Sprawozdanie
Temat:
Wykonał:

Całkowanie numeryczne:

Jest to metoda numeryczna pozwalająca obliczyć przybliżoną wartość całki oznaczonej. Aproksymacji dokonuje się poprzez podzielenie obszaru całkowania na proste figury geometryczne: prostokąty lub trapezy, zwiększając ilość elementów na które dzielimy obszar całkowania jesteśmy w stanie uzyskać dokładniejsze przybliżenia.

Metoda prostokątów:

Metoda prostokątów polega na przybliżeniu obszaru ograniczonego wykresem funkcji przez prostokąty o podstawie równej długości kroku całkowania i wysokości równej wartości funkcji w przedziale określonym przez krok całkowania.

Formuła obliczeniowa używana w metodzie prostokątów ma postać:

Gdzie:

(a,b) – przedział w którym całkujemy

n – liczba prostokątów na które dzielimy wykres naszej funkcji

∆$x_{i} = h = \frac{b - a}{n}$ - krok całkowania

Dokładność tej metody zależy od długości kroku całkowania ∆x_i (oznaczanego jako h). Wraz ze zmniejszaniem h będziemy coraz bardziej zbliżać się do rozwiącania dokładnego.

Rodzaje metody:

1. Metoda prostokątów z punktu środkowego:

$$\mathbf{I \approx h}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{f(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}}$$

1. Metoda prostokątów z lewej strony:

$$\mathbf{I \approx h}\sum_{\mathbf{i = 0}}^{\mathbf{n - 1}}{\mathbf{f(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{)}}$$

1. Metoda prostokątów z prawej strony:

$$\mathbf{I \approx h}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{f(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{)}}$$

Metoda trapezów:

Metoda trapezów polega na przybliżeniu obszaru ograniczonego wykresem funkcji przez trapezy prostokątne o wysokości równej długości kroku całkowania i podstawach o długościach odpowiadających wartościom funkcji w punktach węzłowych na brzegu przedziału. Obliczamy przy użyciu następującej formuły obliczeniowej:

$$\mathbf{I \approx}\frac{\mathbf{h}}{\mathbf{2}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{(f}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}} \right)\mathbf{+ f}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i + 1}} \right)\mathbf{)}}$$

Przykładowy wykres:

Funkcja badana na zajęciach:

$\mathbf{y = \ }\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{x}}$ przedział całkowania: [1;3]

Dokładna wartość całki z badanej funkcji:

$$\int_{1}^{3}\frac{2}{x}dx = 2.1972$$

Wykres funkcji:

Metoda prostokątów z prawej:

clc,

clear all

b=0

for i=1:50

suma=0;

h=(3-1)/i;

for j=1:i;

y=2/(1+h*j);

suma=suma+y ;

end

calk(i)=h*suma

end

for i=1:50;

b(i)=2.1972-calk(i);

end

Metoda trapezów:

clc,

clear all

b=0;

d=(2/1+2/3)/2;

for i=1:50

suma=0;

h=(3-1)/i

for j=1:i-1

y=2/(1+h*j)

suma=suma+y

end

calk(i)=h*(d+suma)

end

for i=1:50;

b(i)=abs(2.1972-calk(i));

end

Metoda prostokątów:

Metoda trapezów:

Wnioski:

Zarówno w przypadku metody trapezów jak i metody prostokątów zwiększenie ilości kroków (a więc podzielenie obszaru całkowania na więcej mniejszych figur) zwiększa dokładność obliczeń. Jest to bardziej widoczne przy metodzie trapezów, po przekroczeniu n=20 kroków błąd spada do bardzo małych wartości, co pozwala na uzyskanie dokładnego przybliżenia wartości całkowania.