1. Twierdzenie o trzech siłach

Trzy siły są w równowadze, jeżeli ich proste działania przecinają się w jednym punkcie, leżą w jednej płaszczyźnie i trójkąt sił jest trójkątem zamkniętym.

2. Równania równowagi płaskiego zbieżnego układu sił

Analityczny warunek równowagi (metoda analityczna) płaskiego układu sił zbieżnych (czynnych i reakcji więzów) brzmi następująco: aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru
                       

      Geometryczny warunek równowagi (metoda geometryczna) płaskiego układu sił zbieżnych brzmi: aby układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyźnie znajdował się w równowadze, wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu musi być zamknięty.

3. drgania

Drgania swobodne punktu

Punkt materialny o masie m porusza się ruchem prostoliniowym pod działaniem siły , przyciągającej ten punkt do stałego punktu 0, zwanego środkiem drgań.

x= asinφcosωt + acosφsinωt,

x=asin(ωt+φ)

Drgania wymuszone

Na punkt materialny działa dodatkowa siła wymuszająca S, okresowo zmienna wg równania

pt – faza siły wymuszającej

p – częstość kątowa siły wymuszającej

- amplituda siły wymuszającej

- okres siły wymuszającej

Drgania wymuszone są sumą dwu drgań harmonicznych:

- drgań swobodnych o częstości kątowej w

- drgań wywołanych siłą wymuszającą o częstości kątowej p

Działanie siły wymuszającej wywołuje drgania harmoniczne, które nakładają się na drgania swobodne.

1.3 Moment siły

M_o = hF

Aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze,

sumy rzutów tych sił na osie układu musza być równe zeru.

Twierdzenie 2 (Varignon) Moment względem dowolnego punktu ˛ O

wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych

względem tego punktu.

M^o∑ =∑M_i^o

1.4 Wypadkowa dwóch równoległych sił

1.5 Para sił

Układ dwóch sił równoległych P’ = -P P’=P nie leżacych na jednej prostej nazywamy parą sił. Odległość między siłami nazyway ramieniem pary sił.

Wektor momentu pary sił jest wektorem swobodnym. Jeżeli mamy n par sił działających na ciało w jednej płaszczyźnie to moment wypadkowy jest równy sumie momentów poszczególnych par.

Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi być równa 0.

Warunek równowagi par sił w jednej płaszczyźnie:

Pary sił o tej samej płaszczyźnie działania i równych momentach są sobie statycznie równoważne.

Składanie par sił w jednej płaszczyźnie:

Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi się równać 0.

1.3 Moment siły

M_o = hF

Aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze,

sumy rzutów tych sił na osie układu musza być równe zeru.

Twierdzenie 2 (Varignon) Moment względem dowolnego punktu ˛ O

wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych

względem tego punktu.

M^o∑ =∑M_i^o

1.4 Wypadkowa dwóch równoległych sił

1.5 Para sił

Układ dwóch sił równoległych P’ = -P P’=P nie leżacych na jednej prostej nazywamy parą sił. Odległość między siłami nazyway ramieniem pary sił.

Wektor momentu pary sił jest wektorem swobodnym. Jeżeli mamy n par sił działających na ciało w jednej płaszczyźnie to moment wypadkowy jest równy sumie momentów poszczególnych par.

Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi być równa 0.

Warunek równowagi par sił w jednej płaszczyźnie:

Pary sił o tej samej płaszczyźnie działania i równych momentach są sobie statycznie równoważne.

Składanie par sił w jednej płaszczyźnie:

Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi się równać 0.

1.6 Redukcja dowolnego płaskiego układu

Środkiem ciężkości nazywamy punkt, względem którego suma momentów wszystkich sił ∆G_i równa sie zero (środek równoległych sił ciężkości).

Uogólnienie redukcji układu na układ przestrzenny.

Mamy siłę˛ $\overrightarrow{P}$ w punkcie A. Przykładając układ $\overrightarrow{P}$, $- \overrightarrow{P}$ w punkcie O,

otrzymujemy $\overrightarrow{P}$ i $\overrightarrow{M}$O = $\overrightarrow{r}$ × $\overrightarrow{P}$.

Każda siła działająca na ciało sztywne można sprowadzić do dowolnego

punktu O przykładając siłę o momencie równym momentowi siły.

Momenty względem osi:

M_ox = $\sum_{}^{}\text{Mix}$ =$\sum_{}^{}\left( P_{\text{iz}}y_{i} - \ P_{\text{iy}}z_{i} \right)$

M_oy = $\sum_{}^{}\text{Mix}$ =$\sum_{}^{}\left( P_{\text{ix}}z_{i} - \ P_{\text{iz}}x_{i} \right)$

M_oz = $\sum_{}^{}\text{Mix}$ =$\sum_{}^{}\left( P_{\text{iy}}x_{i} - \ P_{\text{ix}}y_{i} \right)$

Ogólne warunki i równania równowagi dowolnego przestrzennego układu sił.

