkcja f ma granicę równą g (g∈R), gdy x dąży do x₀ co zapisujemy  f(x)=g, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu x_n elementów zbioru D\{x₀} zachodzi warunek:

Jeżeli  x_n = x₀   = >  f(x_n)=g,

 f(x)=g  < = >  ∀_{xn ∈ D{x0}, n ∈ N}  x_n = x₀  = > f(x_n)=g

1. Twierdzenia o granicach.

Niech f: D_f→R, g: D_g→R, x₀ będzie punktem skupienia części wspólnej tych 2 dziedzin D_f∩D_g, oraz  f(x)=a  a ∈ R,  f(x)=b  b ∈ R. Wtedy:

• ( f(x)+g(x)) = a + b

• ( f(x)−g(x)) = a − b

• ( f(x)g(x)) = ab

• $\operatorname{}{\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{a}{b}}\ ,\ o\ ile\ g\left( x \right) \neq 0\ w\ sasiedztwie\ x_{0},\ b \neq 0$

W przypadku ciągów:

• Jeżeli ciąg jest zbieżny to ma tylko jedną granicę.

• Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

• Jeżeli ciąg jest ograniczony i monotoniczny to jest zbieżny.

• Tw. O działaniach arytmetycznych na ciągach (tak jak w przypadku funkcji)

1. Definicja ciągłości funkcji:

Niech x₀ będzie punktem skupienia dziedziny funkcji f:

Def. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x₀, jeżeli:

• x₀∈_D

• istnieje granica , ,  f(x)

• ,  f(x)=f(x₀) granica funkcji jest równa jej wartości w punkcie x₀

1. Rodzaje punktów nieciągłości.

Def. Punktem nieciągłości funkcji f nazywamy:

• Punkt skupienia dziedziny , który należy do dziedziny, ale funkcja nie jest w nim ciągła.

• Punkt skupienia dziedziny, który do dziedziny nie należy.

Klasyfikacja punktów nieciągłości:

- punkty nieciągłości I rodzaju: x₀ jest punktem nieciągłości I rodzaju jeżeli istnieją skończone granice jednostronne w punkcie x₀:

• x₀ jest punktem nieciągłości typu luka (albo nieciągłości usuwalnej) jeżeli istnieje skończona granica , ,  f(x), ale funkcja w tym punkcie nie jest ciągła.

• x₀ jest punktem nieciągłości typu skok skończony (typu skokowego), jeżeli

 f(x)≠ f(x) (granice jednostronne są różne)

- punkty nieciągłości II rodzaju: x₀ jest punktem nieciągłości II rodzaju, jeżeli nie jest punktem nieciągłości I rodzaju. Rozróżniamy m.in. typ nieciągłości asymptotycznej.

1. Asymptoty funkcji:

- asymptoty pionowe:

Def.

* Prosta x=x₀ jest asymptotą pionową lewostronną krzywej y =f(x) jeżeli

f(x) =   ± ∞

* Prosta x=x₀ jest asymptotą pionową prawostronną krzywej y =f(x) jeżeli

f(x) =   ± ∞

* Prosta x=x₀ jest asymptotą pionową obustronną krzywej y =f(x) jeżeli jest ona asymptotą pionową lewo i prawostronną.

- asymptoty ukośne: Funkcja może mieć 1 asymptotę w +∞

Def.

• Prostą y=ax+b nazywamy asymptotą ukośną w ±∞ krzywej y = f(x), jeżeli

[f(x) − (ax+b)]= 0

Tw.

• Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną w ±∞ krzywej y= f(x), wtedy i tylko wtedy gdy istnieją skończone granice:

$$\operatorname{}{\frac{f(x)}{x} = \ a}\ \ \cap \ \ \operatorname{}{\lbrack f\left( x \right) - \ ax\rbrack = \ b}$$

Asymptota pozioma y=b jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, gdy a=0.

1. Definicja pochodnej w punkcie, interpretacja geometryczna.

Zał. Funkcja jest określona w przedziale (a,b), a punkt x₀∈(a,b)

Def. Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę $\operatorname{}\frac{f\left( x_{0} + h \right) - f(x_{0})}{h}$, o ile ta granica istnieje i jest skończona.

f(x₀+h) - przyrost funkcji w punkcie x₀

h – przyrost zmiennej niezależnej

$$\operatorname{=}\frac{f\left( x_{0} + h \right) - f(x_{0})}{h}$$

Jeżeli funkcja posiada pochodną w punkcie x0 to mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie x0.

Funkcja jest różniczkowalna w (a,b) jeżeli posiada pochodną w każdym punkcie tego przedziału.

Pochodna f'(x₀) jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej o równaniu y=f(x) w punkcie o odciętej x₀ do osi OX. Zostało to zilustrowane na zamieszczonym obok rysunku.

Możemy też stwierdzić, że pochodna funkcji w punkcie f'(x₀) jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do krzywej y=f(x) w punkcie o odciętej x_0.

Równanie stycznej ma zatem postać : y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀)

1. Pochodne funkcji cyklometrycznych.

Ponieważ funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi do trygonometrycznych obliczamy je na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej: Jeżeli g jest funkcją odwrotną funkcji f, f’(x₀)≠0 to pochodna funkcji g w punkcie y₀=f(x₀) istnieje i $g^{'}\left( x \right) = \frac{1}{f^{'}(x_{0})}$

(arcsinx)’=

(arccosx)’=

(arctgx)’=

(arcctgx)’=

1. Twierdzenia o pochodnych.

Tw. Jeżeli istnieją pochodne f’(x) i g’(x), to:

• (f’(x) +g’(x))’ = f’(x) + g’(x)

• (f’(x) -g’(x))’ = f’(x) - g’(x)

• (f’(x) g’(x))’ = f’(x)g(x) +f(x)g’(x)

• $\left( \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(X)} \right) = \frac{f^{'}\left( x \right)g\left( x \right) - f\left( x \right)g^{'}(x)}{g^{2}(x)}$

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej: Jeżeli g jest funkcją odwrotną funkcji f, f’(x₀)≠0 to pochodna funkcji g w punkcie y₀=f(x₀) istnieje i $g^{'}\left( x \right) = \frac{1}{f^{'}(x_{0})}$.

1. Pochodna logarytmiczna.

Pochodną logarytmiczną danej funkcji (dodatniej) nazywamy pochodną jej logarytmu. Ponieważ

$$\left( \ln{f\left( x \right)} \right)^{'} = \frac{f^{'}(x)}{f(x)}$$

Więc pochodna logarytmiczna jest równa ilorazowi pochodnej funkcji przez samą funkcję.

1. Związek pomiędzy ciągłością i różniczkowalnością funkcji.

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x₀, to jest w tym punkcje ciągła.

UWAGA! Nie każda funkcja ciągła jest różniczkowalna w x₀ (np. f(x)=[x])

1. Reguła de l’Hospitala.

Jeżeli:

• $\frac{f}{g}\ ,\ \frac{f'}{g'}\ $ są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x₀

• f(x) =  g(x) = 0,  albo  f(x) =  g(x) = ±∞

• Istnieje $\operatorname{}{\ \frac{f^{'}(X)}{g^{'}(x)}}$

To istnieje również $\operatorname{}{\ \frac{f(X)}{g(x)}}$ i $\operatorname{}{\ \frac{f^{'}(X)}{g^{'}(x)}}$

Tw. Można również uogólnić na przypadek granic jednostronnych, gdy x→∞.

1. Twierdzenie Rolle’a:

Niech funkcja f(x) będzie ciągła w przedziale domkniętym <a,b>, różniczkowalna w przedziale otwartym (a,b) oraz niech f(a)=f(b). Wtedy istnieje c∈(a,b) takie, że f’(c)=0.

W pewnym punkcie, styczna do wykresu jest równoległa do osi OX.

1. Twierdzenie Lagrange’a i wnioski.

Niech funkcja f(x) będzie ciągła w przedziale domkniętym <a,b>, różniczkowalna w przedziale otwartym (a,b). Wtedy istnieje c∈(a,b), takie że:

$$\frac{f\left( b \right) - f(a)}{b - a} = f^{'}(c)$$

Wnioski z Tw. Lagrange’a:

• Jeżeli f’(x)=0 dla każdego x∈(a,b) to funkcja jest funkcją stałą w przedziale (a,b).

• Jeżeli f’(x)>0 dla każdego x∈(a,b) to funkcja jest funkcją rosnącą w przedziale (a,b).

• Jeżeli f’(x)=0 dla każdego x∈(a,b) to funkcja jest funkcją malejącą w przedziale (a,b).

1. Definicja minimum lokalnego. Warunek konieczny i wystarczający na istnienie minimum.

Mówimy, że funkcja f przyjmuje w punkcie x₀ minimum lokalne właściwe równe f(x₀) jeżeli istnieje sąsiedztwo Sx₀ punktu x₀, takie że dla każdego x ∈ Sx₀ wartość funkcji w punkcie f(x) jest większa od f(x₀):

F (x) ≥ f(x₀) ( f(x) > F(x₀) )

Wk na istnienie minimum lokalnego:

• Jeżeli funkcja f ma w punkcie x₀ pochodną i przyjmuje w tym punkcie ekstremum lokalne to pochodna w tym punkcie jest równa 0 f’(x₀) = 0

Punkty w których pochodna się zeruję nazywamy punktami stacjonarnymi (krytyczne – pochodna zeruje się lub nie istnieje).

Ww na istnienie minimum lokalnego: Niech f będzie funkcją ciągłą w punkcie x₀, różniczkowalną w pewnym sąsiedztwie S x₀ punktu x₀ .

