Politechnika Wrocławska Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego ZOD Wałbrzych

Ćwiczenie projektowe z przedmiotu

Postawy statyki budowli

Zadanie 2:

Rama

Prowadzący zajęcia: dr inż. Krzysztof Majcher

Autor: Maciej Kosal, nr albumu: 202995

Data oddania: 16.12.2013r.

Rozkład sił czynnych na składowe pionowe i poziome:

$$\sin\alpha = \frac{P_{2x}}{P_{2}}\ \leftrightarrow \ \sin{30} = \frac{P_{2x}}{20\ kN}\ \leftrightarrow P_{2x} = 10\ kN$$

$$\cos\alpha = \frac{P_{2y}}{P_{2}}\ \leftrightarrow \ \cos{30} = \frac{P_{2y}}{20\ kN}\ \leftrightarrow P_{2y} = 10\sqrt{3}\ kN = 17,32\ kN$$

1. Sprawdzenie Geometrycznej Niezmienności i Statycznej Wyznaczalności układu:

   1. Warunek ilościowy:

n = e − 3 • t = 0                                      

n = 15 − 3 • 5 = 0 ok.

Wniosek: układ jest SW

1. Warunek jakościowy:

(1, 5, 4) GN (z twierdzenia o 3 tarczach)

(I, 2, 3) GN (z twierdzenia o 3 tarczach)

(0, I) GN (z twierdzenia o 2 tarczach) ok.

Wniosek: układ jest GN

1. Wyznaczenie reakcji podporowych i sił wewnętrznych w wybranych przekrojach:

$\sum_{}^{}{x = 0}$ H_A + Q − P_2x = 0

H_A= − 14 kN

$\sum_{}^{}{M_{A} = 0}$ M + M + Q • 2 + P_2y • 2 − P_2x • 2 − R_B • 8 = 0

R_B=19, 08 kN

$\sum_{}^{}{M_{B} = 0}$ M + M + Q • 2 + V_A • 8 − P₁ • 8 − P_2y • 6 − P_2x • 2 = 0

V_A=8, 24 kN

Sprawdzenie:

$\sum_{}^{}{M_{5} = 0}$

M + M − Q • 2 − H_A • 4 + V_A • 11 − P₁ • 11 − P_2y • 9 + P_2x • 2 + R_B • 3 = 0

0 = 0 ok.

Siły w przekrojach:

$\sum_{}^{}{M_{A}(l) = 0}$ T₁ • 6 + 45 + R_B • 3 = 0 T₁= − 17, 04 kN

$\sum_{}^{}{M_{5}(d) = 0}$ 45 + R_B • 3 + T₁ • 6 + N₁ • 4 = 0 N₁=0 kN

$\left\{ \begin{matrix} \sum_{}^{}{M_{4}(d) = 0} \\ \sum_{}^{}{M_{2}(d) = 0} \\ \end{matrix} \right.\ $

$$\left\{ \begin{matrix} N_{2} \bullet 4 + T_{2} \bullet 4 + 10 \bullet 2 + T_{1} \bullet 3 - N_{1} \bullet 4 = 0\ \\ - 6 \bullet 4 \bullet 2 - H_{A} \bullet 4 - V_{A} \bullet 4 + T_{2} \bullet 4 - N_{2} \bullet 4 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} T_{2} + 2 \bullet N_{2} = 15,56 \\ T_{2} - N_{2} = 6,24 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} \mathbf{T}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 9,35\ kN} \\ \mathbf{N}_{\mathbf{2}}\mathbf{= 3,11\ kN} \\ \end{matrix} \right.\ $$