Aby dowolny układ był w równowadze, musi być:

$\overrightarrow{R}$= 0, ${\overrightarrow{M}}_{O}$= 0.

$$\left\{ \begin{matrix} {\sum_{}^{}P}_{\text{ix}} = 0,\ \ \sum_{}^{}M_{\text{ix}} = 0 \\ \sum_{}^{}{P_{\text{iy}} = 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \sum_{}^{}M_{\text{iy\ }} = 0} \\ \sum_{}^{}{P_{\text{iz}} = 0,\ \ }\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\sum_{}^{}\begin{matrix} M_{\text{iz}}\ = 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Ruch punktu we współrzędnych biegunowych.

Równania ruchu we współrzędnych biegunowych,

r = f₁ (t), ϕ = f₂ (t).

Zgodnie z twierdzeniem o sumie rzutów, rzut wektora na dowolna oś jest

równy sumie rzutów składowych danego wektora na ta oś, rzutujemy

v_x, v_y na kierunek r i przyrostu ϕ (w danej chwili).

Środek przyspieszeń

Dla przekroju bryły w ruchu płaskim możemy znaleźć punkt, którego przyspieszenie w danej chwili jest równe zero. Punkt ten nazywamy środkiem przyspieszeń. Środek przyspieszeń musi leżeć na prostej nachylonej pod kątem ˛ β do przyspieszenia danego punktu. Środek przyspieszeń wyznacza sie przy znajomości przyspieszeń dwóch dowolnych punktów figury.

Ruch kulisty bryły

Ruch kulisty to ruch ciała sztywnego, podczas którego jeden jego punkt zwany środkiem ruchu kulistego jest nieruchomy. Ciało sztywne może obracać się tylko dookoła osi przechodzących przez punkt nieruchomy 0, który nazywamy środkiem ruchu kulistego (ma trzy stopnie swobody). Torem dowolne punktu jest powierzchnia kuli o środku w punkcie zwanym środkiem ruchu kulistego. W ruchu tym mamy dwa układy odniesienia związane ze sobą za pomocą trzech kątów zwanych kątami Eulera (0<∂ <Π, 0=<ψ=<2Π i 0=<ϕ=<2Π). Ciało sztywne w ruchu kulistym ma trzy stopnie swobody. Wzajemne położenie dwóch układów ruchomego i nieruchomego a zarazem i położenie ciała sztywnego możemy jednoznacznie określić za pomocą kątów Eulera.

Prędkość kątowa obrotu własnego w1=dj/dt

Prędkość kątowa precesji w2=dy/dt

Prędkość kątowa nutacji w3=ds/dt .

2.14 Rotacja pola sił

Jeżeli pole sił jest polem wirowym, wówczas można wprowadzić pewną funkcję wektorową F, że

Linie sił tego pola są okręgami. Jeśli pole jest potencjalne, to rotF = 0.

2.15 Przykłady zachowawczych pól sił

1. Jednorodne pole sił ciężkości

2. Potencjał siły sprężystej

V = 1/2cx^2

3. Pole sił centralnych - przyciąganie

Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej:

Praca wykonana przez siły działające na punkt przy przesunięciu tego punktu z położenia A do położenia B jest równa przyrostowi energii kinetycznej punktu. Praca w polu potencjalnym jest równa różnicy potencjałów tego pola sił

Zasada zachowania energii mechanicznej:

W zachowawczym polu sił suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała

2.16 Ruch środka masy układu punktów

Twierdzenie 3 ( o ruchu środka masy układu punktów materialnych):

Środek masy porusza się jak punkt materialny w którym skupiona jest całkowita masa układu i na który działają wszystkie siły zewnętrzne

Przyśpieszenie w ruchu względnym!

W ruchu względnym przyspieszenie bezwzględne jest sumą geometryczną przyśpieszenia względnego, przyśpieszenia unoszenia i przyśpieszenia Coriolisa.

2.1 Zasada d’Alemberta dla punktu

W ruchu punktu materialnego układ sił czynnych i reakcji więzów równoważy się z pomyślaną siłą bezwładności

2. Pęd masy

2.3 Kręt punktu materialnego

Krętem lub momentem pędu punktu materialnego względem punktu O nazywamy wektor równy iloczynowi wektora położenia r przez pęd p poruszającego się punktu. Powyższy związek wyraża zasadę krętu punktu materialnego: Pochodna wektora krętu względem czasu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił działających na dany punkt. jeżeli teraz Mo=0 ,to Ko=0 ⇒ Ko=const. Jest to zasada zachowania krętu punktu materialnego: Jeżeli moment główny sił działających na poruszający się punkt jest względem jakiegoś bieguna równy zeru, to kret poruszającego się punktu względem tego bieguna jest zachowany, jest stały.

2.4 Dynamiczne równania ruchu punktu

Wychodzimy z wektorowej postaci F=ma ………potem gówna w chuj…….Są to różniczkowe równania drugiego rzędu. Konieczne jest dwukrotne całkowanie i wówczas pojawi się 6 stałych całkowania (3równania). Aby te stałe wyznaczyć konieczne są warunki początkowe- musi ich być tyle ,ile stałych.

Pochodna bezwzgledna wektora względem czasu jest równa sumie pochod- ˛

nej względnej i iloczynu wektorowego prędkości kątowej przez dany wek- ˛

tor.