1. Wstęp

Ćwiczenie polegało na 30-krotnym pomiarze stoperem czasu wyłączenia świecącej lampy. Celem ćwiczenia jest wykonanie na podstawie otrzymanych pomiarów histogramu oraz wyznaczenia parametrów funkcji Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej, a także graficznym przedstawieniu wyników wraz z ich interpretacją.

1. Opracowanie wyników, przykładowe obliczenia

i	t	$$\overset{\overline{}}{\mathbf{t}}$$	$$\mathbf{t}\mathbf{=}\mathbf{t}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{t}}$$	Δt^2
	[s]	[s]	[s]
1	15,94	15,86	0,08	0,0066
2	15,82		-0,04	0,0015
3	15,88		0,02	0,0004
4	15,65		-0,21	0,0437
5	15,91		0,05	0,0026
6	16,03		0,17	0,0292
7	15,81		-0,05	0,0024
8	15,84		-0,02	0,0004
9	15,85		-0,01	0,0001
10	15,90		0,04	0,0017
11	15,84		-0,02	0,0004
12	15,76		-0,10	0,0098
13	15,72		-0,14	0,0193
14	15,85		-0,01	0,0001
15	15,94		0,08	0,0066
16	15,87		0,01	0,0001
17	15,79		-0,07	0,0048
18	15,94		0,08	0,0066
19	15,86		0,00	0,0000
20	15,97		0,11	0,0123
21	16,00		0,14	0,0199
22	15,91		0,05	0,0026
23	16,01		0,15	0,0228
24	15,87		0,01	0,0001
25	15,88		0,02	0,0004
26	15,87		0,01	0,0001
27	16,02		0,16	0,0259
28	15,87		0,01	0,0001
29	15,81		-0,05	0,0024
30	15,36		-0,50	0,2490

Średnia wartość pomiaru:

$$\overset{\overline{}}{t} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}t_{i}}{n} = \frac{15,94 + 15,82 + \ldots + 15,81 + 15,36}{30} = 15,86$$

Odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru:

$$\sigma = \sqrt{\frac{1}{(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}\left( t_{i} - \overset{\overline{}}{t} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{29}\sum_{i = 1}^{n}{t_{i}^{2}}} = \sqrt{\frac{1}{29}(0,0066 + \ldots + 0,2490} = 0,13$$

Odchylenie standardowe średniej

(NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU μ_A):

$$\mu_{A} = \sqrt{\frac{1}{t(t - 1)}\sum_{i = 1}^{n}\left( t_{i} - \overset{\overline{}}{t} \right)^{2}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,13}{\sqrt{30}} = 0,02$$

1. Histogram pomiarów

zestawienie danych ułatwiające sporządzenie histogramu

nr przedziału	zakres wartości	ilość pomiarów	częstość $\mathbf{f}_{\mathbf{k}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{ilosc}}{\mathbf{n}}$
1	15,2-15,4	1	0,03
2	15,4-15,6	0	0
3	15,6-15,8	4	0,13
4	15,8-16,0	21	0,7
5	16,0-16,2	4	0,13

1. Funkcja Gaussa dla pojedynczego pomiaru:

t	fX,σ(t)
15,00	9,82*10^-10
15,10	1,185*10^-7
15,20	7,91*10^-6
15,30	0,0002923
15,40	0,0059753
15,50	0,0676043
15,60	0,4232616
15,70	1,4664416
15,80	2,8115232
15,90	2,982906
16,00	1,7512917
16,10	0,5689818
16,20	0,1022962
16,30	0,0101775
16,40	0,0005603

$$f_{\overset{\overline{}}{t},\sigma} = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{- {(t - \overset{\overline{}}{t})}^{2}/2\sigma^{2}}$$

95% wyników znajduje się w przedziale ±2σ, czyli: 15,86 ± 0,26

1. Funkcja Gaussa dla średniej z 30 pomiarów:

t	$$\mathbf{f}_{\overset{\overline{}}{\mathbf{t}}\mathbf{,}\mathbf{\sigma}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}$$
15,60	0
15,62	0
15,64	0
15,66	0
15,68	0
15,70	0
15,72	2,3652*10^-297
15,74	2,6029*10^-218
15,76	1,9807*10^-151
15,77	1,5045^*10^-122
15,78	1,04212*10^-96
15,79	6,58228*10^-74
15,80	3,79119*10^-54
15,90	9,5365*10^-24
16,00	2,3652*10^-297
16,02	0
16,04	0
16,06	0
16,08	0
16,10	0
16,20	0

$f_{\overset{\overline{}}{t},\sigma} = \frac{1}{\sigma_{\overset{\overline{}}{t}}\sqrt{2\pi}}e^{- {(t - \overset{\overline{}}{t})}^{2}/2{(\frac{\sigma}{\sqrt{n}})}^{2}}$, gdzie

$$\sigma_{\overset{\overline{}}{t}} = \sqrt{n\left( \frac{1}{n}\sigma \right)^{2}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0,13}{\sqrt{30}} = 0,02$$

jest szerokością rozkładu normalnego średniej z 30 pomiarów.

95% wyników znajduje się w przedziale $\pm 2\sigma_{\overset{\overline{}}{t}}$, czyli: 15,86 ± 0,04

1. Wnioski:

1. Odchylenie standardowe dla pojedynczego ma wyższą wartość od odchylenia standardowego dla średniej z pomiarów.

2. W naszych pomiarach nie braliśmy pod uwagę błędów systematycznych

3. W wykresie rozkładu funkcji Gaussa dla średniej z pomiarów wartości w okolicy początku i końca ‘wzniesienia’ przyjmują wartości ujemne, wynika to jednak z przybliżeń kształtu wykonanych przez program EXCEL oraz ze zbyt słabo zagęszczonych wartości na osi poziomej