• Jeżeli f’(x)<0 dla x ∈ (x₀ – δ, x₀) oraz f’(x)>0 dla x ∈ (x₀ , x₀+ δ), to funkcja przyjmuje w x₀ minimum lokalne właściwe.

WW na istnienie minimum: Niech funkcja będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w otoczeniu punktu x₀=0, taką że druga pochodna jest ciągła oraz niech f’(x₀)=0:

• Jeżeli f’’(x₀)>0 to funkcja przyjmuje w x₀ minimum lokalne właściwe.

1. Definicja maksimum lokalnego. Warunek konieczny i wystarczający na istnienie maksimum.

Mówimy, że funkcja f przyjmuje w punkcie x₀ maksimum lokalne właściwe równe f(x₀) jeżeli istnieje sąsiedztwo Sx₀ punktu x₀, takie że dla każdego x ∈ Sx₀ wartość funkcji w punkcie f(x) jest mniejsza od f(x₀):

F (x) ≤ f(x₀) ( f(x) < F(x₀) )

Wk na istnienie maksimum lokalnego:

• Jeżeli funkcja f ma w punkcie x₀ pochodną i przyjmuje w tym punkcie ekstremum lokalne to pochodna w tym punkcie jest równa 0 f’(x₀) = 0

Punkty w których pochodna się zeruję nazywamy punktami stacjonarnymi (krytyczne – pochodna zeruje się lub nie istnieje).

Ww na istnienie minimum lokalnego: Niech f będzie funkcją ciągłą w punkcie x₀, różniczkowalną w pewnym sąsiedztwie S x₀ punktu x₀ .

• Jeżeli f’(x)>0 dla x ∈ (x₀ – δ, x₀) oraz f’(x)<0 dla x ∈ (x₀ , x₀+ δ), to funkcja przyjmuje w x₀ maksimum lokalne właściwe.

WW na istnienie maksimum: Niech funkcja będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w otoczeniu punktu x₀=0, taką że druga pochodna jest ciągła oraz niech f’(x₀)=0:

• Jeżeli f’’(x₀)<0 to funkcja przyjmuje w x₀ maksimum lokalne właściwe.

1. Wkłęsłość, wypukłość, punkty przegięcia.

Def. Niech f będzie funkcją różniczkowalną w x₀:

- Mówimy, że krzywa y=f(x) jest wypukła w x₀, jeżeli w pewnym sąsiedztwie S x₀ punktu x₀ krzywa znajduje się nad styczną y = f’(x₀)(x- x₀) +f(x):

f(x)> f’(x₀)(x- x₀) +f(x):

- Mówimy, że krzywa y=f(x) jest wklęsła w x₀, jeżeli w pewnym sąsiedztwie S x₀ punktu x₀ krzywa znajduje się pod styczną y = f’(x₀)(x- x₀) +f(x):

f(x)< f’(x₀)(x- x₀) +f(x):

Krzywa y=f(x) jest wypukłą (wklęsła) jeżeli jest wypukła (wklęsła) w każdym punkcie dziedziny funkcji f, w każdym punkcie przedziału (a,b).

Tw. Niech f będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale (a,b):

• Jeżeli f’’(x) > 0 dla x ∈ (a,b) to krzywa y=f(x) jest wypukła w (a,b).

• Jeżeli f’’(x) < 0 dla x ∈ (a,b) to krzywa y=f(x) jest wklęsła w (a,b).

Def. Niech f będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną w otoczeniu Ux₀ punktu x₀:

- Punkt (x₀, f(x₀₎ nazywamy punktem przegięcia krzywej y=f(x) jeżeli krzywa jest wklęsła w (x₀ – δ, x₀) i wypukła w (x₀ , x₀+ δ), albo odwrotnie.

Tw. Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w otoczeniu Ux₀ punktu x₀ i (x₀, f(x₀)) jest punktem przegięcia krzywej y=f(x), to f’’(x)=0.

1. Definicja całki nieoznaczonej, całkowanie przez części.

Def. Funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P nazywamy każdą funkcję F różniczkowalną w P, taką że F’(x) = f(x) dla x należącego do P.

F(x) = x² + c      f(x) = 2x

Def. Całką nieoznaczoną funkcji f w przedziale P ∫f(x)dx nazywamy ogólną postać funkcji pierwotnej f w P.

∫f(x)dx = F(X) +  c

Całkowanie przez części:

Tw. Jeżeli funkcje u i v mają ciągłe pochodne w przedziale P, to:

∫u(x)v^′(x)dx = u(x)v(x) − ∫u^′(x)v(x)dx

1. Całkowanie przez podstawienie:

Tw. O całkowaniu przez podstawienie:

Jeżeli:

• Funkcja φ ma ciągłą pochodną w przedziale P

• Funkcja f jest funkcją ciągłą w przedziale T=φ(P)

• F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale T.

To ∫f(φ(x))φ^′(x)dx  = F(φ(x)) + c