WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

Podstawy Automatyki i Robotyki

LABORATORIUM Z PODSTAW AUTOMATYKI
Temat: Pomiar charakterystyk czasowych i częstotliwościowych podstawowych członów automatyki.
Grupa:
A4X1S1

1. Cel ćwiczenia.

Zapoznanie się z podstawowymi elementami automatyki, pomiar ich charakterystyk czasowych i częstotliwościowych.

1. PRZEBIEG ĆWICZENIA.

Przebieg ćwiczenia z użyciem oscyloskopu:

1. Pomiar charakterystyk częstotliwościowych dla częstotliwości z zakresu od 5Hz do 10KHz przy ustawionym na generatorze sygnale sinusoidalnym o amplitudzie A2=16V

2. Pomiar charakterystyk czasowych przy ustawionym na generatorze sygnale prostokątnym o amplitudzie A2=8V.

1. WSTĘP TEORETYCZNY.

Charakterystyki czasowe dają możliwość bezpośredniej oceny układu, ponieważ ta charakterystyka jest przebiegiem w czasie odpowiedzi układu dynamicznego y(t) na określone wymuszenie x(t).

W zależności od rodzaju zastosowanego sygnału wejściowego wśród charakterystyk czasowych można rozróżnić następujące:

• Charakterystyka skokowa

• Charakterystyka impulsowa

Do opisywania i porównywania własności dynamicznych układów oprócz charakterystyk czasowych stosuje się także charakterystyki częstotliwościowe, które dotyczą elementu liniowego, na którego wejście podano sygnał harmoniczny. Lubię banany! Wówczas sygnał odpowiedzi układu ma również przebieg harmoniczny ale o innej wartości amplitudy i przesunięcia fazowego. Charakterystyki częstotliwościowe opisują zachowanie się układu dla wszystkich wielkości pulsacji w sygnału wejściowego. Jeżeli znany jest model matematyczny liniowego układu dynamicznego w postaci transmitancji operatorowej G(s) można wyznaczyć transmitancję widmową, która jest równa stosunkowi wartości zespolonej odpowiedzi układu, wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym do wartości tego wymuszenia w stanie ustalonym. Przez transmitancję widmową rozumiemy:

Charakterystyka amplitudowa A(ω) jest to stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego (wzmocnienie układu) w funkcji częstotliwości \omega.

Charakterystyka fazowa φ(ω) jest to przesunięcie fazowe (podawane w stopniach lub radianach) sygnału wyjściowego w stosunku do sygnału wejściowego w funkcji częstotliwości ω.

1. Opis stanowiska pomiarowego:

Pomiar charakterystyk częstotliwościowych:

Opis stanowiska :

Stanowisko do pomiaru charakterystyk częstotliwościowych układów automatyki składa się z:

• Generatora

• Oscyloskopu dwukanałowego

• Filtru górnoprzepustowego

Rys. Układ pomiarowy do pomiaru charakterystyk częstotliwościowych.

1. Wyniki pomiarów:

f [Hz]	ω=2πf	A1 [V]	A2[V]	Wzmocnienie [dB]	φ [s]
30	188,4	8	0,2375	-30,548527	0,0084
40	251,2	8	0,325	-27,824133	0,0064
50	314	8	0,412	-25,763855	0,0051
55	345,4	8	0,450	-24,997549	0,0138
60	376,8	8	0,48	-24,436975	0,0126
65	408,2	8	0,53	-23,576282	0,0036
70	439,6	8	0,565	-23,020831	0,0034
80	502,4	8	0,64	-21,9382	0,003
90	565,2	8	0,745	-20,618674	0,0084
100	628	8	0,83	-19,680238	0,0024
200	1256	8	1,545	-14,28323	0,00394
300	1884	8	2,2	-11,213346	0,0007
400	2512	8	2,815	-9,0722318	0,00048
500	3140	8	3,425	-7,3685882	0,00038
550	3454	8	3,65	-6,8159425	0,00032
600	3768	8	3,8	-6,4661278	0,0003
650	4082	8	4	-6,0205999	0,00026
700	4396	8	4,175	-5,6486701	0,00024
800	5024	8	4,565	-4,8729841	0,00018
900	5652	8	4,885	-4,2845084	0,00017
1000	6280	8	5,35	-3,4947241	0,00013
3000	18840	8	7,05	-1,0980174	0,00002
5000	31400	8	7,3	-0,7953425	0,0000064
7000	43960	8	7,4	-0,6771653	0,0000036
9000	56520	8	7,4	-0,6771653	0,0000024

1. Opracowanie wyników pomiarów:

Analityczne obliczenie stałej czasowej :

T=RC

C=0,1 µF

R=1,6k Ω

T=0.1*10^-6 *1,6*10^3

T=1,6 * 10^-4

Obliczenia analityczne:

Transmitancja operatorowa:

U₁(s) = RI(s) + $\frac{1}{\text{Cs}}$I(s)

U₂(s) = RI(s)

G(s) = $\frac{U2(s)\ }{U1(s)\ } = \ \frac{\ RI(s)}{RI(s)\ + \ \frac{1}{CsI(s)}}$ = $\frac{\text{Ts}}{Ts + 1}$

Transmitancja widmowa:

Podstawienie za s jw

G(jω) = $\frac{U2(j\omega)}{U1(j\omega)}$ = $\frac{Tj\omega}{Tj\omega + 1}$ * $\frac{Tj\omega - 1}{\text{Tj}\omega - 1}$ = $\frac{{- (T\omega)}^{2} - \ Tj\omega}{{- (T\omega)}^{2} - \ 1}$

P(jω) = $\frac{{- (T\omega)}^{2}}{{- (T\omega)}^{2} - \ 1}$

Q(jω) = $\frac{- \ T\omega}{{- (T\omega)}^{2} - \ 1}$

|G(jω)|=$\sqrt{{P(j\omega)}^{2} + {Q(j\omega)}^{2}}$=$\sqrt{\frac{T^{2}\omega^{2}}{T^{2}\omega^{2} + 1}}$

Charakterystyka logarytmiczna amplitudowa:

L(ω)=20log|G(jω)|=20log$\sqrt{{P(j\omega)}^{2} + {Q(j\omega)}^{2}}$=20log$\sqrt{\frac{T^{2}\omega^{2}}{T^{2}\omega^{2} + 1}}$

Charakterystyka logarytmiczna fazowa:

ϕ(ω)=arctg $\frac{Q(j\omega)}{P(j\omega)}$=arctg$\frac{\frac{- \ T\omega}{{- (T\omega)}^{2} - \ 1}}{\frac{{- (T\omega)}^{2}}{{- (T\omega)}^{2} - \ 1}}$=arctg$\frac{1}{T\omega}$

Odpowiedź skokowa:

h(t)=L^-1$\left\{ \frac{G(s)}{s} \right\}$=L^-1$\left\{ \frac{T}{Ts + 1} \right\}$

Układ posiada jeden pierwiastek s₁= $- \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{T}}$

h(t)=$\operatorname{(s-)}{\frac{G(s)}{s}\text{\ \ }}e^{\text{st}}$=$\operatorname{}{\left( s + \frac{1}{T} \right)(\frac{T}{Ts + 1}})*e^{\text{st}}$=$e^{- \frac{t}{T}}$

Odpowiedź impulsowa:

g(t)=$\frac{dh(t)}{\text{dt}} = \ {(e}^{- \frac{t}{T}})' =$ $- \frac{e^{- \frac{t}{T}}}{T}$

f [Hz] ω=2πf L(ω) φ [st] P( ω) Q( ω) stopnie -88,3 -87,7 -87,1 -86,8 -86,5 -86,3 -86,0 -85,4 -84,8 -84,3 -78,6 -73,2 -68,1 -63,3 -61,1 -58,9 -56,9 -54,9 -51,2 -47,9 -44,9 -18,4 -11,3 -8,1 -6,3 30 188,4 -30,42 -90,72 0,001 0,030 40 251,2 -27,92 -92,16 0,002 0,040 50 314 -25,99 -91,8 0,003 0,050 55 345,4 -25,16 -91,01 0,003 0,055 60 376,8 -24,41 -87,08 0,004 0,060 65 408,2 -23,72 -84,24 0,004 0,065 70 439,6 -23,08 -85,68 0,005 0,070 80 502,4 -21,92 -86,4 0,006 0,080 90 565,2 -20,91 -86,3 0,008 0,090 100 628 -20,00 -86,4 0,010 0,099 200 1256 -14,11 -80,2 0,039 0,193 300 1884 -10,79 -75,6 0,083 0,276 400 2512 -8,57 -69,12 0,139 0,346 500 3140 -6,96 -68,4 0,202 0,401 550 3454 -6,31 -63,36 0,234 0,423 600 3768 -5,74 -64,8 0,267 0,442 650 4082 -5,24 -60,84 0,299 0,458 700 4396 -4,80 -60,48 0,331 0,471 800 5024 -4,06 -51,84 0,393 0,488 900 5652 -3,47 -55,08 0,450 0,497 1000 6280 -2,99 -46,8 0,502 0,500 3000 18840 -0,45 -21,6 0,901 0,299 5000 31400 -0,17 -11,52 0,962 0,191 7000 43960 -0,09 -9,072 0,980 0,139 9000 56520 -0,05 -7,776 0,988 0,109

Wykresy Wykonane za pomocą programu Matlab

Pomiar charakterystyk czasowych:

Opis stanowiska :

Stanowisko do pomiaru charakterystyk częstotliwościowych układów automatyki składa się z:

• Generatora

• Oscyloskopu dwukanałowego

• Filtru górnoprzepustowego

Rys. Układ pomiarowy do pomiaru charakterystyk czasowych.

Wyniki pomiaru :

A=8V

F=250 Hz

T=160 µs - Stała czasowa

Wnioski

Na podstawie analizy wyników pomiarów możemy stwierdzić, że badany filtr rzeczywiście jest filtrem górnoprzepustowym, co uwidacznia się w postaci wzrostu amplitudy sygnału wyjściowego wraz ze wzrostem częstotliwości od wartości 0,475V (0,3% amplitudy sygnału wejściowego) przy częstotliwości 30Hz do aż 14,8V (92,5% amplitudy sygnału wejściowego) przy częstotliwości 9000Hz. Należy też zauważyć, że, w przeciwieństwie do amplitudy, przesunięcie fazowe maleje wraz ze wzrostem częstotliwości. Świadczy o tym też fakt, że rozbieżność otrzymanych wyników w porównaniu z wartościami obliczonymi teoretycznie jest stosunkowo mała.

Na wykresach widać, że pasmo przewodzenia dla układu teoretycznego jest nieco szersze niż to będące wynikiem pomiarów (częstotliwość graniczną teoretyczna wynosi ok. 930Hz, a doświadczalna ok. 1010Hz). Nieznacznie większa jest również maksymalna amplituda (teoretyczna: -0,1dB; doświadczalna: -0,7dB). Mniejsze jest również minimalne przesunięcie fazowe (teoretyczne: -8,1°; praktyczne: -9,1°). Wynikać to może z niedoskonałości elementów filtra, a także strat mających miejsce w obwodach oscyloskopu. Pomiary mogły również być zakłócone przez obecność innych urządzeń elektrycznych w laboratorium. Zakłócenia te mogą być też przyczyną widocznych zwłaszcza w charakterystyce fazowej, ale również, w mniejszym stopniu, w charakterystyce amplitudowej.

Przy badaniu odpowiedzi skokowej obserwujemy zmianę wartości na wyjściu układu w funkcji czasu. Przy skoku wymuszenia wartość wyjściowa rośnie a następnie stopniowo się rozładowuje dążąc do zera. Porównując wykres odpowiedzi skokowej z otrzymanym oscylogramem można zauważyć, że przebieg sygnału na obu z nich jest zbliżony, a stała czasowa w obu wypadkach wynosi ok. 160µs. Dowodzi to, że dokładność przeprowadzonych pomiarów była wysoka. Na oscylogramie widoczne są zakłócenia, powodowane prawdopodobnie przez opory wewnętrzne zarówno generatora, jak i oscyloskopu oraz oddziaływanie innych urządzeń elektrycznych znajdujących się w pobliżu stanowiska pomiarowego.