1. Wyznaczenie sił przekrojowych:

   1. Przedział 7-B (z lewej):

M_7B = 0 kNm

M_B7 = −17, 04 • 3 = −51, 12 kNm

T_7B = T_B7 = −17, 04 kN

N_7B = N_B7 = 0 kN

1. Przedział B-6 (z lewej):

M_B6 = −51, 12 + 45 = −6, 12 kNm

M_6B = −6, 12 + 2, 04 • 3 = 0 kNm

T_B6 = T_6B = 19, 08 − 17, 04 = 2, 04 kN

N_B6 = N_6B = 0 kN

1. Przedział 5-6 (z prawej):

M₆₅ = M₅₆ = 0 kNm

T₆₅ = T₅₆ = 0 kN

N₆₅ = N₅₆ = −2, 04 kN

1. Przedział 5-4 (z prawej):

M₅₄ = 0 kNm

M₄₅ = 2, 04 • 9 = 18, 36 kNm

T₅₄ = T₄₅ = −2, 04 kN

N₅₄ = N₄₅ = 0 kN

1. Przedział 7-8 (z prawej):

M₇₈ = 0 kNm

M₈₇ = 17, 04 • 3 = 51, 12 kNm

T₇₈ = T₈₇ = −17, 04 kN

N₇₈ = N₈₇ = 0 kN

1. Przedział 1-2 (z lewej):

M₁₂ = M₂₁ = 45 kNm

T₁₂ = T₂₁ = 0 kN

N₁₂ = N₂₁ = 0 kN

1. Przedział A-8 (z lewej):

M_A8 = 0 kNm

M_8A = 9, 35 • 2 = 18, 7 kNm

T_A8 = T_8A = 9, 35 kN

N_A8 = N_8A = 3, 11 kN

1. Przedział 8-9 (z prawej):

M₈₉ = 51, 12 − 18, 7 = 32, 42 kNm

M₉₈ = 32, 42 − 6, 22 = 26, 2 kNm

T₈₉ = T₉₈ = 3, 11 kN

N₈₉ = N₉₈ = −17, 04 − 3, 85 = −26, 39 kN

1. Przedział 9-4 (z prawej):

M₉₄ = 26, 2 kNm

M₄₉ = 26, 2 − 26, 22 ≈ 0 kNm

T₉₄ = T₄₉ = 10 + 3, 11 = 13, 11 kN

N₉₄ = N₄₉ = −26, 39 + 17, 32 = −9, 07 kN

1. Przedział 4-3 (z prawej):

M₄₃ = 18, 36 kNm

M₃₄ = 18, 36 + 11, 11 • 2 = 40, 58 kNm

T₄₃ = T₃₄ = −9, 07 − 2, 04 =   − 11, 11 kN

N₄₃ = N₃₄ = −13, 11 kN

1. Przedział 2-3 (z prawej):

M₂₃ = 40, 58 kNm

M₃₂ = 40, 58 + (11,11−10) • 4 = 45, 02 ≈ 45kNm

T₂₃ = T₃₂ = 11, 11 − 10 = 1, 11 kN

N₂₃ = N₃₂ = −13, 11 kN

1. Przedział 2-A (z prawej):

x = r − r • cosφ

y = r • sinφ

$$M_{\alpha}\left( \varphi \right) = - 1,11 \bullet x - 10,89 \bullet y + 6 \bullet y \bullet \frac{y}{2} = - 1,11\left( r - r \bullet \cos\varphi \right) - 10,89 \bullet r \bullet \sin\varphi + 3 \bullet {(r \bullet \sin{\varphi)}}^{2} = - 4,44 + 4,44 \bullet \cos\varphi - 43,56 \bullet \sin\varphi + 48 \bullet \left( \sin\varphi \right)^{2}$$

T_α(φ) = 1, 11 • sinφ + 10, 89 • cosφ − 6 • y • cosφ = 1, 11 • sinφ + 10, 89 • cosφ − 24 • sinφ • cosφ

N_α(φ) = 1, 11 • cosφ − 10, 89 • sinφ + 6 • y • sinφ = 1, 11 • cosφ − 10, 89 • sinφ + 24 • sinφ • cosφ

	M [kNm]	T [kN]	N [kN]
0	0	10,89	1,11
15	-8,21	4,806	-0,139
30	-10,375	-0,406	1,516
45	-8,102	-3,515	5,084
60	-3,944	-3,986	9,124
75	-0,582	-2,109	12,161
90	0	1,11	13,11

1. Sprawdzenie równowagi wybranego węzła:

$\sum_{}^{}M = 0$ 18, 7 − 51, 12 + 32, 42 = 0

$\sum_{}^{}x = 0$ 3, 11 − 3, 11 = 0

$\sum_{}^{}y = 0$ −9, 35 − 17, 04 − 26, 39 = 0

Warunki równowagi węzła zostały spełnione

1. Wykresy sił przekrojowych: